В математике , кривой Осгуд не является самопересекающийся кривой (либо жордановой кривой или дуги Джордан ) положительной области . [1] Формально это кривые на евклидовой плоскости с положительной двумерной мерой Лебега .
История [ править ]
Первые примеры кривых Осгуда были найдены Уильямом Фоггом Осгудом ( 1903 г. ) и Анри Лебегом ( 1903 г. ). Оба примера имеют положительную площадь в некоторых частях кривой, но нулевую площадь в других частях; этот недостаток был исправлен Кноппом (1917) , который нашел кривую, имеющую положительную площадь в каждой окрестности каждой из ее точек, на основе более ранней конструкции Вацлава Серпинского . У примера Кноппа есть дополнительное преимущество, заключающееся в том, что его площадь можно контролировать так, чтобы она составляла любую желаемую часть площади его выпуклой оболочки . [2]
Фрактальная конструкция [ править ]
Хотя большинство кривых, заполняющих пространство , не являются кривыми Осгуда (они имеют положительную площадь, но часто включают бесконечно много самопересечений, не являясь кривыми Жордана), можно изменить рекурсивную конструкцию кривых заполнения пространства или других фрактальных кривых для получения Кривая Осгуда. [3] Так , например, строительство Knopp вовлекает рекурсивна расщепление треугольники на пары меньших треугольников, встреча в общей вершине, путем удаления треугольных клиньев. Когда удаленные клинья на каждом уровне этой конструкции покрывают одну и ту же часть площади своих треугольников, результатом является фрактал Чезаро, такой как снежинка Коха , но удаление клиньев, площади которых сокращаются быстрее, дает кривую Осгуда.[2]
Конструкция Данжуа-Рисса [ править ]
Другой способ построить кривую Осгуда - сформировать двумерную версию множества Смита – Вольтерра – Кантора , полностью несвязного набора точек с ненулевой площадью, а затем применить теорему Данжуа – Рисса, согласно которой все ограниченные и вполне Несвязное подмножество плоскости есть подмножество жордановой кривой. [4]
Примечания [ править ]
- ^ Радо (1948) .
- ^ а б Кнопп (1917) ; Саган (1994) , раздел 8.3, Кривые Осгуда Серпинского и Кноппа, стр. 136–140 .
- ^ Кнопп (1917) ; Лэнс и Томас (1991) ; Саган (1993) ).
- ^ Balcerzak & Харазишвили (1999) .
Ссылки [ править ]
- Balcerzak, M .; Харазишвили, А. (1999), "О несчетных объединений и пересечений измеримых множеств", Грузинский математический журнал , 6 (3): 201-212, DOI : 10,1023 / A: 1022102312024 , MR 1679442.
- Кнопп, К. (1917), "Einheitliche Erzeugung und Darstellung der Kurven von Peano, Osgood und von Koch", Archiv der Mathematik und Physik , 26 : 103–115.
- Лэнс, Тимоти; Томас, Эдвард (1991), "Дуга с положительной мерой и заполняющим пространством кривым", Американский математический в месяц , 98 (2): 124-127, DOI : 10,2307 / 2323941 , JSTOR 2323941 , МР 1089456.
- Лебег, Х. (1903), "Sur le problème des aires" , Bulletin de la Société Mathématique de France (на французском языке), 31 : 197–203, doi : 10.24033 / bsmf.694
- Осгуд, Уильям Ф. (1903), «Кривая Джордана с положительной площадью», Труды Американского математического общества , 4 (1): 107–112, DOI : 10.1090 / S0002-9947-1903-1500628-5 , ISSN 0002 -9947 , СУЛ 34.0533.02 , JSTOR 1986455 , МР 1500628.
- Радо, Тибор (1948), Длина и площадь , Публикации коллоквиума Американского математического общества, т. 30, Американское математическое общество, Нью-Йорк, стр. 157, ISBN 9780821846216, Руководство по ремонту 0024511.
- Саган, Ханс (1993), "Геометризация кривой заполнения пространства Лебега", The Mathematical Intelligencer , 15 (4): 37–43, DOI : 10.1007 / BF03024322 , MR 1240667 , Zbl 0795.54022.
- Саган, Ханс (1994), Кривые заполнения пространства , Universitext, Нью-Йорк: Springer-Verlag, DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0871-6 , ISBN 0-387-94265-3, MR 1299533.
Внешние ссылки [ править ]
- Дикау, Роберт, Построение кривой Осгуда Кноппа , Wolfram Demonstrations Project , получено 20 октября 2013 г.
