Математическая теорема, используемая в численном анализе
В численном анализе , то Пеано ядро теорема является общим результатом на оценках погрешности для широкого класса численных приближений (таких как численные квадратуры ), определенных в терминах линейных функционалов . Его приписывают Джузеппе Пеано . [1]
Позвольте быть пространством всех дифференцируемых функций, определенных для, которые имеют ограниченную вариацию на , и пусть будет линейным функционалом на . Предположим, что оно непрерывно дифференцируемо раз и аннулирует все многочлены степени , т. Е. V [ а , б ] {\ Displaystyle {\ mathcal {V}} [а, б]} ж {\ displaystyle f} Икс ∈ ( а , б ) {\ Displaystyle х \ в (а, б)} [ а , б ] {\ Displaystyle [а, б]} L {\ displaystyle L} V [ а , б ] {\ Displaystyle {\ mathcal {V}} [а, б]} ж {\ displaystyle f} ν + 1 {\ textstyle \ nu +1} L {\ displaystyle L} ≤ ν {\ Displaystyle \ Leq \ Nu}
L п знак равно 0 , ∀ п ∈ п ν [ Икс ] . {\ displaystyle Lp = 0, \ qquad \ forall p \ in \ mathbb {P} _ {\ nu} [x].} Предположим далее, что для любой
двумерной функции с верно следующее:
грамм ( Икс , θ ) {\ Displaystyle г (х, \ тета)} грамм ( Икс , ⋅ ) , грамм ( ⋅ , θ ) ∈ C ν + 1 [ а , б ] {\ Displaystyle г (х, \ cdot), \, г (\ cdot, \ theta) \ в C ^ {\ nu +1} [a, b]} L ∫ а б грамм ( Икс , θ ) d θ знак равно ∫ а б L грамм ( Икс , θ ) d θ , {\ Displaystyle L \ int _ {a} ^ {b} g (x, \ theta) \, d \ theta = \ int _ {a} ^ {b} Lg (x, \ theta) \, d \ theta, } и определить
Пеано ядро в качестве
L {\ displaystyle L} k ( θ ) знак равно L [ ( Икс - θ ) + ν ] , θ ∈ [ а , б ] , {\ Displaystyle к (\ тета) = L [(х- \ тета) _ {+} ^ {\ nu}], \ qquad \ theta \ in [a, b],} введение обозначений
( Икс - θ ) + ν знак равно { ( Икс - θ ) ν , Икс ≥ θ , 0 , Икс ≤ θ . {\displaystyle (x-\theta )_{+}^{\nu }={\begin{cases}(x-\theta )^{\nu },&x\geq \theta ,\\0,&x\leq \theta .\end{cases}}} Затем
теорема Пеано о ядре утверждает, что
L f = 1 ν ! ∫ a b k ( θ ) f ( ν + 1 ) ( θ ) d θ , {\displaystyle Lf={\frac {1}{\nu !}}\int _{a}^{b}k(\theta )f^{(\nu +1)}(\theta )\,d\theta ,} при условии .
