Обозначения для дифференцирования

В дифференциальном исчислении не существует единого единого обозначения дифференцирования . Вместо этого разные математики предлагали различные обозначения производной функции или переменной . Полезность каждой нотации зависит от контекста, и иногда бывает выгодно использовать более одной нотации в данном контексте. Ниже перечислены наиболее распространенные обозначения дифференцирования (и его противоположной операции — антидифференциации или неопределенного интегрирования ).

Оригинальные обозначения, использованные Готфридом Лейбницем , используются во всей математике. Это особенно распространено, когда уравнение y = f ( x ) рассматривается как функциональная связь между зависимыми и независимыми переменными y и x . Обозначения Лейбница делают это соотношение явным, записывая производную как

Значение производной y в точке x = a можно выразить двумя способами, используя обозначения Лейбница:

Обозначения Лейбница позволяют указать переменную для дифференцирования (в знаменателе). Это особенно полезно при рассмотрении частных производных . Это также позволяет легко запомнить и распознатьправило цепочки :

Обозначение Лейбница для дифференциации не требует присвоения значения таким символам, как dx или dy (известным как дифференциалы ), как таковым, и некоторые авторы не пытаются придавать значение этим символам. Лейбниц трактовал эти символы как бесконечно малые . Более поздние авторы присвоили им другие значения, например, бесконечно малые в нестандартном анализе или внешние производные . Обычно dx оставляют неопределенным или приравнивают к , тогда как dy присваивают значение в терминах dx через уравнение${\displaystyle \Delta x}$

(см. ниже ). Такие уравнения порождают терминологию, встречающуюся в некоторых текстах, где производная называется «дифференциальным коэффициентом» (т.е. коэффициентом при dx ) .

умри

дх

день ² года

дх ²

Первая и вторая производные y по x в обозначениях Лейбница.

${\displaystyle \int y\,dx}$
${\displaystyle \iint y\,dx^{2}}$

Одинарный и двойной неопределенные интегралы от y по x в обозначениях Лейбница.

ж ′ ( Икс )

Функция f от x , дифференцированная один раз в обозначениях Лагранжа.

ж ^(-1) ( Икс )
ж ^(-2) ( Икс )

Одинарный и двойной неопределенные интегралы от f по x в обозначениях Лагранжа.

Д _х у
Д ² ж

Производная x от y и вторая производная от f , обозначение Эйлера.

Д⁻¹
_хy
D ⁻² f

Первообразная x от y и вторая первообразная от f , обозначение Эйлера.

ИксИкс

Первая и вторая производные x , обозначения Ньютона.

ИксИкс

Первая и вторая первообразные x в одной из обозначений Ньютона.

х _хе _ху

Функция f дифференцируется по x , затем по x и y .

∂f / ∂x

Функция f, дифференцированная по x .

∇ φ

Градиент скалярного поля φ .

∇∙ А

Дивергенция векторного поля A .

∇ ² φ

Лапласиан скалярного поля φ .

∇× А

Ротор векторного поля A .