Магический гиперкуб

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Эта статья может быть слишком технической, чтобы ее могло понять большинство читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технические детали. ( Октябрь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Волшебный гиперкуб»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( октябрь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Эта статья может потребовать очистки, чтобы соответствовать стандартам качества Википедии . Конкретная проблема: математические выражения необходимо переписать в разметке AMS-LaTeX. Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, если можете. ( Март 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) Эта статья в значительной степени или полностью основана на одном источнике . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на дополнительные источники . Найти источники:  «Волшебный гиперкуб»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( март 2014 г. ) Эта статья написана как личное размышление, личное эссе или аргументированное эссе , в котором излагаются личные чувства редактора Википедии или представлены оригинальные аргументы по теме. Пожалуйста, помогите улучшить его , переписав в энциклопедическом стиле . ( Октябрь 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Было высказано предположение , что магия hyperbeam быть объединены в этой статье. ( Обсудить ) Предлагается с мая 2020 года. Было высказано предположение , что Nasik магия гиперкуба быть объединены в этой статье. ( Обсудить ) Предлагается с мая 2020 года. ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , магия гиперкуба является к - мерное обобщение магических квадратов и магических кубов , то есть, п × п × п × ... × п массив целых чисел , таких , что сумма чисел на каждом столбе (по любой оси), как и на диагоналях основного пространства , все одинаковы. Общая сумма называется магической постоянной гиперкуба и иногда обозначается M _k ( n ). Если магический гиперкуб состоит из чисел 1, 2, ..., n ^k, то у него есть магическое число

${\ Displaystyle M_ {к} (п) = {\ гидроразрыва {п (п ^ {к} +1)} {2}}}$.

При k = 4 магический гиперкуб можно назвать магическим тессерактом с последовательностью магических чисел, заданной OEIS :  A021003 .

Длина стороны n магического гиперкуба называется его порядком . Дж . Р. Хендрикс построил четырех-, пяти-, шести-, семи- и восьмимерные магические гиперкубы третьего порядка .

Мариан Тренклер доказал следующую теорему: p -мерный магический гиперкуб порядка n существует тогда и только тогда, когда p > 1 и n отлично от 2 или p = 1. Конструкция магического гиперкуба следует из доказательства.

Язык программирования R включает модуль, библиотеку (magic) , которая будет создавать волшебные гиперкубы любого измерения с n, кратным 4.

Магические гиперкубы Perfect и Nasik [ править ]

Если, кроме того, числа на каждой диагонали поперечного сечения также суммируются с магическим числом гиперкуба, гиперкуб называется совершенным магическим гиперкубом ; в противном случае он называется полусовершенным магическим гиперкубом . Число n называется порядком магического гиперкуба.

Приведенное выше определение «совершенного» предполагает, что используется одно из старых определений совершенных волшебных кубиков. См. « Классы магического куба» . Универсальная система классификации Гиперкубы (John R. Hendricks) требует , чтобы для любой размерности гиперкуба, все возможные линии просуммировать правильно для гиперкуба будет считаться совершенной магией. Из - за путаницы с термином совершенен , Назик теперь предпочтительный термин для любого магического гиперкуба , где все возможно линий сумма к S . Насик был определен таким образом Ч. Планком в 1905 году. Магический гиперкуб насика имеет1/2(3 ⁿ - 1) строк по m чисел, проходящих через каждую из m ⁿ ячеек.

Обозначения [ править ]

для того, чтобы держать вещи под рукой, были разработаны специальные обозначения:

• ${\ displaystyle \ left [{} _ {k} i; \ k \ in \ {0, \ cdots, n-1 \}; \ i \ in \ {0, \ cdots, m-1 \} \ right] }$: позиции в гиперкубе
• ${\ Displaystyle \ left \ langle {} _ {k} я; \ к \ in \ {0, \ cdots, n-1 \}; \ i \ in \ {0, \ cdots, m-1 \} \ right \ rangle}$: вектор через гиперкуб

Примечание. Обозначение позиции также может использоваться для значения в этой позиции. Затем, где это уместно, к нему можно добавить размер и порядок, образуя таким образом: ⁿ [ _k i] _m

Как указано, 'k' проходит через размеры, в то время как координата 'i' проходит через все возможные значения, когда значения 'i' выходят за пределы диапазона, она просто перемещается обратно в диапазон, добавляя или вычитая соответствующие кратные m, как магический гиперкуб находится в n-мерном модульном пространстве.

