Проблема с подвижным магнитом и проводником

Проводник движется в магнитном поле.

Проблема движущегося магнита и проводника - это известный мысленный эксперимент XIX века, связанный с пересечением классического электромагнетизма и специальной теории относительности . В нем ток в проводнике, движущемся с постоянной скоростью v относительно магнита , вычисляется в системе отсчета магнита и в системе отсчета проводника. Наблюдаемая величина в эксперименте, ток, в любом случае одна и та же, в соответствии с основным принципом относительности , который гласит: « Наблюдаемо только относительное движение; не существует абсолютного стандарта покоя».^[1] Однако, согласно уравнениям Максвелла, заряды в проводнике испытывают магнитную силу в рамке магнита и электрическую силу в рамке проводника. Кажется, что одно и то же явление может иметь два разных описания в зависимости от системы взглядов наблюдателя.

Эта проблема, наряду с экспериментом Физо , аберрацией света и, более косвенно, тестами на отрицательный дрейф эфира, такими как эксперимент Майкельсона-Морли , легла в основу разработки Эйнштейном теории относительности. ^[2]

Введение [ править ]

Статья Эйнштейна 1905 года, которая познакомила мир с теорией относительности, начинается с описания проблемы магнит / проводник. [1]

Известно, что электродинамика Максвелла - как обычно понимается в настоящее время - в применении к движущимся телам приводит к асимметриям, которые, по-видимому, не присущи явлениям. Возьмем, например, взаимное электродинамическое действие магнита и проводника. Наблюдаемое явление здесь зависит только от относительного движения проводника и магнита, в то время как обычный взгляд проводит резкое различие между двумя случаями, когда одно или другое из этих тел находится в движении. Ведь если магнит находится в движении, а проводник покоится, в окрестности магнита возникает электрическое поле с определенной энергией, производящее ток в местах, где расположены части проводника. Но если магнит неподвижен, а проводник движется,вблизи магнита электрическое поле не возникает. В проводнике, однако, мы находим электродвижущую силу, которой сама по себе не соответствует энергия, но которая порождает - при условии равенства относительного движения в двух рассмотренных случаях - электрические токи того же пути и силы, что и создаваемые электрическими силами в первом случае.

-  А. Эйнштейн, О электродинамике движущихся тел (1905).

Основное требование к описаниям в разных фреймворках - они должны быть последовательными . Непротиворечивость является проблемой, потому что ньютоновская механика предсказывает одно преобразование (так называемую галилееву инвариантность ) для сил , приводящих в движение заряды и вызывающих ток, в то время как электродинамика, выраженная уравнениями Максвелла, предсказывает, что поля , порождающие эти силы, трансформируются по-разному (согласно к лоренц-инвариантности ). Наблюдения аберрации света, кульминацией которых стал эксперимент Майкельсона – Морли , установили справедливость лоренц-инвариантности и развитие специальной теории относительности.разрешил возникшее разногласие с механикой Ньютона. Специальная теория относительности пересмотрела преобразование сил в движущихся системах отсчета, чтобы оно соответствовало лоренц-инвариантности. Детали этих преобразований обсуждаются ниже.

В дополнение к согласованности было бы неплохо объединить описания, чтобы они казались независимыми от кадра. Ключом к описанию, не зависящему от структуры, является наблюдение, что магнитные поля в одной системе отсчета становятся электрическими полями в другой системе отсчета. Точно так же соленоидальная часть электрических полей (часть, которая не создается электрическими зарядами) становится магнитным полем в другой системе отсчета: то есть соленоидальные электрические поля и магнитные поля являются аспектами одного и того же. ^[3] То есть парадокс разных описаний может быть только семантическим . Описание, использующее скалярные и векторные потенциалы φ и A вместо B и Eизбегает семантической ловушки. Лоренц-инвариантный четырехвектор A ^α = (φ / c , A ) заменяет E и B ^[4] и обеспечивает независимое от кадра описание (хотя и менее интуитивное, чем описание E - B ). ^[5] Альтернативным объединением описаний является представление о физическом объекте как о тензоре электромагнитного поля , как описано ниже. Этот тензор содержит поля E и B в качестве компонентов и имеет одинаковую форму во всех системах отсчета.

Фон [ править ]

Электромагнитные поля не наблюдаются напрямую. О существовании классических электромагнитных полей можно судить по движению заряженных частиц, траектории которых наблюдаемы. Электромагнитные поля действительно объясняют наблюдаемые движения классических заряженных частиц.

