 | Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )
|
В математике , древнеегипетское умножение (также известный как египетское умножение , эфиопское умножение , русское умножение или крестьянское умножение ), один из двух Умножения методов , используемых писцами, является систематическим методом для умножения двух чисел , которые не требуют таблицы умножения , только возможность умножать и делить на 2 , а также складывать . Он разлагает одно из множимых (желательно меньшее) на сумму степеней двойки.и создает таблицу удвоений второго множимого. Этот метод можно назвать посредничеством и дублированием , где посредничество означает уменьшение вдвое одного числа, а дублирование означает удвоение другого числа. Он все еще используется в некоторых областях.
Вторая египетская техника умножения и деления была известна из иератических математических папирусов Москвы и Райнда, написанных в семнадцатом веке до нашей эры писцом Ахмесом .
Хотя в Древнем Египте не существовало концепции основания 2 , алгоритм по сути является тем же алгоритмом, что и долгое умножение после преобразования множителя и множимого в двоичное . Таким образом, метод, интерпретируемый как преобразование в двоичный, все еще широко используется сегодня, поскольку реализуется схемами двоичного умножителя в современных компьютерных процессорах.
Разложение [ править ]
Древние египтяне разложили таблицы большого числа степеней двойки, а не пересчитывая их каждый раз. Таким образом, разложение числа состоит в нахождении степеней двойки, из которых оно состоит. Египтяне эмпирически знали, что данная степень двойки может появляться только один раз в числе. Для разложения они действовали методично; Сначала они находят наибольшую степень двойки, меньшую или равную рассматриваемому числу, вычитают ее и повторяют, пока ничего не останется. (Египтяне не использовали число ноль в математике.)
Чтобы найти наибольшую степень двойки, удваивайте свой ответ, например, начиная с числа 1.
2 ^ 0 = 1 2 ^ 1 = 2 2 ^ 2 = 4 2 ^ 3 = 8 2 ^ 4 = 16 2 ^ 5 = 32
Пример разложения числа 25:
Наибольшая степень двойки меньше или равна 25 16: 25–16 = 9 . Наибольшая степень двойки меньше или равна 9 это 8: 9–8 = 1 . Наибольшая степень двойки меньше или равна 1 равно 1: 1 - 1 = 0 . Таким образом, 25 - это сумма: 16, 8 и 1.
Таблица [ править ]
После разложения первого множимого необходимо построить таблицу степеней удвоения второго множимого (обычно меньшего) от единицы до наибольшей степени двойки, найденной во время разложения. В таблице строка получается умножением предыдущей строки на два.
Например, если наибольшая степень двойки, найденная во время разложения, равна 16 (как в случае разложения 25; см. Пример выше), а второе множимое равно 7, таблица создается следующим образом:
| 1 | 7 |
| 2 | 14 |
| 4 | 28 год |
| 8 | 56 |
| 16 | 112 |
Результат [ править ]
Результат получается путем сложения чисел из второго столбца, для которых соответствующая степень двойки составляет часть разложения первого множимого. В приведенном выше примере, поскольку 25 = 16 + 8 + 1, сложите соответствующие кратные 7, чтобы получить 25 × 7 = 112 + 56 + 7 = 175.
Основное преимущество этой техники состоит в том, что она использует только сложение, вычитание и умножение на два.
Пример [ править ]
Здесь, на реальных цифрах, 238 умножается на 13. Строки умножаются на два, от одной к следующей. При разложении 238 ставится галочка со степенью двойки.
