Процентиль

Интерполированный и ближайший ранг, исключительный и включающий процентили для 10-балльного распределения

В статистике , процентиль (или процентиль ) является оценкой , ниже которой определенный процент баллов в его распределении частот падения (исключительное определение) или оценку на уровне или ниже которой определенный процент падения (включая определение). Например, 50-й процентиль ( медиана ) - это балл, ниже которого могут быть найдены 50% (без учета) или на уровне или ниже (включительно) 50% баллов в распределении.

Процентиль (или процентильный балл) и процентильный ранг являются взаимосвязанными терминами. Процентильный ранг балла - это процент баллов в его распределении, которые меньше его, исключительное определение, которое может быть выражено одной простой формулой. Напротив, существует не одна формула или алгоритм для оценки процентиля, а множество. Хайндман и Фан ^[1] определили девять и большинство статистических программ и программ для работы с электронными таблицами используют один из методов, которые они описывают. ^[2] Алгоритмы либо возвращают значение оценки, которая существует в наборе оценок (методы ближайшего ранга), либо интерполируют между существующими оценками и являются либо исключающими, либо включающими.

На рисунке показано 10-балльное распределение, показаны процентильные баллы, полученные в результате использования этих различных алгоритмов, и он служит введением в приведенные ниже примеры. Самыми простыми являются методы ближайшего ранга, которые возвращают оценку из распределения, хотя по сравнению с методами интерполяции результаты могут быть немного грубыми. В таблице методов ближайшего ранга показаны этапы вычислений для исключающих и инклюзивных методов.

Методы интерполяции, как следует из названия, могут возвращать оценку, которая находится между оценками в распределении. Алгоритмы, используемые статистическими программами, обычно используют методы интерполяции, например, функции percentile.exl и percentile.inc в Microsoft Excel. В таблице Interpolated Methods показаны этапы вычислений.

Термин « процентиль» и связанный с ним термин « процентильный ранг» часто используются при составлении отчетов о результатах тестов , основанных на нормах , но, как только что было отмечено, они не совпадают. Для процентильного ранга дается оценка и вычисляется процент. Процентильные ранги являются исключительными. Если процентильный ранг для указанного балла составляет 90%, то 90% баллов были ниже. Напротив, для процентилей указывается процент и определяется соответствующая оценка, которая может быть исключительной или включающей. Оценка для определенного процента (например, 90-е) указывает оценку, ниже которой (исключительное определение) или ниже или ниже (включительное определение) попадают другие оценки в распределении.

25-й процентиль также известен как первый квартиль ( Q ₁ ), 50-й процентиль - как медиана или второй квартиль ( Q ₂ ), а 75-й процентиль - как третий квартиль ( Q ₃ ).

Приложения [ править ]

Когда интернет-провайдеры выставляют счет за «скачкообразную» пропускную способность интернета , 95-й или 98-й процентиль обычно отсекает верхние 5% или 2% пиков пропускной способности каждый месяц, а затем выставляет счет по ближайшей ставке. Таким образом, нечастые пики игнорируются, и покупатель получает более справедливую оплату. Причина, по которой эта статистика так полезна при измерении пропускной способности данных, заключается в том, что она дает очень точное представление о стоимости полосы пропускания. 95-й процентиль говорит о том, что 95% времени использование ниже этого количества: поэтому в оставшихся 5% времени использование превышает это количество.

Врачи часто используют вес и рост младенцев и детей для оценки их роста по сравнению со средними национальными значениями и процентилями, которые можно найти в диаграммах роста .

85-й процентиль скорости движения на дороге часто используется в качестве ориентира при установлении ограничений скорости и оценке того, является ли такой предел слишком высоким или низким. ^{[3] [4]}

В финансах стоимость, подверженная риску, является стандартной мерой для оценки (в зависимости от модели) величины, при которой не ожидается снижения стоимости портфеля в течение заданного периода времени и с учетом значения достоверности.

