В математике , то функция Минковского знак вопроса обозначается ? ( Х ) , является функцией , обладающих различными необычные фрактальные свойства, определяемые Герман Минковский ( 1904 , стр 171-172). Он отображает квадратичные иррациональные числа в рациональные числа на единичном интервале через выражение, связывающее разложения квадратичных чисел в непрерывную дробь с двоичными разложениями рациональных чисел, данное Арно Данжуа в 1938 году. Кроме того, он отображает рациональные числа в диадические рациональные числа., как видно из рекурсивного определения, тесно связанного с деревом Штерна – Броко .
Определение
Если [ a 0 ; 1 , 2 , ...] это по- прежнему-фракция представление из иррационального числа х , то
тогда как если [ a 0 ; a 1 , a 2 ,…, a m ] представляет собой представление в виде цепной дроби рационального числа x , тогда
Интуитивное объяснение
Чтобы получить некоторое представление о приведенном выше определении, рассмотрим различные способы интерпретации бесконечной строки битов, начинающейся с 0, как действительного числа в [0, 1] . Один из очевидных способов интерпретации такой строки - поставить двоичную точку после первого 0 и прочитать строку как двоичное расширение: например, строка 001001001001001001001001 ... представляет двоичное число 0,010010010010 ..., или2/7. Другая интерпретация рассматривает строку как непрерывную дробь [0; a 1 , a 2 ,…] , где целые числа a i являются длинами серий в кодировке длин серий строки. Тот же пример строки 001001001001001001001001 ... тогда соответствует [0; 2, 1, 2, 1, 2, 1,…] = √ 3 - 1/2. Если строка заканчивается бесконечно длинным отрезком одного и того же бита, мы игнорируем его и завершаем представление; на это указывает формальная «идентичность»:
- [0; a 1 ,…, a n , ∞] = [0; a 1 ,…, a n + 1/∞] = [0; a 1 ,…, a n + 0] = [0; a 1 ,…, a n ] .
Влияние функции вопросительного знака на [0, 1] можно тогда понимать как отображение второй интерпретации строки на первую интерпретацию той же строки, [1] [2] точно так же, как функцию Кантора можно понимать как отображение триадического представления с основанием 3 в представление с основанием 2. В нашем примере строка дает равенство
Рекурсивное определение рациональных аргументов
Для рациональных чисел в единичном интервале функция также может быть определена рекурсивно ; еслип/q а также р/s- приведенные дроби такие, что | ps - rq | = 1 (так что они являются смежными элементами строки последовательности Фарея ), то [3] [2]
Использование базовых случаев
тогда можно вычислить ? ( x ) для любого рационального x , начиная с последовательности Фарея порядка 2, затем 3 и т. д.
Если p n −1/q n −1 а также п п/q nдве последовательные дроби непрерывной дроби , то матрица
имеет определитель ± 1. Такая матрица является элементом SL (2, Z ) , группы матриц 2 × 2 с определителем ± 1. Эта группа относится к модульной группе .
Самосимметрия
Знак вопроса явно визуально самоподобен. Моноид самозахватов сходства могут быть получены с помощью двух операторов S и R , действующих на единицу площади , и определяется следующим образом :
Визуально S сжимает единичный квадрат до его нижней левой четверти, а R выполняет точечное отражение через его центр.
Точка на графике из ? имеет координаты ( x ,? ( x )) для некоторого x в единичном интервале. Такая точка преобразуется S и R в другую точку графика, потому что ? удовлетворяет следующим тождествам для всех x ∈ [0, 1] :
Эти два оператора можно многократно комбинировать, образуя моноид. Тогда общий элемент моноида
для натуральных чисел a 1 , a 2 , a 3 ,… . Каждый такой элемент описывает самоподобие функции вопросительного знака. Этот моноид иногда называют моноидом удвоения периода , и все фрактальные кривые удвоения периода обладают описываемой им самосимметрией (кривая де Рама , частным случаем которой является вопросительный знак, является категорией таких кривых). Элементы моноида находятся в соответствии с рациональными числами посредством идентификации a 1 , a 2 , a 3 ,… с непрерывной дробью [0; a 1 , a 2 , a 3 ,…] . Поскольку оба
а также
являются дробно-линейными преобразованиями с целыми коэффициентами, моноид можно рассматривать как подмножество модульной группы PSL (2, Z ) .