| 1 | |||||||
| ✓ | 2 | 26 год | |||||
| ✓ | 4 | 52 | |||||
| ✓ | 8 | 104 | |||||
| 16 | |||||||
| ✓ | 32 | 416 | |||||
| ✓ | 64 | 832 | |||||
| ✓ | 128 | 1664 | |||||
| 238 | 3094 | ||||||
Поскольку 238 = 2 + 4 + 8 + 32 + 64 + 128, распределение умножения по сложению дает:
| 238 × 13 | = (128 + 64 + 32 + 8 + 4 + 2) × 13 |
| = 128 × 13 + 64 × 13 + 32 × 13 + 8 × 13 + 4 × 13 + 2 × 13 | |
| = 1664 + 832 + 416 + 104 + 52 + 26 | |
| = 3094 |
Русское крестьянское умножение [ править ]
В русском крестьянском методе степени двойки в разложении множимого находятся путем записи его слева и постепенного уменьшения вдвое левого столбца, отбрасывая любой остаток, пока не будет получено значение 1 (или -1, в этом случае конечная величина сумма инвертируется), а правый столбец удваивается, как и раньше. Строки с четными числами в левом столбце зачеркиваются, а оставшиеся числа справа складываются. [1]
| 13 | 238 | ||
| 6 | (остаток отброшен) | 476 | |
| 3 | 952 | ||
| 1 | (остаток отброшен) | 1904 г. | |
Строки с четными числами в левом столбце зачеркиваются, а оставшиеся числа справа складываются, давая ответ как 3094:
| 13 | 238 |
| 3 | 952 |
| 1 | + 1904 |
| 3094 | |
Алгоритм можно проиллюстрировать двоичным представлением чисел:
| 110 1 | (13) | 11101110 | (238) |
| 1 1 | (3) | 11101110 00 | (952) |
| 1 | (1) | 11101110 000 | (1904) |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | (238) | |||||
| × | 1 | 1 | 0 | 1 | (13) | ||||||||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | (238) | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | (0) | ||||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | (952) | |||
| + | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | (1904) | |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | (3094) | |
См. Также [ править ]
- Египетская фракция
- Египетская математика
- Алгоритмы умножения
- Двоичная система счисления
- Ведическая математика Бхарати Кришны Тиртхи
Ссылки [ править ]
- ^ Cut the Knot - Крестьянское умножение
Другие источники [ править ]
- Бойер, Карл Б. (1968) История математики. Нью-Йорк: Джон Вили.
- Браун, Кевин С. (1995) Папирус Ахмина 1995 --- Египетские единичные дроби.
- Брукхаймер, Максим и Ю. Саломон (1977) "Некоторые комментарии к анализу Р. Дж. Гиллингса таблицы 2 / n в папирусе Райнда", Historia Mathematica 4: 445–52.
- Брюинз, Эверт М. (1953) Fontes matheseos: hoofdpunten van het prae-Griekse en Griekse wiskundig denken. Лейден: Э. Дж. Брилл.
- ------- (1957) «Platon et la table égyptienne 2 / n», Янус 46: 253–63.
- Брюинз, Эверт М. (1981) «Египетская арифметика», Янус 68: 33–52.
- ------- (1981) «Сводимые и тривиальные разложения относительно египетской арифметики», Янус 68: 281–97.
- Бертон, Дэвид М. (2003) История математики: Введение. Boston Wm. К. Браун.
- Чейс, Арнольд Баффум и др. (1927) Математический папирус Райнда. Оберлин: Математическая ассоциация Америки.
- Кук, Роджер (1997) История математики. Краткий курс. Нью-Йорк, John Wiley & Sons.
- Кушу, Сильвия. «Mathématiques égyptiennes». Recherches sur les connaissances mathématiques de l'Egypte pharaonique., Париж, Le Leopard d'Or, 1993.
- Даресси, Жорж. «Деревянные таблички Ахмима», Le Caire Imprimerie de l'Institut Francais d'Archeologie Orientale, 1901, 95–96.
- Ив, Ховард (1961) Введение в историю математики. Нью-Йорк, Холт, Райнхард и Уинстон.
- Фаулер, Дэвид Х. (1999) Математика Академии Платона: новая реконструкция. Oxford Univ. Нажмите.
- Гардинер, Алан Х. (1957) Египетская грамматика как введение в изучение иероглифов. Издательство Оксфордского университета.
- Гарднер, Майло (2002) «Египетский математический кожаный свиток, подтвержденный краткосрочный и долгосрочный» в истории математических наук, Ivor Grattan-Guinness, BC Yadav (eds), New Delhi, Hindustan Book Agency: 119-34.
- -------- «Математический список Египта» в энциклопедии истории науки, техники и медицины в незападных культурах. Springer, ноябрь 2005 г.
- Жиллингс, Ричард Дж. (1962) "Египетский математический кожаный рулон", Австралийский научный журнал 24: 339–44. Перепечатано в его (1972) Математике во времена фараонов. MIT Press. Перепечатано Dover Publications, 1982.
- -------- (1974) "Recto из математического папируса Райнда: как его приготовил древнеегипетский писец?" Архив истории точных наук 12: 291–98.
- -------- (1979) "Recto RMP и EMLR", Historia Mathematica, Toronto 6 (1979), 442–447.