Нормальное распределение и процентили [ править ]

Представление правила трех сигм . Темно-синяя зона представляет наблюдения в пределах одного стандартного отклонения (σ) по обе стороны от среднего значения (μ), что составляет около 68,3% населения. Два стандартных отклонения от среднего значения (темно-синий и средний синий) составляют около 95,4%, а три стандартных отклонения (темный, средний и светло-синий) составляют около 99,7%.

Методы, приведенные в разделе определений (ниже), являются приблизительными для использования в статистике малых выборок. В общих чертах, для очень больших популяций, следующих нормальному распределению , процентили часто могут быть представлены ссылкой на график нормальной кривой. Нормальное распределение откладывается по оси с точностью до стандартных отклонений или единиц сигма ( ). Математически нормальное распределение простирается до отрицательной бесконечности слева и положительной бесконечности справа. Обратите внимание, однако, что только очень небольшая часть людей в популяции выйдет за пределы диапазона от –3 до +3 . Например, с человеческим ростом очень мало людей выше +3 уровня роста.${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$

Процентили представляют собой площадь под нормальной кривой, увеличивающуюся слева направо. Каждое стандартное отклонение представляет собой фиксированный процентиль. Таким образом, округляя до двух десятичных знаков, −3 - это 0,13-й процентиль, -2 - 2,28-й процентиль, -1 - 15,87-й процентиль, 0 - 50-й процентиль (как среднее, так и медиана распределения), +1 84,13-й процентиль. процентиль, +2 для 97,72-го процентиля и +3 для 99,87-го процентиля. Это связано с правилом 68–95–99,7 или правилом трех сигм. Обратите внимание, что теоретически 0-й процентиль находится на отрицательной бесконечности, а 100-й процентиль - на положительной бесконечности, хотя во многих практических приложениях, таких как результаты тестов, применяются естественные нижние и / или верхние пределы.${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$

Определения [ править ]

Не существует стандартного определения процентиля, ^{[1] [5] [6],} однако все определения дают аналогичные результаты, когда количество наблюдений очень велико, а распределение вероятностей является непрерывным. ^[7] В пределе, когда размер выборки приближается к бесконечности, 100 p- ^й процентиль (0 < p <1) аппроксимирует обратную величину кумулятивной функции распределения (CDF), сформированной таким образом, вычисленной в p , поскольку p аппроксимирует CDF. Это можно рассматривать как следствие теоремы Гливенко – Кантелли . Некоторые методы расчета процентилей приведены ниже.

Метод ближайшего ранга [ править ]

Одно определение процентиля, часто приводимое в текстах, заключается в том, что P- процентиль списка из N упорядоченных значений (отсортированных от наименьшего к наибольшему) является наименьшим значением в списке, так что строгое не более P процентов данных меньше значения и по крайней мере P процентов данных меньше или равно этому значению. Для этого сначала вычисляется порядковый ранг, а затем берется значение из упорядоченного списка, которое соответствует этому рангу. Порядковое ранга п вычисляется по следующей формуле${\displaystyle (0<P\leq 100)}$

${\displaystyle n=\left\lceil {\frac {P}{100}}\times N\right\rceil .}$

Обратите внимание на следующее:

• Использование метода ближайшего ранга в списках с менее чем 100 различными значениями может привести к тому, что одно и то же значение будет использоваться более чем для одного процентиля.
• Процентиль, рассчитанный с использованием метода ближайшего ранга, всегда будет членом исходного упорядоченного списка.
• 100-й процентиль определяется как наибольшее значение в упорядоченном списке.

Рабочие примеры метода ближайшего ранга [ править ]

Пример 1

Рассмотрим упорядоченный список {15, 20, 35, 40, 50}, который содержит 5 значений данных. Каковы 5-й, 30-й, 40-й, 50-й и 100-й процентили этого списка с использованием метода ближайшего ранга?

