Кривая де Рама

В математике кривая де Рама — это определенный тип фрактальной кривой, названный в честь Жоржа де Рама .

Функция Кантора , кривая Чезаро, функция вопросительного знака Минковского, кривая Леви C , кривая бланманже, кривая Коха и кривая Осгуда - все это частные случаи общей кривой де Рама.

Рассмотрим некоторое полное метрическое пространство (обычно ² с обычным евклидовым расстоянием) и пару стягивающих отображений на M:${\ Displaystyle (М, д)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

По теореме Банаха о неподвижной точке они имеют неподвижные точки и соответственно. Пусть x будет вещественным числом в интервале , имеющем двоичное представление${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle [0,1]}$

где каждый равен 0 или 1. Рассмотрим карту${\displaystyle b_{k}}$

где обозначает композицию функций . Можно показать, что каждый из них будет отображать общий бассейн притяжения и в одну точку в . Набор точек , параметризованный одним действительным параметром x , известен как кривая де Рама.${\displaystyle \circ }$${\displaystyle c_{x}}$${\displaystyle d_{0}}$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle p_{x}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p_{x}}$

Кривая Чезаро для a  = 0,3 +  i  0,3

Кривая Чезаро для a  = 0,5 +  i  0,5. Это кривая Леви С.

Кривая Коха–Пеано для a  = 0,6 +  i  0,37. Это близко, но не совсем к кривой Коха .

Кривая Коха–Пеано для a  = 0,6 +  i  0,45. Это кривая Осгуда .

Общая аффинная кривая де Рама

Общая аффинная кривая де Рама

Общая аффинная кривая де Рама

Общая аффинная кривая де Рама