Между скобками может быть несколько 'k', они не могут иметь одинаковое значение, хотя и в неопределенном порядке, что объясняет равенство:

${\ displaystyle \ left [{} _ {1} i, {} _ {k} j \ right] = \ left [{} _ {k} j, {} _ {1} i \ right]}$

Конечно, при заданном «k» также упоминается одно значение «i».
Когда упоминается конкретное значение координаты, другие значения могут быть приняты как 0, что особенно актуально, когда количество 'k ограничено с помощью pe. # k = 1 как в:

${\displaystyle \left[{}_{k}1;\ \#k=1\right]=\left[{}_{k}1\ \ {}_{j}0\ ;\ \#k=1;\ \#j=n-1\right]}$(«осевой» - сосед )${\displaystyle \left[{}_{k}0\right]}$

(# j = n-1 можно оставить неопределенным) j теперь пробегает все значения в [0..k-1, k + 1..n-1].

Далее: без ограничений указанные «k» и «i» проходят через все возможные значения, в комбинациях одинаковые буквы принимают одинаковые значения. Таким образом можно указать конкретную строку внутри гиперкуба (см. R-agonal в разделе поиска пути)

Примечание: насколько мне известно, эта нотация еще не используется повсеместно (?). Гиперкубы обычно не анализируются таким образом.

Далее: « perm (0..n-1) » задает перестановку n чисел 0..n-1.

Строительство [ править ]

Помимо более специфических конструкций, можно выделить еще два общих способа построения:

Конструкция KnightJump [ править ]

Эта конструкция обобщает движения лошадей (векторов ) на шахматной доске на более общие движения (векторы ). Метод начинается с позиции P _0, и последующие числа последовательно размещаются в позициях далее до тех пор, пока (после m шагов) не будет достигнута позиция, которая уже занята; для поиска следующей свободной позиции необходим дополнительный вектор. Таким образом, метод определяется матрицей n на n + 1:${\displaystyle \langle 1,2\rangle ,\langle 1,-2\rangle ,\langle -1,2\rangle ,\langle -1,-2\rangle }$${\displaystyle \langle {}_{k}i\rangle }$${\displaystyle V_{0}}$

${\displaystyle [P_{0},V_{0}\dots V_{n-1}]}$

Это позиционирует число 'k' в позиции:

${\displaystyle P_{k}=P_{0}+\sum _{l=0}^{n-1}((k\backslash m^{l})\ \%\ m)V_{l};\quad k=0\dots m^{n}-1.}$

Ч. Планк в своей статье 1905 года « Теория Пути Насика » дает условия для создания этим методом «Пути Насика» (или современных {совершенных}) гиперкубов.

Латинское построение рецепта [ править ]

(модульные уравнения). Этот метод также определяется матрицей n на n + 1. Однако на этот раз он умножает вектор n + 1 [x ₀ , .., x _n-1 , 1]. После этого умножения результат берется по модулю m для получения n (латинских) гиперкубов:

LP k = ( l = 0 Σ n-1 LP k, l x l + LP k, n )% m

чисел с основанием системы счисления m (также называемых " цифрами "). На этих LP _k " смена цифр " (? Т.е. базовые манипуляции) обычно применяются до того, как эти LP _k объединяются в гиперкуб:

n H m = k = 0 Σ n-1 LP k m k

JRHendricks часто использует модульное уравнение, условия для создания гиперкубов разного качества можно найти на http://www.magichypercubes.com/Encyclopedia в нескольких местах (особенно в p-секции)

Оба метода заполняют гиперкуб числами, прыжок коня гарантирует (при наличии соответствующих векторов), что каждое число присутствует. Латинский рецепт только в том случае, если компоненты ортогональны (нет двух цифр, занимающих одинаковую позицию)

Умножение [ править ]

Среди различных способов сложения умножение ^[1] можно рассматривать как самый простой из этих методов. Основное умножение определяется по формуле:

n H m 1 * n H m 2  : n [ k i] m 1 m 2 = n [[[ k i \ m 2 ] m 1 m 1 n ] m 2 + [ k i% m 2 ] m 2 ] m 1 м 2

Большинство методов компаундирования можно рассматривать как вариации вышеперечисленных. Поскольку большинство квалификаторов инвариантны относительно умножения, можно, например, поместить любой вариант ⁿ H _{m 2} в приведенное выше уравнение, кроме того, что к результату можно применить манипуляции для улучшения качества. . Таким образом, можно указать удвоение Дж. Р. Хендрикса / М. Тренклара. Эти вещи выходят за рамки данной статьи.