Сильное требование в физике состоит в том, чтобы все наблюдатели движения частицы соглашались с траекторией частицы. Например, если один наблюдатель замечает, что частица сталкивается с центром «яблочка», то все наблюдатели должны прийти к одному и тому же выводу. Это требование накладывает ограничения на природу электромагнитных полей и на их преобразование из одной системы отсчета в другую. Это также накладывает ограничения на то, как поля влияют на ускорение и, следовательно, на траектории заряженных частиц.

Возможно, самый простой пример, на который Эйнштейн ссылался в своей статье 1905 года, вводящей специальную теорию относительности , - это проблема проводника, движущегося в поле магнита. В рамке магнита на проводник действует магнитная сила. В рамках проводника, движущегося относительно магнита, на проводник действует сила, обусловленная электрическим полем. Магнитное поле в корпусе магнита и электрическое поле в корпусе проводника должны давать согласованные результаты в проводнике. Во времена Эйнштейна в 1905 году уравнения поля, представленные уравнениями Максвелла, были должным образом согласованы. Однако закон движения Ньютона пришлось изменить, чтобы обеспечить согласованные траектории частиц. ^[6]

Преобразование полей в предположении преобразований Галилея [ править ]

Предполагая, что рамка магнита и рамка проводника связаны преобразованием Галилея , легко вычислить поля и силы в обеих системах отсчета. Это продемонстрирует, что наведенный ток действительно одинаков в обоих кадрах. В качестве побочного продукта этот аргумент также даст общую формулу для электрического и магнитного полей в одной системе отсчета через поля в другой системе отсчета. ^[7]

В действительности фреймы связаны не преобразованием Галилея, а преобразованием Лоренца . Тем не менее, это будет преобразование Галилея в очень хорошем приближении со скоростями, намного меньшими скорости света.

Величины без штрихов соответствуют остальной раме магнита, а величины со штрихами соответствуют остальной раме проводника. Пусть v - скорость проводника, если смотреть со стороны рамки магнита.

Рамка магнита [ править ]

В остальной раме магнита магнитное поле представляет собой некоторое фиксированное поле B ( r ), определяемое структурой и формой магнита. Электрическое поле равно нулю.

В общем, сила, действующая на частицу с зарядом q в проводнике электрическим полем и магнитным полем, выражается в (единицах СИ):

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = д (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}),}$

где - заряд частицы, - скорость частицы, а F - сила Лоренца . Однако здесь электрическое поле равно нулю, поэтому сила, действующая на частицу, равна${\ displaystyle q}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$

Каркас проводника [ править ]

В корпусе проводника существует изменяющееся во времени магнитное поле B ', связанное с магнитным полем B в корпусе магнита согласно: ^[8]

${\displaystyle \mathbf {B} '(\mathbf {r'} ,t')=\mathbf {B} (\mathbf {r_{t'}} )}$ где ${\displaystyle \mathbf {r_{t'}} =\mathbf {r'} +\mathbf {v} t'}$

В этой системе есть это электрическое поле, а его ротор задается уравнением Максвелла-Фарадея :

${\displaystyle \mathbf {\nabla \times E} '=-{\frac {\partial \mathbf {B} '}{\partial t'}}.}$

Это необъяснимо ^[9] приводит к:

${\displaystyle \mathbf {E} '=\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$

Заряд q в проводнике будет покоиться в каркасе проводника. Следовательно, магнитный силовой член силы Лоренца не имеет никакого эффекта, и сила, действующая на заряд, определяется выражением

${\displaystyle \mathbf {F} '=q\mathbf {E} '=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$

Это демонстрирует, что сила одинакова в обоих кадрах (как и следовало ожидать), и поэтому любые наблюдаемые последствия этой силы, такие как индуцированный ток, также будут одинаковыми в обоих кадрах. И это несмотря на то, что сила, как видно, является электрической силой в корпусе проводника, но магнитной силой в корпусе магнита.

Формула преобразования Галилея для полей [ править ]

Аналогичный аргумент можно привести, если корпус магнита также содержит электрические поля. (Уравнение Ампера-Максвелла также вступает в игру, объясняя, как в системе проводника это движущееся электрическое поле будет вносить вклад в магнитное поле.) Конечным результатом является то, что, в общем,

${\displaystyle \mathbf {E} '=\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} }$

${\displaystyle \mathbf {B} '=\mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} ,}$

с гр на скорость света в свободном пространстве .

Подставляя эти правила преобразования в полные уравнения Максвелла , можно увидеть, что если уравнения Максвелла верны в одной системе отсчета, то они почти верны в другой системе, но содержат неправильные члены pro, полученные с помощью преобразования Лоренца , а также уравнения преобразования поля. должны быть изменены в соответствии с выражениями, приведенными ниже.

