Магии hyperbeam ( п-мерный прямоугольник магии ) является вариацией на волшебный гиперкубе , где заказы вдоль каждого направления может быть различными. Как такой магический гиперпучок обобщает двумерный магический прямоугольник и трехмерный магический луч , серию, которая имитирует серию магических квадратов , магических кубов и магических гиперкубов . Эта статья будет имитировать статью о волшебных гиперкубах во всех деталях, и так же, как эта статья служит лишь введением в тему.
Соглашения
Принято обозначать размер буквой «n», а порядки гиперпучка - буквой «m» (с добавлением номера в нижнем индексе направления, к которому он применяется).
- ( n ) Размерность : количество направлений внутри гиперпучка.
- ( m k ) Порядок : количество чисел вдоль k- й монагонали k = 0, ..., n - 1.
Далее: В этой статье используется диапазон аналитических чисел [0 .. k = 0 Π n-1 m k -1].
Обозначения
для того, чтобы держать вещи под рукой, были разработаны специальные обозначения:
- [ k i; k = [0..n-1]; i = [0..m k -1]] : позиции внутри гиперпучка
- < k я; k = [0..n-1]; i = [0..m k -1]> : векторы через гиперпучок
Примечание. Обозначение позиции также может использоваться для значения в этой позиции. Там, где это соответствующий размер и к нему могут быть добавлены заказы, формируя: n [ k i] m 0 , .., m n-1
Строительство
Базовый
Здесь можно разместить описание более общих методов, я не часто создаю гипербучи, поэтому не знаю, работает ли здесь Knightjump или Latin Prescription. Иногда бывает достаточно других, более специальных методов, мне нужен гиперпучок.
Умножение
Среди различных способов сложения умножение [1] можно рассматривать как самый простой из этих методов. Основное умножение определяется по формуле:
n B (m ..) 1 * n B (m ..) 2 : n [ k i] (m ..) 1 (m ..) 2 = n [[[ k i \ m k2 ]] (m. .) 1 k = 0 Π n-1 m k1 ] (m ..) 2 + [ k i% m k2 ] (m ..) 2 ] (m ..) 1 (m ..) 2
(м ..) аббревиатуры: м 0 , .., м н-1 .
(м ..) 1 (м ..) 2 аббревиатуры: m 0 1 m 0 2 , .., m n-1 1 m n-1 2 .
Любопытства
все заказы либо четные, либо нечетные
Факт, который легко увидеть, поскольку магические суммы:
S k знак равно m k ( j = 0 Π n-1 m j - 1) / 2
Когда любой из заказов m k четный, продукт четный, и, таким образом, единственный способ, которым S k оказывается целым, - это когда все m k четные.
Этого достаточно: все m k либо четные, либо нечетные.
Это, конечно, за исключением m k = 1, которое допускает такие общие тождества, как:
- Н м t = Н м, 1 * N 1, м
- N м = N 1, м * Н м, 1
Что выходит за рамки этой вводной статьи
Только одно направление с порядком = 2
поскольку любое число имеет только одно дополнение, только одно из направлений может иметь m k = 2.
Аспекты
Гиперпучок знает 2 n аспективных вариантов, которые получаются путем согласованного отражения ([ k i] -> [ k (-i)]), эффективно давая аспектный вариант:
n B (m 0 .. m n-1 ) ~ R ; R = k = 0 Σ n-1 ((отразить (k))? 2 k : 0);
Если отражать (k) истина, если координата k отражается, только тогда 2 k добавляется к R.
Если рассматривать разные ориентации луча как равные, можно увидеть количество аспектов n! 2 n, как и в случае с магическими гиперкубами , направления с одинаковыми порядками вносят вклад в зависимости от порядков гиперпучков. Это выходит за рамки данной статьи.
Основные манипуляции
Помимо более конкретных манипуляций, следующие носят более общий характер.
- ^ [perm (0..n-1)] : перестановка координат (n == 2: транспонировать)
- _2 ось [perm (0..m-1)] : моногональная перестановка (ось ε [0..n-1])
Примечание. '^' И '_' являются неотъемлемой частью обозначения и используются в качестве селекторов манипуляции.
Координатная перестановка
Замена координаты [ k i] на [ perm (k) i], поскольку из-за n координат требуется перестановка по этим n направлениям.
Термин транспонирование (обычно обозначаемый t ) используется с двумерными матрицами, в общем, хотя, возможно, предпочтительнее было бы «согласовать перестановку».
Монагональная перестановка
Определяется как изменение [ k i ] на [ k perm (i) ] рядом с заданным «осевым» направлением. Равные перестановки по различным осям с равными порядками можно объединить, добавив множители 2 оси . Таким образом, определяя все виды r-агональных перестановок для любого r. Легко видеть, что все возможности даются соответствующей перестановкой m чисел.
нормальное положение
Если никакие ограничения на n-агонали не рассматриваются, магический гиперпучок может быть представлен в "нормальном положении" следующим образом:
[ к я] <[ к (я + 1)]; i = 0..m k -2 (монагональной перестановкой)
Квалификация
Квалификация гиперпучка менее развита, чем на магических гиперкубах, на самом деле нужно суммировать только k'-е моногональное направление:
S k знак равно m k ( j = 0 Π n-1 m j - 1) / 2
для всех k = 0..n-1, чтобы гиперпучок был квалифицирован { magic }
Когда заказы не являются относительно простыми, n-агональная сумма может быть ограничена до:
S = lcm (m i ; i = 0..n-1) ( j = 0 Π n-1 m j - 1) / 2
при всех порядках относительно простых это достигает своего максимума:
S макс = j = 0 Π n-1 м j ( j = 0 Π n-1 m j - 1) / 2
Специальные гипербучи
Следующие гиперпучки служат для специальных целей:
"Нормальный гиперпучок"
n N m 0 , .., m n-1 : [ k i] = k = 0 Σ n-1 k i m k k
Этот гиперпучок можно рассматривать как источник всех чисел. Процедура, называемая «динамической нумерацией», использует изоморфизм каждого гиперпучка с этим нормальным, изменяя источник, изменяя гиперпучок. Основные умножений нормальных hyperbeams играют особую роль с «динамической нумерацией» из волшебных гиперкуб порядка к = 0 Π п-1 м K .
«Константа 1»
n 1 m 0 , .., m n-1 : [ k i] = 1
Гиперпучок, который обычно добавляется, чтобы изменить используемый здесь «аналитический» диапазон чисел на «обычный» диапазон чисел. Другие постоянные гиперпучки, конечно, кратны этому.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ это гиперпучковая версия (pe.): умножение магического квадрата Алана Адлера
дальнейшее чтение
- Томас Р. Хагедорн, О существовании магических n-мерных прямоугольников, Дискретная математика 207 (1999), 53-63.
- Томас Р. Хагедорн, Возвращение к магическим прямоугольникам, Дискретная математика 207 (1999), 65-72.
- Мариан Тренклер, Магические прямоугольники, The Mathematical Gazette 83 (1999), 102-105.
- Харви Д. Хайнц и Джон Р. Хендрикс, Magic Square Lexicon: Illustrated, самоиздание, 2000, ISBN 0-9687985-0-0 .