Процентиль P	Номер в списке N	Порядковый номер n	Номер из упорядоченного списка с таким рангом	Процентильное значение	Примечания
5-й	5	${\displaystyle \left\lceil {\frac {5}{100}}\times 5\right\rceil =\lceil 0.25\rceil =1}$	первое число в упорядоченном списке, то есть 15	15	15 - самый маленький элемент списка; 0% данных строго меньше 15, а 20% данных меньше или равно 15.
30-е	5	${\displaystyle \left\lceil {\frac {30}{100}}\times 5\right\rceil =\lceil 1.5\rceil =2}$	2-е число в упорядоченном списке, то есть 20	20	20 - элемент упорядоченного списка.
40-е	5	${\displaystyle \left\lceil {\frac {40}{100}}\times 5\right\rceil =\lceil 2.0\rceil =2}$	2-е число в упорядоченном списке, то есть 20	20	В этом примере это то же самое, что и 30-й процентиль.
50-е	5	${\displaystyle \left\lceil {\frac {50}{100}}\times 5\right\rceil =\lceil 2.5\rceil =3}$	3-й номер в упорядоченном списке, то есть 35	35 год	35 - элемент упорядоченного списка.
Сотый	5	${\displaystyle \left\lceil {\frac {100}{100}}\times 5\right\rceil =\lceil 5\rceil =5}$	последний номер в упорядоченном списке, то есть 50	50	100-й процентиль определяется как наибольшее значение в списке, равное 50.

Таким образом, 5-й, 30-й, 40-й, 50-й и 100-й процентили упорядоченного списка {15, 20, 35, 40, 50} с использованием метода ближайшего ранга равны {15, 20, 20, 35, 50}.

Пример 2

Рассмотрим упорядоченную совокупность из 10 значений данных {3, 6, 7, 8, 8, 10, 13, 15, 16, 20}. Каковы 25-й, 50-й, 75-й и 100-й процентили этого списка с использованием метода ближайшего ранга?

Процентиль P	Номер в списке N	Порядковый номер n	Номер из упорядоченного списка с таким рангом	Процентильное значение	Примечания
25-е	10	${\displaystyle \left\lceil {\frac {25}{100}}\times 10\right\rceil =\lceil 2.5\rceil =3}$	3-й номер в упорядоченном списке, то есть 7	7	7 - элемент списка.
50-е	10	${\displaystyle \left\lceil {\frac {50}{100}}\times 10\right\rceil =\lceil 5.0\rceil =5}$	5-е число в упорядоченном списке, то есть 8	8	8 - элемент списка.
75-я	10	${\displaystyle \left\lceil {\frac {75}{100}}\times 10\right\rceil =\lceil 7.5\rceil =8}$	8-е число в упорядоченном списке, то есть 15	15	15 - элемент списка.
Сотый	10	Последний	20, последнее число в упорядоченном списке.	20	100-й процентиль определяется как наибольшее значение в списке, равное 20.

Таким образом, 25-й, 50-й, 75-й и 100-й процентили упорядоченного списка {3, 6, 7, 8, 8, 10, 13, 15, 16, 20} с использованием метода ближайшего ранга равны {7, 8, 15, 20 }.

Пример 3

Рассмотрим упорядоченную совокупность из 11 значений данных {3, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 13, 15, 16, 20}. Каковы 25-й, 50-й, 75-й и 100-й процентили этого списка с использованием метода ближайшего ранга?

Процентиль P	Номер в списке N	Порядковый номер n	Номер из упорядоченного списка с таким рангом	Процентильное значение	Примечания
25-е	11	${\displaystyle \left\lceil {\frac {25}{100}}\times 11\right\rceil =\lceil 2.75\rceil =3}$	3-й номер в упорядоченном списке, то есть 7	7	7 - элемент списка.
50-е	11	${\displaystyle \left\lceil {\frac {50}{100}}\times 11\right\rceil =\lceil 5.50\rceil =6}$	шестой номер в упорядоченном списке, то есть 9	9	9 - элемент списка.
75-я	11	${\displaystyle \left\lceil {\frac {75}{100}}\times 11\right\rceil =\lceil 8.25\rceil =9}$	9-е число в упорядоченном списке, то есть 15	15	15 - элемент списка.
Сотый	11	Последний	20, последнее число в упорядоченном списке.	20	100-й процентиль определяется как наибольшее значение в списке, равное 20.

