Параметрический генератор представляет собой управляемый гармонический осциллятор , в котором колебания приводятся в движение путем изменения некоторых параметров системы на некоторой частоте, как правило , отличной от собственной частоты генератора. Простым примером параметрического осциллятора является ребенок, качающий качели на игровой площадке , периодически вставая и приседая, чтобы увеличить размер колебаний качелей. [1] [2] [3] Движения ребенка изменяют момент инерции качелей как маятник.. «Качающие» движения ребенка должны быть в два раза чаще, чем колебания качелей. Примеры параметров, которые можно изменять: резонансная частота генератора. и демпфирование .
Параметрические осцилляторы используются в нескольких областях физики. Классический варакторный параметрический генератор состоит из полупроводникового варакторного диода, подключенного к резонансному контуру или объемному резонатору . Он управляется изменением емкости диода путем приложения переменного напряжения смещения . Схема, изменяющая емкость диода, называется «накачкой» или «драйвером». В микроволновой электронике параметрические генераторы на основе волноводов / YAG работают аналогичным образом. Другой важный пример - оптический параметрический генератор , который преобразует входную лазерную световую волну в две выходные волны более низкой частоты ().
При работе с уровнями накачки ниже уровня колебаний параметрический генератор может усиливать сигнал, образуя параметрический усилитель ( paramp ). Варакторные параметрические усилители были разработаны как малошумящие усилители в радио- и микроволновом диапазоне частот. Преимущество параметрического усилителя состоит в том, что он имеет гораздо более низкий уровень шума, чем усилитель на основе устройства усиления, такого как транзистор или электронная лампа . Это связано с тем, что в параметрическом усилителе изменяется реактивное сопротивление вместо (создающего шум) сопротивления . Они используются в радиоприемниках с очень низким уровнем шума в радиотелескопах и антеннах связи космических кораблей . [4]
Параметрический резонанс возникает в механической системе, когда система параметрически возбуждается и колеблется на одной из своих резонансных частот. Параметрическое возбуждение отличается от принуждения, поскольку действие проявляется как изменение во времени системного параметра.
История
Параметрические колебания впервые были замечены в механике. Майкл Фарадей (1831) был первым, кто заметил колебания одной частоты, возбуждаемые силами, в два раза превышающими частоту, в колебаниях (взъерошенных поверхностных волнах), наблюдаемых в бокале для вина, возбужденном, чтобы «петь». [5] Франц Мелде (1860) генерировал параметрические колебания в струне, используя камертон для периодического изменения натяжения на удвоенной резонансной частоте струны. [6] Параметрические колебания были впервые рассмотрены как общее явление Рэлеем (1883,1887). [7] [8] [9]
Одним из первых, кто применил эту концепцию к электрическим цепям, был Джордж Фрэнсис Фицджеральд , который в 1892 году попытался возбудить колебания в LC-цепи , накачав ее с помощью переменной индуктивности, создаваемой динамо-машиной. [10] [11] Параметрические усилители ( paramps ) были впервые использованы в 1913-1915 годах для радиотелефонной связи из Берлина в Вену и Москву, и, по прогнозам, у них было хорошее будущее ( Ernst Alexanderson , 1916). [12] Эти ранние параметрические усилители использовали нелинейность индуктора с железным сердечником , поэтому они могли работать только на низких частотах.
В 1948 году Альдерт ван дер Зил указал на главное преимущество параметрического усилителя: поскольку он использовал переменное реактивное сопротивление вместо сопротивления для усиления, он имел низкий уровень шума. [13] Параметрический усилитель используется в качестве переднего конца в виде радиоприемника может усиливать слабый сигнал при введении очень мало шума. В 1952 году Харрисон Роу из Bell Labs расширил некоторые математические работы Джека Мэнли 1934 года по накачанным колебаниям и опубликовал современную математическую теорию параметрических колебаний, соотношения Мэнли-Роу . [13]
Варакторного диода изобретен в 1956 имел нелинейную емкость , которая была полезной в диапазоне сверхвысоких частот. Варакторный параметрический усилитель был разработан Мэрион Хайнс в 1956 году в компании Western Electric . [13] В то время, когда это было изобретено, микроволны только начали эксплуатироваться, и варакторный усилитель был первым полупроводниковым усилителем на сверхвысоких частотах. [13] Он применялся в малошумящих радиоприемниках во многих областях и широко использовался в радиотелескопах , наземных спутниковых станциях и радарах дальнего действия . Это основной тип параметрических усилителей, используемых сегодня. С тех пор параметрические усилители были созданы с другими нелинейными активными устройствами, такими как переходы Джозефсона .