Квадратичные иррациональные числа
Функция вопросительного знака обеспечивает взаимно однозначное отображение недиадических рациональных чисел в квадратичные иррациональные числа , что позволяет явно доказать счетность последних. Они могут, фактически, следует понимать , чтобы соответствовать периодическим орбитам для диадического преобразования . Это можно явно продемонстрировать всего за несколько шагов.
Диадическая симметрия
Определите два хода: левый и правый, действительные в единичном интервале. в виде
- а также
а также
- а также
Тогда функция вопросительного знака подчиняется симметрии движения влево.
и правосторонняя симметрия
где обозначает композицию функций . Они могут быть произвольно объединены. Рассмотрим, например, последовательность ходов влево-вправо Добавление индексов C и D и, для наглядности, удаление оператора композиции во всех, кроме нескольких мест, есть:
Произвольные строки конечной длины в буквах L и R соответствуют диадическим рациональным числам в том смысле , что каждое двоичное рациональное число может быть записано какдля целых n и m и как конечная длина битов с участием Таким образом, каждое диадическое рациональное число находится во взаимно однозначном соответствии с некоторой самосимметрией функции вопросительного знака.
Некоторые изменения в обозначениях могут немного облегчить выражение вышеизложенного. Позволять а также означает L и R. Функциональная композиция расширяет это до моноида , в котором можно написать и вообще, для некоторых двоичных цепочек цифр A , B , где AB - обычная конкатенация таких строк. Тогда диадический моноид M является моноидом всех таких лево-правых ходов конечной длины. Письмо как общий элемент моноида имеется соответствующая самосимметрия функции вопросительного знака:
Изоморфизм
Явное отображение между рациональными числами и диадическими рациональными числами может быть получено с помощью оператора отражения
и отмечая, что оба
- а также
С является тождеством, произвольная строка движений влево-вправо может быть переписана как цепочка только движений влево, за которой следует отражение, за которым следуют другие ходы влево, отражение и т. д., то есть как который явно изоморфен сверху. Оценка некоторой явной последовательности в аргументе функции дает диадическую рациональность; явно он равен где каждый представляет собой двоичный бит, ноль соответствует перемещению влево, а один - перемещению вправо. Эквивалентная последовательность ходов, оценивается в дает рациональное число Это явно тот, который обеспечивается непрерывной дробью имея в виду, что это рационально, потому что последовательность имел конечную длину. Это устанавливает взаимно однозначное соответствие между диадическими рациональными числами и рациональными числами.
Периодические орбиты диадического преобразования
Рассмотрим теперь периодические орбиты на диадического преобразования . Они соответствуют битовым последовательностям, состоящим из конечной начальной «хаотической» последовательности битов., за которым следует повторяющаяся строка длины . Такие повторяющиеся строки соответствуют рациональному числу. Это легко сделать явным. Писать
тогда очевидно, что
Если взять исходную неповторяющуюся последовательность, очевидно, что у каждого есть рациональное число. Фактически, каждое рациональное число может быть выражено таким образом: начальная «случайная» последовательность, за которой следует циклический повтор. То есть периодические орбиты карты находятся во взаимно однозначном соответствии с рациональными числами.
Периодические орбиты как непрерывные дроби
Такие периодические орбиты имеют эквивалентную периодическую цепную дробь в соответствии с изоморфизмом, установленным выше. Есть начальная «хаотическая» орбита некоторой конечной длины, за которой следует повторяющаяся последовательность. Повторяющаяся последовательность генерирует периодическую непрерывную дробь, удовлетворяющуюЭта цепная дробь имеет вид [3]
с быть целыми числами и удовлетворять Явные значения можно получить, написав
для смены, так что
в то время как отражение дается
чтобы . Обе эти матрицы унимодулярны , произвольные произведения остаются унимодулярными и приводят к матрице вида
давая точное значение непрерывной дроби. Поскольку все элементы матрицы являются целыми числами, эта матрица принадлежит проективной модулярной группе
Решая явно, мы получаем, что Нетрудно проверить, что решения этой задачи удовлетворяют определению квадратичных иррациональных чисел. Фактически, так можно выразить любое квадратичное иррациональное. Таким образом, квадратичные иррациональные числа находятся во взаимно однозначном соответствии с периодическими орбитами диадического преобразования, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с (недиадическими) рациональными числами, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с диадические рациональности. Функция вопросительного знака обеспечивает соответствие в каждом случае.