Таким образом, 25-й, 50-й, 75-й и 100-й процентили упорядоченного списка {3, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 13, 15, 16, 20} с использованием метода ближайшего ранга равны {7, 9, 15 , 20}.

Метод линейной интерполяции между ближайшими рангами [ править ]

Альтернативой округлению, используемым во многих приложениях, является использование линейной интерполяции между соседними рангами.

Общность вариантов этого метода [ править ]

Все следующие варианты имеют следующее общее. Учитывая статистику заказа

${\displaystyle \{v_{i},i=1,2,...,N:v_{i+1}\geq v_{i},\forall i=1,2,...N-1\},}$

мы ищем линейную функцию интерполяции, которая проходит через точки . Это просто достигается${\displaystyle (v_{i},i)}$

${\displaystyle v(x)=v_{\lfloor x\rfloor }+(x\%1)(v_{\lfloor x\rfloor +1}-v_{\lfloor x\rfloor }),\forall x\in [1,N]:v(i)=v_{i}{\text{, for }}i=1,2,\ldots ,N,}$

где использует функцию пола для представления целой части положительного , тогда как использует функцию mod для представления его дробной части (остаток после деления на 1). (Обратите внимание, что, хотя в конечной точке , не определено, это не обязательно, потому что оно умножается на .) Как мы видим, это непрерывная версия нижнего индекса , линейно интерполирующая между соседними узлами.${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\%1}$${\displaystyle x=N}$${\displaystyle v_{\lfloor x\rfloor +1}}$${\displaystyle x\%1=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle i}$${\displaystyle v}$

Вариантные подходы различаются двумя способами. Первый заключается в линейной зависимости между рангом , процентным рангом и константой, которая является функцией размера выборки :${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P=100p}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle x=f(p,N)=(N+c_{1})p+c_{2}.}$

Существует дополнительное требование, чтобы средняя точка диапазона , соответствующая медиане , находилась в :${\displaystyle (1,N)}$${\displaystyle p=0.5}$

${\displaystyle f(0.5,N)={\frac {N+c_{1}}{2}}+c_{2}={\frac {N+1}{2}}\therefore 2c_{2}+c_{1}=1,}$

и наша измененная функция теперь имеет только одну степень свободы, которая выглядит так:

${\displaystyle x=f(p,N)=(N+1-2C)p+C.}$

Второй способ, которым варианты различаются, заключается в определении функции рядом с полями диапазона : должен давать или заставлять производить результат в диапазоне , что может означать отсутствие однозначного переписка в более широком регионе. Один автор предложил выбрать, где находится форма обобщенного распределения экстремальных значений, которое является пределом экстремальных значений выборочного распределения.${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f(p,N)}$${\displaystyle [1,N]}$${\displaystyle C={\textstyle {\frac {1}{2}}}(1+\xi )}$${\displaystyle \xi }$

Первый вариант, ${\displaystyle C=1/2}$[ править ]

(Источники: функция Matlab "prctile", ^{[8] [9]} )

${\displaystyle x=f(p)={\begin{cases}Np+{\frac {1}{2}},\forall p\in \left[p_{1},p_{N}\right],\\1,\forall p\in \left[0,p_{1}\right],\\N,\forall p\in \left[p_{N},1\right].\end{cases}},}$

куда

${\displaystyle p_{i}={\frac {1}{N}}\left(i-{\frac {1}{2}}\right),i\in [1,N]\cap \mathbb {N} }$

${\displaystyle \therefore p_{1}={\frac {1}{2N}},p_{N}={\frac {2N-1}{2N}}.}$

Кроме того, пусть

${\displaystyle P_{i}=100p_{i}.}$

Обратное соотношение ограничено более узкой областью:

${\displaystyle p={\frac {1}{N}}\left(x-{\frac {1}{2}}\right),x\in (1,N)\cap \mathbb {R} .}$

Рабочий пример первого варианта [ править ]

Рассмотрим упорядоченный список {15, 20, 35, 40, 50}, который содержит пять значений данных. Каковы 5-й, 30-й, 40-й и 95-й процентили этого списка с использованием метода линейной интерполяции между ближайшими рангами? Сначала мы вычисляем процентный рейтинг для каждого значения списка.

