В математике подготовительная теорема Мальгранжа является аналогом подготовительной теоремы Вейерштрасса для гладких функций . Это было высказано Рене Томом и доказано Б. Мальгранжем ( 1962–1963 , 1964 , 1967 ).
Утверждение подготовительной теоремы Мальгранжа
Предположим, что f ( t , x ) - гладкая комплексная функция от t ∈ R и x ∈ R n вблизи начала координат, и пусть k - наименьшее целое число такое, что
Тогда одна из форм подготовительной теоремы утверждает, что около начала координат f может быть записано как произведение гладкой функции c , отличной от нуля в начале координат, и гладкой функции, которая как функция от t является полиномом степени k . Другими словами,
где функции c и a гладкие, а c отлична от нуля в нуле.
Вторая форма теоремы, иногда называемая теоремой Мезера о делении , представляет собой своего рода теорему о «делении с остатком»: в ней говорится, что если f и k удовлетворяют указанным выше условиям и g является гладкой функцией около начала координат, то мы можем написать
где q и r гладкие, и как функция t , r - многочлен степени меньше k . Это значит, что
для некоторых гладких функций r j ( x ).
Две формы теоремы легко подразумевают друг друга: первая форма - это частный случай формы «деление с остатком», где g равно t k , а деление с формой остатка следует из первой формы теоремы, как мы можем предположить. что f как функция от t является многочленом степени k .
Если функции f и g действительны, то функции c , a , q и r также можно считать действительными. В случае подготовительной теоремы Вейерштрасса эти функции однозначно определяются с помощью f и g , но единственность больше не сохраняется для подготовительной теоремы Мальгранжа.
Доказательство подготовительной теоремы Мальгранжа
Подготовительную теорему Мальгранжа можно вывести из подготовительной теоремы Вейерштрасса. Очевидный способ сделать это не работает: хотя гладкие функции имеют разложение в формальный степенной ряд в начале координат, а подготовительная теорема Вейерштрасса применяется к формальным степенным рядам, формальные степенные ряды обычно не сходятся к гладким функциям вблизи начала координат. Вместо этого можно использовать идею разложения гладкой функции как суммы аналитических функций путем применения разбиения единицы к ее преобразованию Фурье. Для доказательства в этом направлении см. ( Mather 1968 ) или ( Hörmander 1983a , раздел 7.5).
Алгебраическая версия подготовительной теоремы Мальгранжа
Подготовительную теорему Мальгранжа можно переформулировать как теорему о модулях над кольцами гладких вещественнозначных ростков . Если Х является многообразием , причем р ∈ X , пусть С ∞ р ( Х ) обозначает кольцо вещественных ростков гладких функций на р на X . Обозначим через M p ( X ) единственный максимальный идеал в C ∞ p ( X ), состоящий из ростков, обращающихся в нуль в точке p. Пусть A - C ∞ p ( X ) -модуль, и пусть f : X → Y - гладкая функция между многообразиями. Пусть q = f ( p ). f индуцирует гомоморфизм колец f * : C ∞ q (Y) → C ∞ p ( X ) композицией справа с f . Таким образом, мы можем рассматривать A как C ∞ q ( Y ) -модуль. Тогда подготовительная теорема Мальгранжа гласит, что если A конечно порожденный C ∞ p ( X ) -модуль, то A конечно порожденный C ∞ q ( Y ) -модуль тогда и только тогда, когда A / M q ( Y ) A является конечномерным вещественным векторным пространством.
Рекомендации
- Голубицкий, Мартин ; Гийемен, Виктор (1973), Стабильные отображения и их особенности , Тексты для выпускников по математике 14, Springer-Verlag , ISBN 0-387-90073-X
- Hörmander, L. (1983a), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I , Grundl. Математика. Wissenschaft., 256 , Springer, ISBN 978-3-540-00662-6
- Мальгранж, Бернар (1962–1963), Le théorème de preparation en géométrie différentiable I – IV , Séminaire Henri Cartan , 1962/63, 11–14, Secrétariat mathématique, Париж, MR 0160234
- Мальгранж, Бернар (1964), Подготовительная теорема для дифференцируемых функций. 1964 Дифференциальный анализ, Bombay Colloq. , Лондон: Oxford Univ. Press, стр. 203–208, MR 0182695
- Мальгрейндж, Бернард (1967), Идеалы дифференцируемых функций , Институт фундаментальных исследований в математике Тата, 3 , Лондон: Oxford University Press, стр. Vii + 106, MR 0212575
- Мазер, Джон Н. (1968), "Устойчивость отображений C ∞ . I. Теорема деления.", Ann. математики. , 2, Анналы математики, Vol. 87, № 1, 87 (1): 89-104, DOI : 10,2307 / 1970595 , JSTOR 1970595 , МР 0232401