Кривая Бланманже

График кривой бланманже.

В математике , то кривая бланманже является самоаффинным кривым построимо от средней точки разбиения. Она также известна как кривая Такаги в честь Тейджи Такаги , описавшего ее в 1901 году, или как кривая Такаги – Ландсберга , обобщение кривой, названной в честь Такаги и Георга Ландсберга . Название бланманже происходит от его сходства с одноименным пудингом . Это частный случай более общей кривой де Рама ; см. также фрактальную кривую .

Определение [ править ]

Функция Бланманже определяется на единичном интервале соотношением

${\ displaystyle {\ rm {blanc}} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {s (2 ^ {n} x) \ over 2 ^ {n}},}$

где - треугольная волна , определяемая , то есть - расстояние от x до ближайшего целого числа .${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle s(x)=\min _{n\in {\mathbf {Z} }}|x-n|}$${\displaystyle s(x)}$

Кривая Такаги – Ландсберга представляет собой небольшое обобщение, данное

${\displaystyle T_{w}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)}$

для параметра ; таким образом, кривая Бланманже имеет место . Это значение известно как параметр Херста .${\displaystyle w}$${\displaystyle w=1/2}$${\displaystyle H=-\log _{2}w}$

Функцию можно распространить на всю реальную линию: применение приведенного выше определения показывает, что функция повторяется на каждом единичном интервале.

Функция также может быть определена рядом в разделе «Разложение в ряд Фурье» .

Определение функционального уравнения [ править ]

Периодическая версия кривой Такаги также может быть определена как единственное ограниченное решение функционального уравнения${\displaystyle T=T_{w}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle T(x)=s(x)+wT(2x)}$.

В самом деле, функция Бланманже заведомо ограничена и решает функциональное уравнение, поскольку ${\displaystyle T_{w}}$

${\displaystyle T_{w}(x):=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)=s(x)+\sum _{n=1}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)}$${\displaystyle =s(x)+w\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n+1}x)=s(x)+wT_{w}(2x)}$.

Наоборот, если - ограниченное решение функционального уравнения, повторяя равенство, имеющееся для любого N${\displaystyle T:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{N}w^{n}s(2^{n}x)+w^{N+1}T(2^{N+1}x)=\sum _{n=0}^{N}w^{n}s(2^{n}x)+o(1)}$, за ${\displaystyle N\to \infty ,}$

откуда . Между прочим, указанные выше функциональные уравнения имеют бесконечно много непрерывных, неограниченных решений, например${\displaystyle T=T_{w}}$${\displaystyle T_{w}(x)+c|x|^{-\log _{2}w}.}$

Графическое построение [ править ]

Кривая Бланманже может быть визуально построена из треугольных волновых функций, если бесконечная сумма аппроксимирована конечными суммами первых нескольких членов. На рисунке ниже к кривой на каждом этапе добавляются все более мелкие треугольные функции (показаны красным).

п = 0	п ≤ 1	п ≤ 2	п ≤ 3

Свойства [ править ]

Конвергенция и преемственность [ править ]

Определение бесконечной суммы сходится абсолютно для всех : поскольку для всех мы имеем:${\displaystyle T_{w}(x)}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle 0\leq s(x)\leq 1/2}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|w^{n}s(2^{n}x)|\leq {\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }|w|^{n}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}}$если .${\displaystyle |w|<1}$

Следовательно, кривая Такаги параметра определяется на единичном интервале (или ), если .${\displaystyle w}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle |w|<1}$

Функция Такаги параметра является непрерывной . В самом деле, функции, определяемые частичными суммами , непрерывны и равномерно сходятся к , поскольку:${\displaystyle w}$${\displaystyle T_{w,n}}$${\displaystyle T_{w,n}(x)=\sum _{k=0}^{n}w^{k}s(2^{k}x)}$${\displaystyle T_{w}}$

${\displaystyle \left|T_{w}(x)-T_{w,n}(x)\right|=\left|\sum _{k=n+1}^{\infty }w^{k}s(2^{k}x)\right|=\left|w^{n+1}\sum _{k=0}^{\infty }w^{k}s(2^{k+n+1}x)\right|\leq {\frac {|w|^{n+1}}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}}$для всех x, когда .${\displaystyle |w|<1}$

Это значение можно сделать сколь угодно маленьким, выбрав достаточно большое значение n . Следовательно, по теореме равномерного предела , является непрерывным , если | ш | <1.${\displaystyle T_{w}}$

• параметр w = 2/3

• параметр w = 1/2

• параметр w = 1/3

• параметр w = 1/4

• параметр w = 1/8

Субаддитивность [ править ]

Поскольку абсолютное значение является субаддитивной функцией, то же самое относится и к функции , и к ее расширению ; поскольку положительные линейные комбинации и точечные пределы субаддитивных функций являются субаддитивными, функция Такаги субаддитивна для любого значения параметра .${\displaystyle s(x)=\min _{n\in {\mathbf {Z} }}|x-n|}$${\displaystyle s(2^{k}x)}$${\displaystyle w}$

Частный случай параболы [ править ]

В самом деле, получается парабола : построение параболы посредством деления средней точки было описано Архимедом .${\displaystyle w=1/4}$

Дифференцируемость [ править ]

Для значений параметра функция Такаги дифференцируема в классическом смысле при любом, что не является диадическим рациональным . Именно, при выводе под знаком серии, для любого не двоично - рациональных Находят${\displaystyle 0<w<1/2}$${\displaystyle T_{w}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle T_{w}'(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(2w)^{n}\,(-1)^{x_{-n-1}}}$