Значение списка ${\displaystyle v_{i}}$	Позиция этого значения в упорядоченном списке ${\displaystyle i}$	Количество значений ${\displaystyle N}$	Расчет процентного ранга	Процент ранга, ${\displaystyle P_{i}}$	Примечания
15	1	5	${\displaystyle {\frac {100}{5}}\left(1-{\frac {1}{2}}\right)=10.}$	10
20	2	5	${\displaystyle {\frac {100}{5}}\left(2-{\frac {1}{2}}\right)=30.}$	30
35 год	3	5	${\displaystyle {\frac {100}{5}}\left(3-{\frac {1}{2}}\right)=50.}$	50
40	4	5	${\displaystyle {\frac {100}{5}}\left(4-{\frac {1}{2}}\right)=70.}$	70
50	5	5	${\displaystyle {\frac {100}{5}}\left(5-{\frac {1}{2}}\right)=90.}$	90

Затем мы берем эти процентные ранги и вычисляем значения процентилей следующим образом:

Процент ранга ${\displaystyle P}$	Количество значений ${\displaystyle N}$	Есть ?${\displaystyle P<P_{1}}$	Есть ?${\displaystyle P>P_{n}}$	Есть ли процент ранга, равный ?${\displaystyle P}$	Что мы используем для определения процентиля?	Процентильное значение ${\displaystyle v(f(p))}$	Примечания
5	5	да	Нет	Нет	Мы видим, что P = 5, что меньше, чем первый процентный ранг p1 = 10, поэтому используйте первое значение списка v1, которое равно 15.	15	15 входит в упорядоченный список
30	5	Нет	Нет	да	Мы видим, что P = 30 совпадает со вторым процентным рангом p2 = 30, поэтому используйте второе значение списка v2, которое равно 20.	20	20 входит в упорядоченный список
40	5	Нет	Нет	Нет	Мы видим, что P = 40 находится между процентным рангом p2 = 30 и p3 = 50, поэтому мы берем k = 2, k + 1 = 3, P = 40, pk = p2 = 30, vk = v2 = 20, vk + 1. = v3 = 35, N = 5. Учитывая эти значения, мы можем вычислить v следующим образом: ${\displaystyle v=20+5\times {\frac {40-30}{100}}(35-20)=27.5}$	27,5	27.5 не входит в упорядоченный список
95	5	Нет	да	Нет	Мы видим, что P = 95, что больше, чем последний процентный ранг pN = 90, поэтому используйте последнее значение списка, равное 50.	50	50 входит в упорядоченный список

Таким образом, 5-й, 30-й, 40-й и 95-й процентили упорядоченного списка {15, 20, 35, 40, 50} с использованием метода линейной интерполяции между ближайшими рангами равны {15, 20, 27,5, 50}

Второй вариант, ${\displaystyle C=1}$[ править ]

(Источник: некоторые программные пакеты, включая NumPy ^[10] и Microsoft Excel ^[6] (до версии 2013 включительно с помощью функции PERCENTILE.INC). Указано как альтернатива NIST ^[2] )

${\displaystyle x=f(p,N)=p(N-1)+1{\text{, }}p\in [0,1]}$

${\displaystyle \therefore p={\frac {x-1}{N-1}}{\text{, }}x\in [1,N].}$

Обратите внимание, что связь является взаимно однозначной для единственного из трех вариантов с этим свойством; отсюда суффикс «INC» для включения в функции Excel.${\displaystyle x\leftrightarrow p}$${\displaystyle p\in [0,1]}$

Рабочие примеры второго варианта [ править ]

Пример 1:

Рассмотрим упорядоченный список {15, 20, 35, 40, 50}, который содержит пять значений данных. Каков 40-й процентиль этого списка при использовании этого вариантного метода?