Метод был распространен на оптические частоты в оптических параметрических генераторах и усилителях, в которых в качестве активного элемента используются нелинейные кристаллы .
Математический анализ
Параметрический осциллятор - это гармонический осциллятор , физические свойства которого меняются со временем. Уравнение такого осциллятора:
Это уравнение линейно по . По предположению параметры а также зависят только от времени и не зависят от состояния осциллятора. В общем, и / или предполагается, что они периодически изменяются с одним и тем же периодом .
Если параметры изменяются при примерно в два раза по частоте собственных колебаний генератора ( как определено ниже), генератор фазы замки на параметрическую вариацию и поглощает энергию при пропорциональной скорости к энергии у него уже есть. Без механизма компенсации потерь энергии, обеспечиваемогоамплитуда колебаний растет экспоненциально. (Это явление называется параметрическим возбуждением , параметрическим резонансом или параметрической накачкой .) Однако, если начальная амплитуда равна нулю, она останется таковой; это отличает его от непараметрического резонанса управляемых простых гармонических осцилляторов , в котором амплитуда линейно растет во времени независимо от начального состояния.
Знакомый опыт как параметрических, так и управляемых колебаний играет на качелях. [1] [2] [3] Раскачивание вперед и назад качает качели как приводимый в действие гармонический осциллятор , но после движения качели также можно параметрически управлять, попеременно стоя и приседая в ключевых точках дуги качания. Это изменяет момент инерции качелей и, следовательно, резонансную частоту, и дети могут быстро достичь больших амплитуд при условии, что они имеют некоторую амплитуду для начала (например, получить толчок). Однако стояние и приседания в состоянии покоя ни к чему не приводят.
Преобразование уравнения
Начнем с замены переменных
где является интегралом по времени от затухания
- .
Эта замена переменных устраняет демпфирующий член
где преобразованная частота определяется
- .
В общем, изменения затухания и частоты представляют собой относительно небольшие возмущения.
где а также являются константами, а именно, усредненной по времени частотой осциллятора и затуханием соответственно.
Преобразованную частоту можно записать аналогично:
- ,
где - собственная частота затухающего гармонического осциллятора
а также
- .
Таким образом, наше преобразованное уравнение можно записать
- .
Независимые вариации а также в демпфировании осциллятора и резонансной частоте соответственно могут быть объединены в единую функцию накачки . Обратный вывод состоит в том, что любая форма параметрического возбуждения может быть достигнута путем изменения либо резонансной частоты, либо демпфирования, либо того и другого.
Решение преобразованного уравнения
Предположим, что синусоидальный, в частности
где частота накачки но не обязательно равный точно. Решение преобразованного уравнения можно записать
где быстро меняющиеся компоненты были исключены ( а также ), чтобы выделить медленно меняющиеся амплитуды а также . Это соответствует методу вариации параметров Лапласа.
Подставляя это решение в преобразованное уравнение и сохраняя только члены первого порядка по дает два связанных уравнения
Эти уравнения можно разделить и решить, сделав еще одну замену переменных.
что дает уравнения
где для краткости определены
и расстройка
- .
В уравнение не зависит от , и линеаризация вблизи его положения равновесия показывает, что экспоненциально распадается до состояния равновесия
где постоянная распада
- .
Другими словами, параметрический генератор синхронизируется по фазе с сигналом накачки. .
