Пандиагональный магический квадрат

Пандиагональный магический квадрат или панмагический квадрат (также дьявольский квадрат , дьявольский квадрат или дьявольский магический квадрат ) — это магический квадрат с дополнительным свойством, состоящим в том, что ломаные диагонали , т. е. диагонали, огибающие края квадрата, также складываются в магическая константа .

Пандиагональный магический квадрат остается пандиагонально-магическим не только при вращении или отражении , но и при перемещении строки или столбца с одной стороны квадрата на противоположную. Таким образом, пандиагональный магический квадрат можно рассматривать как имеющий ориентацию.${\ Displaystyle п \ раз п}$${\ Displaystyle 8n ^ {2}}$

Можно показать, что нетривиальных пандиагональных магических квадратов третьего порядка не существует. Предположим, квадрат

является пандиагональной магией с магической константой . Сложение сумм и результатов в . Вычитаем и получаем . Однако, если мы переместим третий столбец вперед и выполним тот же аргумент, мы получим . На самом деле, используя симметрии магических квадратов 3 × 3, все ячейки должны быть равны . Следовательно, все пандиагональные магические квадраты 3 × 3 должны быть тривиальными.${\ Displaystyle с}$${\ Displaystyle а_ {11} + а_ {22} + а_ {33},}$ ${\ Displaystyle а_ {12} + а_ {22} + а_ {32},}$${\ Displaystyle а_ {13} + а_ {22} + а_ {31}}$${\ Displaystyle 3s}$${\ Displaystyle а_ {11} + а_ {12} + а_ {13}}$${\ Displaystyle а_ {31} + а_ {32} + а_ {33},}$${\ displaystyle 3a_ {22} = s}$${\ displaystyle 3a_ {21} = s}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {3}} с}$

Однако если обобщить концепцию магического квадрата, включив в нее геометрические фигуры вместо чисел — геометрические магические квадраты , открытые Ли Сэллоусом , — пандиагональный магический квадрат 3 × 3 действительно существует.

Наименьшие нетривиальные пандиагональные магические квадраты имеют размер 4 × 4. Все пандиагональные магические квадраты 4 × 4 должны быть трансляционно-симметричными к форме ^[1]

Диаграмма Эйлера требований некоторых типов магических квадратов 4 × 4. Ячейки одного цвета в сумме дают магическую константу.