- -------- (1981) "Египетская математическая кожаная роль - линия 8. Как писец это сделал?" Historia Mathematica: 456–57.
- Гланвилл, SRK «Математический кожаный свиток в Британском музее», журнал египетской археологии 13, Лондон (1927): 232–8
- Гриффит, Фрэнсис Ллевелин. Папирусы Петри. Иератические папирусы из Кахуна и Гуроба (в основном из Среднего царства), тт. 1, 2. Бернард Куорич, Лондон, 1898 г.
- Ганн, Баттискомб Джордж . Обзор Математического папируса Райнда, автор Т. Пита. Журнал египетской археологии 12 Лондон, (1926): 123–137.
- Hultsch, F. Die Elemente der Aegyptischen Theihungsrechmun 8, Übersicht über die Lehre von den Zerlegangen, (1895): 167-71.
- Имхаузен, Аннетт . «Египетские математические тексты и их контекст», Science in Context 16, Кембридж (Великобритания), (2003): 367–389.
- Джозеф, Джордж Гевергезе. Герб Павлина / неевропейские корни математики, Принстон, Princeton University Press, 2000
- Клее, Виктор , и Вагон, Стэн . Старые и новые нерешенные проблемы плоской геометрии и теории чисел, Математическая ассоциация Америки, 1991.
- Кнорр, Уилбур Р. «Техники дробей в Древнем Египте и Греции». Historia Mathematica 9, Берлин, (1982): 133–171.
- Легон, Джон А.Р. «Математический фрагмент Кахуна». Обсуждения в египтологии, 24 Оксфорд, (1992).
- Люнебург, Х. (1993) "Zerlgung von Bruchen in Stammbruche" Леонарди Пизани Liber Abbaci или Lesevergnügen eines Mathematikers, Wissenschaftsverlag, Мангейм: 81 = 85.
- Нойгебауэр, Отто (1969) [1957]. Точные науки в древности (2-е изд.). Dover Publications . ISBN 978-0-486-22332-2.
- Робинс, Гей. и Чарльз Шут, Математический папирус Райнда: древнеегипетский текст », Лондон, British Museum Press, 1987.
- Роэро, К.С. «Египетская математика» Сопутствующая энциклопедия истории и философии математических наук »I. Grattan-Guinness (ed), London, (1994): 30–45.
- Сартон, Джордж. Введение в историю науки, том I, Нью-Йорк, Williams & Son, 1927
- Скотт, А. и Холл, HR, «Лабораторные заметки: египетский кожаный свиток семнадцатого века до нашей эры», British Museum Quarterly, Vol 2, London, (1927): 56.
- Сильвестр, Дж. Дж. «Об одном моменте теории вульгарных дробей»: American Journal of Mathematics, 3 Baltimore (1880): 332–335, 388–389.
- Фогель, Курт. «Erweitert die Lederolle unserer Kenntniss ägyptischer Mathematik Archiv für Geschichte der Mathematik, V 2, Юлиус Шустер, Берлин (1929): 386-407.
- ван дер Варден, Бартель Леендерт. Пробуждение науки, Нью-Йорк, 1963 год.
- Хана Вымазалова, Деревянные таблички из Каира: использование зернового блока HK3T в Древнем Египте, Archiv Orientalai, Charles U Prague, 2002.
Внешние ссылки [ править ]
- http://rmprectotable.blogspot.com/ RMP 2 / таблица
- https://web.archive.org/web/20130625181118/http://weekly.ahram.org.eg/2007/844/heritage.htm
- http://emlr.blogspot.com Египетский кожаный свиток с математическими символами
- https://web.archive.org/web/20120913011126/http://planetmath.org/encyclopedia/FirstLCMMethodRedAmentaryNumbers.html
- https://web.archive.org/web/20120606142257/http://planetmath.org/encyclopedia/RationalNumbers.html
- http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=6579539&tstart=0 Математический форум и два способа вычисления 2/7
- Новая и старая классификации папируса Ахмеса
- Русское Крестьянское Умножение
- Русский крестьянский алгоритм (файл в формате pdf)
- Крестьянское умножение из рук в руки
- Египетское умножение Кена Кэвинесса, Демонстрационный проект Вольфрама .
- Русское крестьянское умножение на The Daily WTF
- Майкл С. Шнайдер объясняет, как древние египтяне (и китайцы) и современные компьютеры умножаются и делятся.