[1] [2] k ∈ V [ a , b ] {\displaystyle k\in {\mathcal {V}}[a,b]} Из этого результата следует несколько ограничений на значение : L f {\displaystyle Lf}
| L f | ≤ 1 ν ! ‖ k ‖ 1 ‖ f ( ν + 1 ) ‖ ∞ | L f | ≤ 1 ν ! ‖ k ‖ ∞ ‖ f ( ν + 1 ) ‖ 1 | L f | ≤ 1 ν ! ‖ k ‖ 2 ‖ f ( ν + 1 ) ‖ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}|Lf|&\leq {\frac {1}{\nu !}}\|k\|_{1}\|f^{(\nu +1)}\|_{\infty }\\[5pt]|Lf|&\leq {\frac {1}{\nu !}}\|k\|_{\infty }\|f^{(\nu +1)}\|_{1}\\[5pt]|Lf|&\leq {\frac {1}{\nu !}}\|k\|_{2}\|f^{(\nu +1)}\|_{2}\end{aligned}}} где , и - такси , евклидовы и максимальные нормы соответственно. [2] ‖ ⋅ ‖ 1 {\displaystyle \|\cdot \|_{1}} ‖ ⋅ ‖ 2 {\displaystyle \|\cdot \|_{2}} ‖ ⋅ ‖ ∞ {\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}
На практике основное применение теоремы Пеано о ядре состоит в том, чтобы ограничить ошибку аппроксимации, которая является точной для всех . Приведенная выше теорема следует из полинома Тейлора для с целым остатком: f ∈ P ν {\displaystyle f\in \mathbb {P} _{\nu }} f {\displaystyle f}
f ( x ) = f ( a ) + ( x − a ) f ′ ( a ) + ( x − a ) 2 2 f ″ ( a ) + ⋯ ⋯ + ( x − a ) ν ν ! f ν ( a ) + 1 ν ! ∫ a x ( x − a ) ν f ( ν + 1 ) ( θ ) d θ , {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=f(a)+{}&(x-a)f'(a)+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}f''(a)+\cdots \\[6pt]&\cdots +{\frac {(x-a)^{\nu }}{\nu !}}f^{\nu }(a)+{\frac {1}{\nu !}}\int _{a}^{x}(x-a)^{\nu }f^{(\nu +1)}(\theta )\,d\theta ,\end{aligned}}} определение в качестве погрешности аппроксимации, используя линейность из вместе с точностью для уничтожить все , но окончательный срок на правой стороне, и используя обозначения , чтобы удалить -зависимость из интегральных пределов. [3] L ( f ) {\displaystyle L(f)} L {\displaystyle L} f ∈ P ν {\displaystyle f\in \mathbb {P} _{\nu }} ( ⋅ ) + {\displaystyle (\cdot )_{+}} x {\displaystyle x}
^ a b Риджуэй Скотт, Л. (2011). Численный анализ ^ a b Изерлес, Арье (2009). Первый курс численного анализа дифференциальных уравнений (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 443 -444. ISBN ^ Iserles, Арье (1997). «Численный анализ» (PDF) . Проверено 9 августа 2018 . ![{\ Displaystyle {\ mathcal {V}} [а, б]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb6525110708dccb30881fc6f570e52533ceb424)
![[а, б]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\ displaystyle Lp = 0, \ qquad \ forall p \ in \ mathbb {P} _ {\ nu} [x].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1088ed1492b09db29a571202ae5a889c0aa1f66)
![{\ Displaystyle г (х, \ cdot), \, г (\ cdot, \ theta) \ в C ^ {\ nu +1} [a, b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f59d00ed362cd5d387eef0d55afbbd5f563d02)
![{\ Displaystyle к (\ тета) = L [(х- \ тета) _ {+} ^ {\ nu}], \ qquad \ theta \ in [a, b],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/608a1f43f7369fd3ad50ab9a72466a517e1c040e)
![{\ Displaystyle к \ ин {\ mathcal {V}} [а, б]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a64be74ceee3b987b20a49de1fa54912caf17e97)
![{\ displaystyle {\ begin {align} | Lf | & \ leq {\ frac {1} {\ nu!}} \ | k \ | _ {1} \ | f ^ {(\ nu +1)} \ | _ {\ infty} \\ [5pt] | Lf | & \ leq {\ frac {1} {\ nu!}} \ | k \ | _ {\ infty} \ | f ^ {(\ nu +1)} \ | _ {1} \\ [5pt] | Lf | & \ leq {\ frac {1} {\ nu!}} \ | K \ | _ {2} \ | f ^ {(\ nu +1)} \ | _ {2} \ конец {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2764ece246dfc561f08d3443aa1a664a80db8e57)
![{\ displaystyle {\ begin {align} f (x) = f (a) + {} & (xa) f '(a) + {\ frac {(xa) ^ {2}} {2}} f' ' (a) + \ cdots \\ [6pt] & \ cdots + {\ frac {(xa) ^ {\ nu}} {\ nu!}} f ^ {\ nu} (a) + {\ frac {1} {\ nu!}} \ int _ {a} ^ {x} (xa) ^ {\ nu} f ^ {(\ nu +1)} (\ theta) \, d \ theta, \ end {выровнено}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fd5171f23168a23b4ca528d885fcad6e538b4a4)