Сначала мы вычисляем ранг 40-го процентиля:

${\displaystyle x={\frac {40}{100}}(5-1)+1=2.6}$

Итак, x = 2,6, что дает нам и . Итак, значение 40-го процентиля равно${\displaystyle \lfloor x\rfloor =2}$${\displaystyle x\%1=0.6}$

${\displaystyle v(2.6)=v_{2}+0.6(v_{3}-v_{2})=20+0.6(35-20)=29.}$

Пример 2:

Рассмотрим упорядоченный список {1,2,3,4}, который содержит четыре значения данных. Каков 75-й процентиль этого списка при использовании метода Microsoft Excel?

Сначала мы вычисляем ранг 75-го процентиля следующим образом:

${\displaystyle x={\frac {75}{100}}(4-1)+1=3.25}$

Итак, x = 3,25, что дает нам целую часть 3 и дробную часть 0,25. Итак, значение 75-го процентиля равно

${\displaystyle v(3.25)=v_{3}+0.25(v_{4}-v_{3})=3+0.25(4-3)=3.25.}$

Третий вариант, ${\displaystyle C=0}$[ править ]

(Основной вариант, рекомендованный NIST . ^[2] Принятый Microsoft Excel с 2010 года с помощью функции PERCENTIL.EXC. Однако, как указывает суффикс «EXC», версия Excel исключает обе конечные точки диапазона p , т. Е. , тогда как версия "INC", второй вариант, этого не делает; фактически, любое число меньше 1 / (N + 1) также исключается и может вызвать ошибку.)${\displaystyle p\in (0,1)}$

${\displaystyle x=f(p,N)={\begin{cases}1{\text{, }}p\in \left[0,{\frac {1}{N+1}}\right]\\p(N+1){\text{, }}p\in \left({\frac {1}{N+1}},{\frac {N}{N+1}}\right)\\N{\text{, }}p\in \left[{\frac {N}{N+1}},1\right]\end{cases}}.}$

Обратное ограничено более узкой областью:

${\displaystyle p={\frac {x}{N+1}}{\text{, }}x\in (0,N).}$

Рабочий пример третьего варианта [ править ]

Рассмотрим упорядоченный список {15, 20, 35, 40, 50}, который содержит пять значений данных. Каков 40-й процентиль этого списка с использованием метода NIST?

Сначала мы вычисляем ранг 40-го процентиля следующим образом:

${\displaystyle x={\frac {40}{100}}(5+1)=2.4}$

Итак, x = 2,4, что дает нам и . Таким образом, значение 40-го процентиля рассчитывается как:${\displaystyle \lfloor x\rfloor =2}$${\displaystyle x\%1=0.4}$

${\displaystyle v(2.4)=v_{2}+0.4(v_{3}-v_{2})=20+0.4(35-20)=26}$

Таким образом, значение 40-го процентиля упорядоченного списка {15, 20, 35, 40, 50} при использовании этого варианта метода равно 26.

Метод взвешенного процентиля [ править ]

В дополнение к функции процентиля существует также взвешенный процентиль , в котором вместо общего числа считается процент от общего веса. Стандартной функции для взвешенного процентиля не существует. Один метод естественным образом расширяет описанный выше подход.

Предположим, у нас есть положительные веса, связанные, соответственно, с нашими N отсортированными выборочными значениями. Позволять${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3},\dots ,w_{N}}$

${\displaystyle S_{N}=\sum _{k=1}^{N}w_{k},}$

сумма весов. Затем приведенные выше формулы обобщаются, взяв

${\displaystyle p_{n}={\frac {1}{S_{N}}}\left(S_{n}-{\frac {w_{n}}{2}}\right)}$когда ,${\displaystyle C=1/2}$

или же

${\displaystyle p_{n}={\frac {S_{n}-Cw_{n}}{S_{N}+(1-2C)w_{n}}}}$для общего ,${\displaystyle C}$

и

${\displaystyle v=v_{k}+{\frac {P-p_{k}}{p_{k+1}-p_{k}}}(v_{k+1}-v_{k}).}$

Взвешенный процентиль 50% известен как взвешенная медиана .

См. Также [ править ]

• Квантиль
• Дециль
• Сводные статистические данные
• Процентиль

Ссылки [ править ]