Принимая (т.е. предполагая, что фаза заблокирована), уравнение становится
чье решение ; амплитудаколебание расходится экспоненциально. Однако соответствующая амплитудаиз нетрансформированных переменной не нужно расходиться
Амплитуда расходится, затухает или остается постоянным, в зависимости от того, больше, меньше или равно , соответственно.
Максимальный темп роста амплитуды происходит при . На этой частоте равновесная фаза равен нулю, что означает, что а также . В виде отличается от , уходит от нуля и , т.е. амплитуда растет медленнее. При достаточно больших отклонениях, постоянная распада может стать чисто воображаемым, поскольку
- .
Если отстройка превышает , становится чисто воображаемым и изменяется синусоидально. Используя определение расстройки, частота накачки должен находиться между а также для достижения экспоненциального роста . Расширение квадратных корней в биномиальный ряд показывает, что разброс частот накачки, приводящий к экспоненциальному росту примерно .
Интуитивный вывод параметрического возбуждения
Вышеупомянутый вывод может показаться математической ловкостью, поэтому может быть полезно дать интуитивный вывод. В уравнение можно записать в виде
который представляет собой простой гармонический осциллятор (или, альтернативно, полосовой фильтр ), управляемый сигналом что пропорционально его ответу .
Предположить, что уже есть колебание на частоте и что накачка имеет удвоенную частоту и небольшую амплитуду . Применение тригонометрического тождества для произведений синусоид, их произведение производит два управляющих сигнала, один с частотой а другой с частотой
Будучи вне резонанса, сигнал ослаблен и им можно сначала пренебречь. Напротив, сигнал находится в резонансе, служит для усиления , и пропорциональна амплитуде . Следовательно, амплитуда растет экспоненциально, если изначально не равен нулю.
Выраженное в пространстве Фурье, умножение является сверткой их преобразований Фурье а также . Положительный отзыв возникает потому, что компонент преобразует компонент в управляющий сигнал на , и наоборот (поменять местами знаки). Это объясняет, почему частота накачки должна быть близкой к, вдвое превышающую собственную частоту осциллятора. Накачка с сильно отличающейся частотой не приведет к объединению (т.е. обеспечит взаимную положительную обратную связь) между а также компоненты .
Параметрический резонанс
Параметрический резонанс - это явление параметрического резонанса механических возмущений и колебаний на определенных частотах (и связанных с ними гармониках ). Этот эффект отличается от обычного резонанса тем, что демонстрирует явление нестабильности .
Параметрический резонанс возникает в механической системе, когда система параметрически возбуждается и колеблется на одной из своих резонансных частот. Параметрический резонанс возникает, когда частота внешнего возбуждения равна удвоенной собственной частоте системы. Параметрическое возбуждение отличается от принуждения, поскольку действие проявляется как изменение во времени системного параметра. Классическим примером параметрического резонанса является вертикально принудительный маятник.
Для малых амплитуд и путем линеаризации устойчивость периодического решения определяется уравнением Матье :
где - некоторое возмущение периодического решения. ЗдесьЭтот термин действует как источник «энергии» и, как говорят, параметрически возбуждает систему. Уравнение Матье описывает многие другие физические системы для синусоидального параметрического возбуждения, такие как LC-цепь, в которой пластины конденсатора движутся синусоидально.
Параметрические усилители
Вступление
Параметрический усилитель реализован в виде смесителя . Усиление микшера отображается на выходе как усиление усилителя. Слабый входной сигнал смешивается с сильным сигналом гетеродина, и полученный сильный выходной сигнал используется в последующих каскадах приемника.
Параметрические усилители также работают путем изменения параметра усилителя. Интуитивно это можно понять следующим образом для усилителя на основе переменного конденсатора. Заряжать в конденсаторе подчиняется:
следовательно, напряжение на нем
Зная вышеизложенное, если конденсатор заряжается до тех пор, пока его напряжение не сравняется с напряжением выборки входящего слабого сигнала, и если емкость конденсатора затем уменьшается (скажем, вручную раздвигая пластины дальше друг от друга), то напряжение на конденсаторе увеличивается. . Таким образом усиливается напряжение слабого сигнала.
