Геометрическое стабильное распределение

Геометрическая конюшня

Параметры	α ∈ (0,2] - параметр устойчивости β ∈ [−1,1] - параметр асимметрии (обратите внимание, что асимметрия не определена) λ ∈ (0, ∞) - параметр масштаба μ ∈ (−∞, ∞) - параметр местоположения
Поддерживать	x ∈ R , или x ∈ [ μ , + ∞), если α <1 и β = 1 , или x ∈ (−∞, μ ], если α <1 и β = −1
PDF	не выражается аналитически, за исключением некоторых значений параметров
CDF	не выражается аналитически, за исключением определенных значений параметров
Медиана	μ, когда β = 0
Режим	μ, когда β = 0
Дисперсия	2 λ 2 при α = 2 , в противном случае бесконечно
Асимметрия	0 при α = 2 , иначе не определено
Бывший. эксцесс	3, если α = 2 , иначе не определено
MGF	неопределенный
CF	${\ displaystyle \! {\ Big [} 1+ \ lambda ^ {\ alpha} | t | ^ {\ alpha} \ omega -i \ mu t] ^ {- 1}}$, куда ${\ displaystyle \ omega = {\ begin {case} 1-i \ tan {\ tfrac {\ pi \ alpha} {2}} \ beta \, \ operatorname {sign} (t) & {\ text {if}} \ alpha \ neq 1 \\ 1 + i {\ tfrac {2} {\ pi}} \ beta \ log | t | \, \ operatorname {sign} (t) & {\ text {if}} \ alpha = 1 \ end {case}}}$

Геометрическое распределение устойчиво или распределение гео-устойчивым является типом leptokurtic распределения вероятностей . Геометрические устойчивые распределения были введены в работах Клебанова, Л.Б., Мания, Г.М., и Меламеда, И.А. (1985). Задача Золотарева и аналоги безгранично делимых и устойчивых распределений в схеме суммирования случайного числа случайных величин. ^[1] Эти распределения являются аналогами устойчивых распределений для случая, когда количество слагаемых является случайным, не зависит от распределения слагаемых и имеет геометрическое распределение. Геометрическое устойчивое распределение может быть симметричным или асимметричным. Симметричное геометрическое устойчивое распределение также называется распределением Линника.. ^[2] Распределение Лапласа и асимметричное распределение Лапласа являются частными случаями геометрического устойчивого распределения. Распределение Лапласа также является частным случаем распределения Линника. Распределение Миттаг-Леффлера также является частным случаем геометрического устойчивого распределения. ^[3]

Геометрическое стабильное распределение имеет приложения в теории финансов. ^{[4] [5] [6] [7]}

Характеристики [ править ]

Для большинства геометрических устойчивых распределений функция плотности вероятности и кумулятивная функция распределения не имеют замкнутой формы. Но геометрическое устойчивое распределение можно определить с помощью его характеристической функции , которая имеет вид: ^[8]

${\ Displaystyle \ varphi (т; \ альфа, \ бета, \ лямбда, \ му) = [1+ \ лямбда ^ {\ альфа} | т | ^ {\ альфа} \ омега -i \ му т] ^ {- 1}}$

куда ${\displaystyle \omega ={\begin{cases}1-i\tan {\tfrac {\pi \alpha }{2}}\beta \,\operatorname {sign} (t)&{\text{if }}\alpha \neq 1\\1+i{\tfrac {2}{\pi }}\beta \log |t|\operatorname {sign} (t)&{\text{if }}\alpha =1\end{cases}}}$

${\displaystyle \alpha }$, который должен быть больше 0 и меньше или равен 2, является параметром формы или индексом устойчивости, который определяет, насколько тяжелы хвосты. ^[8] Нижний соответствует более тяжелым хвостам .${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \beta }$, который должен быть больше или равен -1 и меньше или равен 1, является параметром асимметрии. ^[8] При отрицательном значении распределение смещено влево, а при положительном значении распределение смещено вправо. Когда равен нулю, распределение симметрично, а характеристическая функция сводится к: ^[8]${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,0,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }-i\mu t]^{-1}}$

Симметричное геометрическое устойчивое распределение с также называется распределением Линника. ^[9] Полностью перекос геометрическое распределение стабильной, то есть с , с , также упоминается как распределение М.-Л.. ^[10] Хотя и определяет асимметрию распределения, его не следует путать с типичным коэффициентом асимметрии или 3-м стандартизированным моментом , который в большинстве случаев не определен для геометрического устойчивого распределения.${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \beta =1}$${\displaystyle \alpha <1}$${\displaystyle 0<\mu <1}$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \lambda >0}$- параметр масштаба и - параметр местоположения. ^[8]${\displaystyle \mu }$

Когда = 2, = 0 и = 0 (то есть симметричное геометрическое устойчивое распределение или распределение Линника с = 2), распределение становится симметричным распределением Лапласа со средним значением 0 ^[9], которое имеет функцию плотности вероятности :${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f(x\mid 0,\lambda )={\frac {1}{2\lambda }}\exp \left(-{\frac {|x|}{\lambda }}\right)\,\!}$

Распределение Лапласа имеет дисперсию, равную . Однако для геометрической дисперсии устойчивое распределение бесконечно.${\displaystyle 2\lambda ^{2}}$${\displaystyle \alpha <2}$

Связь со стабильными дистрибутивами [ править ]

Распределение устойчиво обладает тем свойством , что если являются независимыми, одинаково распределенными случайными величинами , взятых из распределения стабильного, то сумма имеет такое же распределение, что и с для некоторых и .${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$${\displaystyle Y=a_{n}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n})+b_{n}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle b_{n}}$

Геометрические устойчивые распределения обладают аналогичным свойством, но в них количество элементов в сумме является геометрически распределенной случайной величиной. Если являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами, взятыми из геометрического устойчивого распределения, предел суммы приближается к распределению s для некоторых коэффициентов, а когда p приближается к 0, где - случайная величина, не зависящая от s, взятой из геометрического распределения с параметр p. ^[5] Другими словами:${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$${\displaystyle Y=a_{N_{p}}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})+b_{N_{p}}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle a_{N_{p}}}$${\displaystyle b_{N_{p}}}$${\displaystyle N_{p}}$${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle \Pr(N_{p}=n)=(1-p)^{n-1}\,p\,.}$

Распределение является строго геометрическим устойчивым только в том случае, если сумма равна распределению s для некоторого  a . ^[4]${\displaystyle Y=a(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})}$${\displaystyle X_{i}}$

Также существует связь между характеристической функцией устойчивого распределения и геометрической характеристической функцией устойчивого распределения. Устойчивое распределение имеет характеристическую функцию вида:

${\displaystyle \Phi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu )=\exp \left[~it\mu \!-\!|\lambda t|^{\alpha }\,(1\!-\!i\beta \operatorname {sign} (t)\Omega )~\right],}$

куда

${\displaystyle \Omega ={\begin{cases}\tan {\tfrac {\pi \alpha }{2}}&{\text{if }}\alpha \neq 1,\\-{\tfrac {2}{\pi }}\log |t|&{\text{if }}\alpha =1.\end{cases}}}$

Геометрическая стабильная характеристическая функция может быть выражена через стабильную характеристическую функцию как: ^[11]

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu )=[1-\log(\Phi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu ))]^{-1}.}$

См. Также [ править ]

• Распределение Mittag-Leffler

Ссылки [ править ]