Свойства ? ( X )
Функция вопросительного знака является строго возрастающей и непрерывной [4], но не абсолютно непрерывной функцией. На рациональных числах производная обращается в нуль . Есть несколько конструкций для меры, которая при интегрировании дает функцию вопросительного знака. Одно из таких построений получается путем измерения плотности чисел Фарея на действительной числовой прямой. Мера в виде вопросительного знака - это прототип того, что иногда называют мультифрактальной мерой .
Функция вопросительного знака отображает рациональные числа в двоичные рациональные числа , то есть те, чье представление по основанию два заканчивается, что может быть доказано индукцией из рекурсивной конструкции, описанной выше. Он отображает квадратичные иррациональные числа в недиадические рациональные числа. Это нечетная функция , удовлетворяющая функциональному уравнению ? ( X + 1) =? ( X ) + 1 ; следовательно, x →? ( x ) - x - нечетная периодическая функция с периодом один. Если ? ( X ) иррационально, то x либо алгебраичен степени больше двух, либо трансцендентен .
Функция вопросительного знака имеет фиксированные точки в 0, 1/2и 1, и по крайней мере еще два, симметрично относительно середины. Один примерно равен 0,42037. [4] Мощевитин предположил, что они были единственными 5 неподвижными точками. [5]
В 1943 году Рафаэль Салем поднял вопрос о том, обращаются ли коэффициенты Фурье – Стилтьеса функции вопросительного знака в нуль на бесконечности. [6] Другими словами, он хотел знать, действительно ли
На этот вопрос утвердительно ответили Джордан и Зальстен [7] как частный случай результата о мерах Гиббса .
График функции вопросительного знака Минковского является частным случаем фрактальных кривых, известных как кривые де Рама .
Алгоритм
Рекурсивное определение естественно поддается алгоритму вычисления функции с любой желаемой степенью точности для любого действительного числа, как демонстрирует следующая функция C. Алгоритм спускается по дереву Штерна – Броко в поисках входа x и по пути суммирует члены двоичного разложения y =? ( X ) . Пока выполняется инвариант цикла qr - ps = 1, нет необходимости уменьшать дробьм/п знак равно п + г/q + s, так как это уже на самом низком уровне. Другой инвариантп/q≤ х < р/s. for
Цикл в этой программе можно проанализировать несколько , как while
петли, с условными выражениями разрыва в первых трех строках оформляя состояние. Единственные операторы в цикле, которые могут повлиять на инварианты, находятся в последних двух строках, и можно показать, что они сохраняют истинность обоих инвариантов до тех пор, пока первые три строки выполняются успешно без выхода из цикла. Третий инвариант для тела цикла (до чисел с плавающей запятой) является у ≤? ( Х ) < у + д , но так как д будет вдвое в начале цикла , прежде чем какое - либо условие испытания, мы делаем вывод, только то , что y ≤? ( x ) < y + 2 d в конце цикла.
Для того, чтобы доказать , завершение , достаточно отметить , что сумма q + s
возрастает по меньшей мере , 1 с каждой итерации цикла, и что цикл завершится , когда эта сумма слишком велика , чтобы быть представленными в примитивном типе данных С long
. Однако на практике условное прерывание when y + d == y
- это то, что обеспечивает завершение цикла в разумный промежуток времени.
/ * Функция знака вопроса Минковского * / double minkowski ( double x ) { long p = x ; если (( double ) p > x ) - p ; / * p = floor (x) * / long q = 1 , r = p + 1 , s = 1 , m , n ; двойной d = 1 , y = p ; if ( x < ( double ) p || ( p < 0 ) ^ ( r <= 0 )) return x ; / * вне диапазона? (x) = ~ x * / for (;;) { / * инварианты: q * r - p * s == 1 && (double) p / q <= x && x <(double) г / с * / д / = 2 ; если ( y + d == y ) перерыв ; / * достигнута максимально возможная точность * / m = p + r ; если (( m < 0 ) ^ ( p < 0 )) перерыв ; / * сумма переполнена * / n = q + s ; если ( n < 0 ) перерыв ; / * сумма переполнена * / если ( x < ( double ) m / n ) { r = m ; s = n ; } else { y + = d ; р = м ; q = n ; } } return y + d ; / * окончательное округление * / }
Смотрите также
- Производная Помпею
Заметки
- ↑ Finch (2003), стр. 441–442.
