Распределение Mittag-Leffler

Эта статья в значительной степени или полностью основана на одном источнике . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на дополнительные источники. Найти источники:  «Распределение Mittag-Leffler»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( октябрь 2013 г. )

Распределения Миттаг-Леффлера - это два семейства распределений вероятностей на полуоси . Они параметризованы реальным или . Оба они определены с помощью функции Миттаг-Леффлера , названной в честь Гёста Миттаг-Леффлера . ^[1]${\ displaystyle [0, \ infty)}$${\ Displaystyle \ альфа \ в (0,1]}$${\ Displaystyle \ альфа \ в [0,1]}$

Функция Миттаг-Леффлера [ править ]

Для любого комплекса , действительная часть которого положительна, ряд${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle E _ {\ alpha} (z): = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {\ Gamma (1+ \ alpha n)}}}$

определяет целую функцию. При , ряд сходится только на круге радиуса один, но аналитически продолжается до .${\ Displaystyle \ альфа = 0}$${\ displaystyle \ mathbb {C} - \ {1 \}}$

Первое семейство распределений Миттаг-Леффлера [ править ]

Первое семейство распределений Миттаг-Леффлера определяется соотношением между функцией Миттаг-Леффлера и их кумулятивными функциями распределения .

Для всех функция возрастает на действительной прямой, сходится к in и . Следовательно, функция является кумулятивной функцией распределения вероятностной меры неотрицательных действительных чисел. Определенное таким образом распределение и любое его кратное распределение называется распределением порядка Миттаг-Леффлера .${\ Displaystyle \ альфа \ в (0,1]}$${\ displaystyle E _ {\ alpha}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle - \ infty}$${\ displaystyle E _ {\ alpha} (0) = 1}$${\ displaystyle x \ mapsto 1-E _ {\ alpha} (- x ^ {\ alpha})}$${\ displaystyle \ alpha}$

Все эти распределения вероятностей абсолютно непрерывны . Поскольку - экспоненциальная функция, распределение порядка Миттаг-Леффлера является экспоненциальным распределением . Однако для распределений Миттаг-Леффлера с тяжелым хвостом . Их преобразование Лапласа определяется следующим образом:${\ displaystyle E_ {1}}$${\ displaystyle 1}$${\ Displaystyle \ альфа \ в (0,1)}$

${\displaystyle \mathbb {E} (e^{-\lambda X_{\alpha }})={\frac {1}{1+\lambda ^{\alpha }}},}$

откуда следует, что при ожидании бесконечно. Кроме того, эти распределения являются геометрическими стабильными . Здесь можно найти процедуры оценки параметров. ^{[2] [3]}${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$

Второе семейство распределений Миттаг-Леффлера [ править ]

Второе семейство распределений Миттаг-Леффлера определяется соотношением между функцией Миттаг-Леффлера и их функциями, производящими момент .

Для всех , случайная величина называется следовать распределение М.-Л. порядка , если для некоторой константы ,${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$${\displaystyle X_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle C>0}$

${\displaystyle \mathbb {E} (e^{zX_{\alpha }})=E_{\alpha }(Cz),}$

где сходимость обозначает все в комплексной плоскости, если и все в круге радиуса, если .${\displaystyle z}$${\displaystyle \alpha \in (0,1]}$${\displaystyle z}$${\displaystyle 1/C}$${\displaystyle \alpha =0}$

Распределение порядка Миттаг-Леффлера - это экспоненциальное распределение. Распределение порядка Миттаг-Леффлера - это распределение абсолютного значения случайной величины с нормальным распределением . Распределение порядка Миттаг-Леффлера - это вырожденное распределение . В отличие от первого семейства распределений Миттаг-Леффлера, эти распределения не являются «тяжелыми».${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle 1}$

Эти распределения обычно находятся в связи с местным временем марковских процессов.

Ссылки [ править ]