Купол Нортона - это мысленный эксперимент , демонстрирующий недетерминированную систему в рамках ньютоновской механики . Он был разработан Джоном Д. Нортоном в 2003 году. [1] [2] Это частный предельный случай более общего класса примеров из 1997 года, созданных Санджаем Бхатом и Деннисом Бернстайном. [3] Проблема купола Нортона может рассматриваться как проблема физики, математики или философии. [4] [5] [6] [7]
Описание
Модель состоит из идеализированной частицы, изначально неподвижно сидящей на вершине идеализированного радиально-симметричного купола без трения, описываемого уравнением [6] [7]
где h - вертикальное смещение от вершины купола до точки на куполе, r - геодезическое расстояние от вершины купола до этой точки (другими словами, радиальная координата r «вписана» на поверхность), g - ускорение свободного падения, а b - константа пропорциональности. [6]
Из второго закона Ньютона , касательная составляющая ускорения на точку массового отдыха без трения на поверхности. [6]
Решения уравнений движения
Нортон показывает, что есть два класса математических решений этого уравнения. В первом случае частица навсегда остается на вершине купола. Во втором случае частица какое-то время сидит на вершине купола, а затем через произвольный промежуток времени начинает скользить по куполу в произвольном направлении. Кажущийся парадокс в этом втором случае состоит в том, что это могло бы происходить без видимой причины и без какой-либо радиальной силы, оказываемой на него какой-либо другой сущностью, что явно противоречит как физической интуиции, так и нормальным интуитивным представлениям о причине и следствии , однако движение по-прежнему полностью соответствует математике законов движения Ньютона . [ необходима цитата ]
Чтобы увидеть, что все эти уравнения движения являются физически возможными решениями, полезно использовать временную обратимость ньютоновской механики. Можно катить шар вверх по куполу так, чтобы он достиг вершины за конечное время и с нулевой энергией и останавливался там. Благодаря обращению времени, для мяча является правильным решением некоторое время покоиться наверху, а затем скатиться вниз в любом одном направлении. Однако тот же аргумент, примененный к обычным видам куполов (например, полушарию), не работает, потому что шар, запущенный с нужной энергией, чтобы достичь вершины и остаться там, на самом деле потребует бесконечное время, чтобы сделать это. [8] [ требуется неосновной источник ]
Разрешение парадокса
Хотя мысленный эксперимент Нортона подвергался множеству критических замечаний, например, как нарушение принципа непрерывности Липшица (сила, которая появляется во втором законе Ньютона, не является непрерывной функцией Липшица траектории частицы - это позволяет уклоняться от локальной теорема единственности для решений обыкновенных дифференциальных уравнений), или в нарушение принципов физической симметрии , или что она каким-то иным образом «нефизична», среди ее критиков нет единого мнения относительно того, почему они считают ее недействительной.
Неопределенные производные
Однако простая критика мысленного эксперимента заключается в следующем:
Весь аргумент зависит от поведения частицы в точке , в течение периода времени, когда он имеет нулевую скорость. Традиционная ньютоновская механика сказала бы, что положение частицы бесконечно мало
- ,
на короткое время , но поскольку второй производной поверхности в этой точке не существует, сила неопределима. Поэтому совершенно очевидно, что бесконечно малое движение объекта также является неопределенным.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Нортон, Джон Д. (ноябрь 2003 г.). «Причинность как народная наука». Отпечаток философов . 3 (4): 1-22. hdl : 2027 / spo.3521354.0003.004 .
- ^ Laraudogoitia, Джон Перес (2013). «На куполе Нортона». Synthese . 190 (14): 2925–2941. DOI : 10.1007 / s11229-012-0105-Z .
- ^ Bhat, Sanjay P .; Бернштейн, Деннис С. (1 февраля 1997 г.). «Пример неопределенности в классической динамике». Международный журнал теоретической физики . 36 (2): 545–550. DOI : 10.1007 / BF02435747 . ISSN 1572-9575 .
- ^ Ройтлингер, Александр (2013). Теория причинности в социальных и биологических науках . Пэлгрейв Макмиллан. п. 109. ISBN 9781137281043.
- ^ Уилсон, Марк (2009). «Детерминизм и тайна пропавшей физики» (PDF) . Британский журнал философии науки . 60 (1): 173–193. DOI : 10.1093 / bjps / axn052 .
- ^ а б в г Флетчер, Сэмюэл Крейг (2011). «Что считается ньютоновской системой? Вид с купола Нортона». Европейский журнал философии науки . 2 (3): 275–297. CiteSeerX 10.1.1.672.9952 . DOI : 10.1007 / s13194-011-0040-8 .
- ^ а б Маламент, Дэвид Б. (2008). «Скользкий склон Нортона». Философия науки . 75 (5): 799–816. DOI : 10.1086 / 594525 . ISSN 0031-8248 . PhilSci: 3195 .
- ^ Нортон, Джон. «Купол» . www.pitt.edu . Проверено 20 января 2021 года .
Внешние ссылки
- Веб-страница Джона Нортона по проблеме купола Нортона