Покрытие (топология)

---

В математике , особенно в топологии , покрытие множества — это совокупность множеств, объединение которых включает в себя как подмножество . Формально, если индексированное семейство множеств, то оно является покрытием if${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C=\lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace }$${\displaystyle U_{\alpha },}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$

Покрытия обычно используются в контексте топологии . Если набор является топологическим пространством , то покрытие представляет собой набор подмножеств , объединение которых представляет собой все пространство . В этом случае мы говорим, что покрывает или что наборы покрывают . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle X}$

Кроме того, если является (топологическим) подпространством , то покрытие является набором подмножеств объединения которых содержит , т . е . является покрытием, если${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle C}$${\displaystyle Y}$

То есть мы можем покрыть либо открытыми множествами в себе, либо покрыть открытыми множествами в родительском пространстве .${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

Мы говорим, что C являетсяоткрытое покрытие , если каждый из его членов являетсяоткрытым множеством(т. е. каждоеU _α содержится вT, гдеT— топология наX).

Покрытие X называется локально конечным , если каждая точка X имеет окрестность , пересекающую только конечное число множеств покрытия. Формально C = { U _α } локально конечно, если для любого существует некоторая окрестность N ( x ) точки x такая, что множество${\displaystyle x\in X,}$

---