Если конденсатор представляет собой варикап-диод , то «перемещение пластин» может быть выполнено просто путем подачи переменного во времени постоянного напряжения на варикап-диод. Это управляющее напряжение обычно исходит от другого генератора, иногда называемого «насосом».
Результирующий выходной сигнал содержит частоты, которые являются суммой и разностью входного сигнала (f1) и сигнала накачки (f2): (f1 + f2) и (f1 - f2).
Практический параметрический генератор нуждается в следующих соединениях: одно для «общего» или « заземляющего », одно для питания насоса, одно для получения выходного сигнала и, возможно, четвертое для смещения. Параметрическому усилителю нужен пятый порт для ввода усиливаемого сигнала. Поскольку варакторный диод имеет только два соединения, он может быть только частью LC-сети с четырьмя собственными векторами с узлами на соединениях. Это может быть реализовано как трансимпедансный усилитель , усилитель бегущей волны или с помощью циркулятора .
Математическое уравнение
Уравнение параметрического осциллятора можно расширить, добавив внешнюю движущую силу :
- .
Считаем, что затухание достаточно силен, чтобы в отсутствие движущей силы , амплитуда параметрических колебаний не расходится, т.е. . В этой ситуации параметрическая накачка снижает эффективное демпфирование в системе. Для иллюстрации пусть демпфирование будет постоянным. и предположим, что внешняя движущая сила находится на средней резонансной частоте , т.е. . Уравнение становится
чье решение примерно
- .
В виде приближается к порогу , амплитуда расходится. Когда, система входит в параметрический резонанс, и амплитуда начинает экспоненциально расти даже при отсутствии движущей силы .
Преимущества
- Это очень чувствительно
- Усилитель с низким уровнем шума для сверхвысокочастотного и микроволнового радиосигнала
- Уникальная возможность работать в качестве усилителя с беспроводным питанием, не требующего внутреннего источника питания [14]
Другие соответствующие математические результаты
Если параметры любого линейного дифференциального уравнения второго порядка периодически меняются, анализ Флоке показывает, что решения должны изменяться либо синусоидально, либо экспоненциально.
В уравнение выше с периодически меняющимся является примером уравнения Хилла . Еслипредставляет собой простую синусоиду, уравнение называется уравнением Матье .
Смотрите также
- Гармонический осциллятор
- Уравнение Матье
- Оптический параметрический усилитель
- Оптический параметрический генератор
Рекомендации
- ^ a b Дело, Уильям. «Два способа управления детскими качелями» . Архивировано из оригинала 9 декабря 2011 года . Проверено 27 ноября 2011 года . Примечание. На реальных игровых площадках качели в основном являются управляемыми, а не параметрическими осцилляторами.
- ^ а б Кейс, WB (1996). «Прокачка качелей из положения стоя». Американский журнал физики . 64 (3): 215–220. Bibcode : 1996AmJPh..64..215C . DOI : 10.1119 / 1.18209 .
- ^ а б Roura, P .; Гонсалес, Дж. А. (2010). «К более реалистичному описанию качания накачки за счет обмена угловым моментом». Европейский журнал физики . 31 (5): 1195–1207. Bibcode : 2010EJPh ... 31.1195R . DOI : 10.1088 / 0143-0807 / 31/5/020 .
- ^ Брайертон, Эрик; Мэйо, Мэри (15 мая 2015 г.). «Малошумящие усилители: выход за пределы низкого уровня шума» . Национальная радиоастрономическая обсерватория . Дата обращения 11 февраля 2020 .
- ^ Фарадей, М. (1831) «Об особом классе акустических фигур; и о некоторых формах, принимаемых группой частиц на вибрирующих упругих поверхностях» , [ постоянная мертвая ссылка ] Философские труды Королевского общества (Лондон) , 121 : 299-318.
