Закон квадратного корня Пенроуза

В математической теории игр , то квадратный корень закон Пенроуза , первоначально сформулированный Лайонел Пенроуз , касается распределения голосов в теле голоса , состоящее из N членов. ^[1]^[2]^[3] В нем говорится, что априорная сила голоса любого избирателя, измеренная с помощью индекса Пенроуза-Банцафа, оценивается как . ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {N}}}$

Этот результат был использован для разработки метода Пенроуза для распределения веса голоса представителей в органах, принимающих решения, пропорционально квадратному корню из представленного населения.

Краткое происхождение [ править ]

Чтобы оценить индекс голосования любого игрока, необходимо оценить количество возможных выигрышных коалиций, в которых его голос является решающим. Для простоты предположим, что число избирателей нечетное, N = 2 j + 1, и тело голосует согласно стандартному правилу большинства. Следуя Пенроузу, можно сделать вывод, что данный избиратель сможет эффективно повлиять на результат голосования, только если голоса разделятся пополам: если j игроков скажут «да», а оставшиеся j игроков проголосуют «против», последний голос будет решающим. .

Предполагая, что все члены органа голосуют независимо (голоса не коррелированы) и что вероятность каждого голоса «за» равна p = 1/2, можно оценить вероятность такого события, используя испытание Бернулли . Вероятность получить J ГОЛОСОВ «Да» из 2 J голосов читает

{\ Displaystyle P_ {j} = \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2j} {\ frac {\ left (2j \ right)!} {\ left (j! \ right) ^ {2}}}.}

Для больших N мы можем использовать приближение Стирлинга для факториала j ! и получить вероятность того, что голос данного избирателя является решающим. ${\ displaystyle \ psi}$

{\ displaystyle \ psi = P_ {j} \ sim 2 ^ {- 2j} {\ frac {(2j / e) ^ {2j} {\ sqrt {4 \ pi j}}} {[(j / e) ^ {j} {\ sqrt {2 \ pi j}}] ^ {2}}} \ = \ {\ frac {1} {\ sqrt {\ pi j}}} \ sim {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} {\ frac {1} {\ sqrt {N}}}.}

Же приближение получается для четного числа N .

Кирш представил математическое исследование влияния возможных корреляций между избирателями закона квадратного корня Пенроуза. ^[3]

Закон Пенроуза применяется для построения двухуровневых систем голосования, подобных Пенроузу, включая Ягеллонский компромисс, разработанный для Совета Европейского Союза .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Пенроуза, Лайонел (1946), "Элементарный Статистика большинства голосов", Журнал Королевского статистического общества , Blackwell Publishing, 109 (1): 53-57, DOI : 10,2307 / 2981392 , JSTOR 2981392
^ Felsenthal, Dan S; Machover, Моше (1998), Теория и практика измерения силы голоса, проблемы и парадоксы , Cheltenham: Edward Elgar
^ ^a ^b Кирш, В. (2013). «О законе квадратного корня Пенроуза и за его пределами». Власть, голосование и право голоса: 30 лет спустя . С. 365–387. DOI : 10.1007 / 978-3-642-35929-3_20 . ISBN 978-3-642-35928-6.

[1] Пенроуза, Лайонел (1946), "Элементарный Статистика большинства голосов", Журнал Королевского статистического общества , Blackwell Publishing, 109 (1): 53-57, DOI : 10,2307 / 2981392 , JSTOR 2981392

[2] Felsenthal, Dan S; Machover, Моше (1998), Теория и практика измерения силы голоса, проблемы и парадоксы , Cheltenham: Edward Elgar

[kirsch-3] Кирш, В. (2013). «О законе квадратного корня Пенроуза и за его пределами». Власть, голосование и право голоса: 30 лет спустя . С. 365–387. DOI : 10.1007 / 978-3-642-35929-3_20 . ISBN 978-3-642-35928-6.

[1]