Аспекты [ править ]

Гиперкуб знает ! 2 ⁿ Аспективные варианты, которые получаются путем координатного отражения ([ _k i] -> [ _k (-i)]) и перестановок координат ([ _k i] -> [ _{perm [k]} i]), эффективно задающих Аспективный вариант:

n H m ~ R допустимо (0..n-1) ; R = k = 0 Σ n-1 ((отразить (k))? 2 k  : 0); perm (0..n-1) перестановка 0..n-1

Где отражать (k) истина, если и только тогда отражается координата k, только тогда 2 ^k добавляется к R. Как легко видеть, только n координат могут быть отражены, объясняя 2 ⁿ , n! перестановка n координат объясняет другой фактор к общему количеству «Аспектных вариантов»!

Аспектные варианты обычно считаются равными. Таким образом, любой гиперкуб можно представить в "нормальном положении" следующим образом:

[ k 0] = min ([ k θ; θ ε {-1,0}]) (отражением)[ k 1; # k = 1] <[ k + 1 1; # k = 1]; k = 0..n-2 (перестановкой координат)

(здесь явно указано: [ _k 0] минимум всех угловых точек. Осевой сосед последовательно на основе осевого номера)

Основные манипуляции [ править ]

Помимо более конкретных манипуляций, следующие носят более общий характер.

• # [perm (0..n-1)]  : перестановка компонентов
• ^ [perm (0..n-1)]  : перестановка координат (n == 2: транспонировать)
• _2 ^ось [perm (0..m-1)]  : моногональная перестановка (ось ε [0..n-1])
• = [perm (0..m-1)]  : изменение цифры

Примечание. '#', '^', '_' И '=' являются неотъемлемой частью записи и используются в качестве селекторов манипуляции.

Перестановка компонентов [ править ]

Определяется как обмен компонентами, таким образом изменяя множитель m ^k в m ^{perm (k)} , поскольку существует n гиперкубов компонентов, перестановка выполняется по этим n компонентам

Перестановка координат [ править ]

Замена координаты [ _k i] на [ _{perm (k)} i], поскольку из-за n координат требуется перестановка по этим n направлениям.
Термин транспонирование (обычно обозначаемый ^t ) используется с двумерными матрицами, хотя, возможно, предпочтительнее было бы «перестановка координат».

Монагональная перестановка [ править ]

Определяется как изменение [ _k i ] на [ _k perm (i) ] рядом с заданным «осевым» направлением. Равные перестановки по различным осям можно комбинировать, добавляя множители по ^оси 2 . Таким образом, определяя все виды r-агональных перестановок для любого r. Легко видеть, что все возможности даются соответствующей перестановкой m чисел.

Следует отметить, что отражение - это особый случай:

~ R = _R [n-1, .., 0]

Далее, когда все оси претерпевают одинаковую перестановку (R = 2 ⁿ -1), достигается n-агональная перестановка. В этом частном случае 'R' обычно опускается, поэтому:

_ [допустимо (0..n-1)] = _ (2 n -1) [допустимо (0..n-1)]

Digitchanging [ править ]

Обычно применяется на уровне компонентов и может рассматриваться как заданное как [ _k i] в perm ([ _k i] ), поскольку компонент заполнен цифрами с основанием системы счисления m, перестановка над m числами является подходящим способом для их обозначения.

Следопыты [ править ]

Дж. Р. Хендрикс назвал направления внутри гиперкубов « следопытами », эти направления проще всего обозначить в троичной системе счисления как:

Pf p где: p = k = 0 Σ n-1 ( k i + 1) 3 k <==> < k i>; я ε {-1,0,1}

Это дает 3 ⁿ направлений. поскольку каждое направление проходит в обе стороны, можно ограничиться верхней половиной [(3 ⁿ -1) / 2, .., 3 ⁿ -1)] полного диапазона.

С помощью этих указателей пути можно указать любую строку, по которой нужно суммировать (или r-агональную):

[ j 0 k p l q; # j = 1 # k = r-1; k> j] < j 1 k θ l 0; θ ε {-1,1}>; p, q ε [0, .., m-1]

который определяет все (разорванные) r-агонали, диапазоны p и q могут быть опущены в этом описании. Таким образом, основные (неразрывные) r-агоналы даются небольшой модификацией приведенного выше:

[ j 0 k 0 l -1 s p; # j = 1 # k + # l = r-1; k, l> j] < j 1 k 1 l -1 s 0>

Квалификация [ править ]

Гиперкуб ⁿ H _m с числами в аналитическом диапазоне чисел [0..m ⁿ -1] имеет магическую сумму:

n S m = m (m n - 1) / 2.