- ^ a b Пифей Фогг (2002) стр. 95.
- ^ а б Хинчин, А.Я. (1964) [Первоначально опубликовано на русском языке, 1935]. Непрерывные дроби . Издательство Чикагского университета . ISBN 0-486-69630-8. Теперь это издание доступно в виде перепечатки на Dover Publications .
- ^ а б Финч (2003) стр. 442
- ^ Николай Мощевитин, сессия открытых проблем, Диофантовы проблемы, детерминизм и случайность , в CIRM, 25 ноября 2020 г.
- ^ Салем (1943)
- ^ Джордан и Зальстен (2013)
Исторические ссылки
- Минковский, Герман (1904), "Zur Geometrie der Zahlen", Verhandlungen des III. Internationalen Mathematiker-Kongresses в Гейдельберге , Берлине, стр. 164-173, СУЛ 36.0281.01 , заархивированные с оригинала на 4 января 2015 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Данжуа, Арно (1938), "Sur une fonction réelle de Minkowski", J. Math. Pures Appl. , Série IX (на французском языке), 17 : 105–151, Zbl 0018.34602
Рекомендации
- Алькаускас, Гедриус (2008), Интегральные преобразования функции вопросительного знака Минковского , докторская диссертация, Ноттингемский университет.
- Bibiloni, L .; Paradis, J .; Viader, P. (1998), "Новый свет на Минковского (х) функция?" , Журнал теории чисел , 73 (2): 212-227, DOI : 10,1006 / jnth.1998.2294 , ЛВП : 10230/843 , Zbl 0928,11006 , архивируются с оригинала на 22 июня 2015.
- Bibiloni, L .; Paradis, J .; Viader, P. (2001), "Производная сингулярной функции Минковского" , Journal of Mathematical Analysis and Applications , 253 (1): 107–125, doi : 10.1006 / jmaa.2000.7064 , Zbl 0995.26005 , заархивировано из оригинала 22 Июнь 2015 г..
- Конли, Р.М. (2003), Обзор функции Минковского? (X) , магистерская диссертация, Университет Западной Вирджинии.
- Конвей, Дж. Х. (2000), «Искаженные дроби», « О числах и играх» (2-е изд.), Уэлсли, Массачусетс: AK Peters, стр. 82–86..
- Финч, Стивен Р. (2003), Математические константы , Энциклопедия математики и ее приложений, 94 , Кембридж : Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-81805-6, Zbl 1054,00001
- Джордан, Томас; Сальстен, Туомас (2016), «Преобразования Фурье мер Гиббса для отображения Гаусса», Mathematische Annalen , 364 (3–4): 983–1023, arXiv : 1312.3619 , Bibcode : 2013arXiv1312.3619J , doi : 10.1007 / s00208-015 -1241-9
- Питеас Фогг, Н. (2002), Берте, Валери ; Ференци, Себастьен; Mauduit, Christian; Зигель А. (ред.), Замены в динамике, арифметике и комбинаторике , Лекционные заметки по математике, 1794 , Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44141-0, Zbl 1014,11015
- Салем, Рафаель (1943), "О некоторых сингулярных монотонных функций , которые строго возрастают" (PDF) , Труды Американского математического общества , 53 (3): 427-439, DOI : 10,2307 / 1990210 , JSTOR 1990210
- Вепстас, Л. (2004), Вопросительный знак Минковского и модульная группа SL (2, Z) (PDF)
- Вепстас, Л. (2008), "О мере Минковского", arXiv : 0810.1265 [ math.DS ]
Внешние ссылки
- Обширный список библиографии
- Вайсштейн, Эрик В. "Функция вопросительного знака Минковского" . MathWorld .
- Простая реализация IEEE 754 на C ++