Преобразование полей согласно уравнениям Максвелла [ править ]

В системе, движущейся со скоростью v , E- поле в движущейся системе, когда нет E- поля в неподвижной магнитной системе , уравнения Максвелла преобразуются следующим образом: ^[10]

${\displaystyle \mathbf {E} '=\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {B} }$

где

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{(v/c)}^{2}}}}}$

называется фактором Лоренца, а c - скорость света в свободном пространстве . Этот результат является следствием требования, чтобы наблюдатели во всех инерциальных системах отсчета приходили к одной и той же форме для уравнений Максвелла. В частности, все наблюдатели должны видеть одинаковую скорость света c . Это требование приводит к преобразованию Лоренца для пространства и времени. Предполагая преобразование Лоренца, инвариантность уравнений Максвелла затем приводит к вышеуказанному преобразованию полей для этого примера.

Следовательно, сила, действующая на заряд, равна

${\displaystyle \mathbf {F} '=q\mathbf {E} '=q\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$

Это выражение отличается от выражения, полученного из нерелятивистского закона движения Ньютона, в раз . Специальная теория относительности изменяет пространство и время таким образом, что силы и поля трансформируются последовательно. γ {\displaystyle \gamma }

Модификация динамики для согласования с уравнениями Максвелла [ править ]

Сила Лоренца имеет одинаковую форму в обоих кадрах, хотя поля различаются, а именно:

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right].}$

См. Рис. 1. Для упрощения, пусть магнитное поле направлено в направлении z и изменяется в зависимости от местоположения x , а проводник перемещается в положительном направлении x со скоростью v . Следовательно, в рамке магнита, где движется проводник, сила Лоренца направлена ​​в отрицательном направлении оси y , перпендикулярном как скорости, так и полю B. Сила, действующая на заряд, здесь только за счет B- поля, равна

${\displaystyle F_{y}=-qvB,}$

в то время как в проводящей рамке, где движется магнит, сила также находится в отрицательном направлении оси y , и теперь она обусловлена ​​только E- полем со значением:

${\displaystyle {F_{y}}'=qE'=-q\gamma vB.}$

Эти две силы различаются на коэффициент Лоренца γ. Это различие ожидается в релятивистской теории, однако, из-за изменения пространства-времени между кадрами, как обсуждается ниже.

Относительность берет преобразование Лоренца пространства-времени, предложенное инвариантностью уравнений Максвелла, и налагает его также на динамику (пересмотр законов движения Ньютона ). В этом примере преобразование Лоренца влияет только на направление x (относительное движение двух кадров происходит в направлении x ). Отношения, соединяющие время и пространство, следующие ( штрихи обозначают подвижный проводник): ^[11]

${\displaystyle x'=\gamma (x-vt),\quad x=\gamma (x'+vt'),}$

${\displaystyle t'=\gamma (t-{\frac {vx}{c^{2}}}),\quad t=\gamma (t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}).}$

Эти преобразования приводят к изменению y -компоненты силы :

${\displaystyle {F_{y}}'=\gamma F_{y}.}$

То есть в рамках лоренц-инвариантности сила не одинакова во всех системах отсчета, в отличие от галилеевой инвариантности. Но из более раннего анализа, основанного на законе силы Лоренца:

${\displaystyle \gamma F_{y}=-q\gamma vB,\quad {F_{y}}'=-q\gamma vB,}$

что полностью согласен. Таким образом, сила, действующая на заряд, не одинакова в обеих системах отсчета, но она трансформируется, как и ожидалось, согласно теории относительности.

См. Также [ править ]

Ссылки и примечания [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Эйнштейн, А. (1916). Относительность: специальная и общая теория . Нью-Йорк: Корона. ISBN 0-517-02961-8.
• Фейнман, Ричард П .; Лейтон, Роберт Б .; Пески, Мэтью (2006). Лекции Фейнмана по физике . Том 2. С. 13–6. Глава 13. ISBN. 0-8053-9045-6. |volume= has extra text (help) (Относительность магнитного и электрического полей)

• Миснер, Чарльз; Торн, Кип С. и Уиллер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
• Ландау, Л.Д., Лифшиц, Е.М. (1975). Классическая теория полей (четвертое пересмотренное английское издание). Оксфорд: Пергамон. ISBN 0-08-018176-7.
• Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.) . Вайли. ISBN 0-471-30932-X.
• К. Мёллер (1976). Теория относительности (второе изд.). Оксфорд, Великобритания: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-560539-X. OCLC  220221617 .

Внешние ссылки [ править ]

• Магниты и проводники в специальной теории относительности