Помимо более конкретных квалификаций, наиболее важными являются следующие: «суммирование», конечно, означает «правильное суммирование к магической сумме».

• { r-agonal }: суммируются все основные (непрерывные) r-агоналы.
• { pan r-agonal }: все (неразбитые и сломанные) r-агоналы суммируются.
• { magic }: {1-агональный n-агональный}
• { perfect }: {pan r-agonal; r = 1..n}

Примечание: эта серия не начинается с 0, поскольку не существует агональной нити, числа соответствуют обычному обзыванию: 1-агональная = моногональная, 2-агональная = диагональ, 3-агональная = треугольная и т. Д. Помимо этого, число соответствует количеству «-1» и «1» в соответствующем навигационном указателе.

В случае, если гиперкуб также суммируется, когда все числа возведены в степень p, получается p-мультимагические гиперкубы. Вышеуказанные квалификаторы просто добавляются к квалификатору p-multimagic. Это определяет квалификации как {r-agonal 2-magic}. Здесь также «2-» обычно заменяется на «bi», «3-» на «tri» и т. Д. («1-magic» будет «мономагическим», но «моно» обычно опускается). Сумму для p-Multimagic гиперкубов можно найти, используя формулу Фаульхабера и разделив ее на m ^n-1 .

Также обычно предполагается «магия» (т. Е. {1-агональный n-агональный}), куб Трампа / Бойера {диагональ} технически рассматривается как {1-агональный 2-агональный 3-агональный}.

Магический гиперкуб Насика приводит аргументы в пользу использования { nasik } как синонима { perfect }. Однако странное обобщение квадратного «совершенного» на использование его как синонима {диагональ} в кубах также разрешается путем помещения в фигурные скобки квалификаторов, так что { perfect } означает {pan r-agonal; r = 1..n} (как упоминалось выше).

некоторые второстепенные квалификации:

• { ⁿ compact }: {сумма всех субгиперкубов порядка 2 равна 2 ^{n n} S _m / m}
• { ⁿ complete }: {все пары делят пополам сумму, разделенную на n агональных частей, равную (до (m ⁿ - 1)}

{ ⁿ compact } можно записать так: _(k) Σ [ _j i + _k 1] = 2 ^{n n} S _m / m .
{ ⁿ complete } может быть просто записано как: [ _j i] + [ _j i + _k (m / 2); # k = n] = m ⁿ - 1 .
Где:
_(k) Σ является символом для суммирования всех возможных k, есть 2 ⁿ возможностей для _k 1.
[ _j i + _k 1] выражает [ _ji] и всех его r-агональных соседей.
для {complete} дополнение [ _j i] находится в позиции [ _j i + _k (m / 2); # k = n].

для квадратов: { ² compact ² complete } - это "современная / альтернативная квалификация" того, что дама Кэтлин Оллереншоу назвала наиболее совершенным магическим квадратом , { ⁿ compact ⁿ complete} - квалификатор для признака в более чем двух измерениях.
Внимание: некоторые люди похоже, приравнивает {compact} к { ² compact} вместо { ⁿ compact}. Поскольку эта вводная статья - не место для обсуждения подобных вопросов, я добавляю размерный верхний индекс ⁿ к обоим этим квалификаторам (которые определены, как показано),
следствиям { ⁿcompact} состоит в том, что несколько фигур также суммируются, поскольку они могут быть сформированы путем сложения / вычитания суб-гиперкубов порядка 2. Подобные вопросы выходят за рамки данной статьи.

См. Также [ править ]

• Волшебный гиперпучок

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• JRHendricks: Magic Squares to Tesseract by Computer, самоиздан, 1998, 0-9684700-0-9
• Планк, К., Массачусетс, MRCS, Theory of Paths Nasik, 1905, напечатано для частного обращения. Вступительное письмо к статье

Внешние ссылки [ править ]

• Статьи Аале де Винкеля в " Волшебной энциклопедии"
• Волшебные кубики и гиперкубы - ссылки, собранные Мариан Тренклер
  • Алгоритм создания волшебных кубиков Мариан Тренклер
• multimagie.com Статьи Кристиана Бойера
• magichypercube.com Генератор волшебных кубов