- ^ Melde, F. (1860) "Über Erregung stehender Wellen Эйнес fadenförmigen Körpers" [ постоянная битая ссылка ] [О возбуждении стоячих волн на струне], Annalen дер Physik унд Chemie (вторая серия), 109 : 193-215.
- ^ Strutt, JW (лорд Рэлей) (1883) "О поддерживается вибрации" , архивации августа 13, 2016, в Wayback Machine Philosophical Magazine , пятая серия, 15 : 229-235.
- ^ Strutt, JW (Lord Rayleigh) (1887) "О поддержании колебаний силами двойной частоты и о распространении волн через среду, наделенную периодической структурой" , [ постоянная мертвая ссылка ] Philosophical Magazine , 5-я серия, 24 : 145-159.
- ^ Стратт, JW (лорд Рэлей) Теория звука , 2-й. изд. (Нью-Йорк, Нью-Йорк: Довер, 1945), т. 1, страницы 81-85.
- ^ См .:
- Фитцджеральд, Джордж Ф. (29 января 1892 г.) «О возбуждении электромагнитных колебаний электромагнитными и электростатическими двигателями», [ мертвая ссылка ] Электрик , 28 : 329-330.
- Перепечатано: Джордж Фрэнсис Фицджеральд с Джозефом Лармором, изд., Научные труды покойного Джорджа Фрэнсиса Фицджеральда (Лондон, Англия: Longmans, Green, & Co., 1902; Дублин, Ирландия: Hodges, Figgis, & Co., 1902) , стр. 277-281. Архивировано 7 июля 2014 года на Wayback Machine.
- Перепечатано: (Аноним.) (11 февраля 1892 г.) «Physical Society, 22 января». Архивировано 12 июля 2011 г. в Wayback Machine Nature , 45 : 358-359.
- ^ Хун, Сунгук Хонг (201). Беспроводная связь: от черного ящика Маркони до Audion . MIT Press. С. 158–161. ISBN 978-0262082983.
- ↑ Alexanderson, Ernst FW (апрель 1916) «Магнитный усилитель для аудиотелефонии» [ постоянная мертвая связь ] Труды Института радиоинженеров , 4 : 101-149.
- ^ а б в г Роер, Т.Г. (2012). Электронные устройства СВЧ . Springer Science and Business Media. п. 7. ISBN 978-1461525004.
- ^ Цянь, Чуньци (2012). «Повышение чувствительности дистанционно связанных детекторов ЯМР с помощью параметрического усиления с беспроводным питанием» . Магнитный резонанс в медицине . 68 (3): 989–996. DOI : 10.1002 / mrm.23274 . PMC 3330139 . PMID 22246567 .
дальнейшее чтение
- Кюн Л. (1914) Elektrotech. З. , 35 , 816-819.
- Мамфорд, WW (1960). «Некоторые заметки по истории параметрических преобразователей». Труды Института Радиоинженеров . 48 (5): 848–853. DOI : 10,1109 / jrproc.1960.287620 . S2CID 51646108 .
- Pungs L. DRGM Nr. 588 822 (24 октября 1913 г.); DRP Nr. 281440 (1913); Электротех. З. , 44 , 78–81 (1923?); Proc. IRE , 49 , 378 (1961).
Внешние статьи
- Элмер, Франц-Йозеф, " Лаборатория параметрического резонанса маятника Базельского университета ". unibas.ch, 20 июля 1998 г.
- Купер, Джеффри, " Параметрический резонанс в волновых уравнениях с периодическим во времени потенциалом ". Журнал СИАМ по математическому анализу, том 31, номер 4, стр. 821–835. Общество промышленной и прикладной математики, 2000.
- « Управляемый маятник: параметрический резонанс ». Phys.cmu.edu (Демонстрация физической механики или классической механики. Резонансные колебания, возникающие в простом маятнике с помощью периодически меняющейся длины маятника.)
- Мамфорд, WW, " Некоторые заметки по истории параметрических преобразователей ". Труды IRE, том 98, номер 5, стр. 848–853. Институт инженеров по электротехнике и радиоэлектронике, май 1960 г.