где - последовательность двоичных цифр в разложении по основанию 2 , то есть . Кроме того, для этих значений функции является липшицевой константой . В частности, для особой ценности, которую можно найти для любого недиадического рационального , в соответствии с упомянутым ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {Z} }\in \{0,1\}^{\mathbb {Z} }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x=\sum _{n\in \mathbb {Z} }2^{n}x_{n}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle T_{w}}$${\displaystyle 1 \over 1-2w}$${\displaystyle w=1/4}$${\displaystyle x\in [0,1]}$ ${\displaystyle T_{1/4}'(x)=2-4x}$${\displaystyle T_{1/4}(x)=2x(1-x).}$

Для функции Бланманже она не имеет ограниченной вариации ни на каком непустом открытом множестве; это даже не локально липшицево, но квазилипшицево, действительно, допускает функцию как модуль непрерывности .${\displaystyle w=1/2}$${\displaystyle T_{w}}$${\displaystyle \omega (t):=t(|\log _{2}t|+1/2)}$

Разложение в ряд Фурье [ править ]

Функция Такаги-Ландсберга допускает абсолютно сходящееся разложение в ряд Фурье:

${\displaystyle T_{w}(x)=\sum _{m=0}^{\infty }a_{m}\cos(2\pi mx)}$

с и, для${\displaystyle a_{0}=1/4(1-w)}$${\displaystyle m\geq 1}$

${\displaystyle a_{m}:=-{\frac {2}{\pi ^{2}m^{2}}}(4w)^{\nu (m)},}$

где - максимальная мощность деления . Действительно, указанная выше треугольная волна имеет абсолютно сходящееся разложение в ряд Фурье${\displaystyle 2^{\nu (m)}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s(x)}$

${\displaystyle s(x)={\frac {1}{4}}-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{2}}}\cos {\big (}2\pi (2k+1)x{\big )}.}$

Путем абсолютной сходимости можно переупорядочить соответствующий двойной ряд для :${\displaystyle T_{w}(x)}$

${\displaystyle T_{w}(x):=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)={\frac {1}{4}}\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {w^{n}}{(2k+1)^{2}}}\cos {\big (}2\pi 2^{n}(2k+1)x{\big )}\,:}$

положить дает вышеуказанный ряд Фурье для${\displaystyle m=2^{n}(2k+1)}$${\displaystyle T_{w}(x).}$

Самоподобие [ править ]

Рекурсивное определение позволяет моноид самозахватов симметрии кривой будет дано. Этот моноид задается двумя образующими, g и r , которые действуют на кривую (ограниченную единичным интервалом) как

${\displaystyle [g\cdot T_{w}](x)=T_{w}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {x}{2}}+wT_{w}(x)}$

и

${\displaystyle [r\cdot T_{w}](x)=T_{w}(1-x)=T_{w}(x)}$.

Тогда общий элемент моноида имеет вид для некоторых целых чисел. Это действует на кривой как линейная функция : для некоторых констант a , b и c . Поскольку действие является линейным, его можно описать в терминах векторного пространства с базисом векторного пространства :${\displaystyle \gamma =g^{a_{1}}rg^{a_{2}}r\cdots rg^{a_{n}}}$${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}}$${\displaystyle \gamma \cdot T_{w}=a+bx+cT_{w}}$

${\displaystyle 1\mapsto e_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle x\mapsto e_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle T_{w}\mapsto e_{3}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

В этом представлении действие g и r задается формулами

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0&w\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle r={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

То есть действие общего элемента отображает кривую Бланманже на единичном интервале [0,1] в подинтервал для некоторых целых чисел m , n , p . Отображение точно определяется тем, где значения a , b и c могут быть получены непосредственно путем умножения вышеуказанных матриц. То есть:${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle [m/2^{p},n/2^{p}]}$${\displaystyle [\gamma \cdot T_{w}](x)=a+bx+cT_{w}(x)}$

${\displaystyle \gamma ={\begin{bmatrix}1&{\frac {m}{2^{p}}}&a\\0&{\frac {n-m}{2^{p}}}&b\\0&0&c\end{bmatrix}}}$

Обратите внимание, что это происходит немедленно.${\displaystyle p=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}$

Моноид, порожденный g и r , иногда называют диадическим моноидом ; это подмоноид модульной группы . При обсуждении модульной группы более распространенными обозначениями для g и r являются T и S , но это обозначение конфликтует с используемыми здесь символами.

Вышеупомянутое трехмерное представление - лишь одно из многих представлений, которые оно может иметь; это показывает, что кривая Бланманже является одной из возможных реализаций действия. То есть есть представления для любого измерения, а не только для 3; некоторые из них дают кривые де Рама .

Интегрирование кривой Бланманже [ править ]

Принимая во внимание , что интеграл от от 0 до 1 равен 1/2, идентичность позволяет интеграл по любому интервалу , чтобы быть вычислена следующим соотношением. Вычисление является рекурсивным, и время вычислений составляет порядка log требуемой точности. Определение${\displaystyle {\rm {blanc}}(x)}$${\displaystyle {\rm {blanc}}(x)={\rm {blanc}}(2x)/2+s(x)}$

${\displaystyle I(x)=\int _{0}^{x}{\rm {blanc}}(y)\,dy}$

у одного есть это

${\displaystyle I(x)={\begin{cases}I(2x)/4+x^{2}/2&{\text{if }}0\leq x\leq 1/2\\1/2-I(1-x)&{\text{if }}1/2\leq x\leq 1\\n/2+I(x-n)&{\text{if }}n\leq x\leq (n+1)\\\end{cases}}}$

Определенный интеграл определяется по формуле:

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\rm {blanc}}(y)\,dy=I(b)-I(a).}$

Более общее выражение можно получить, определив

${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}s(y)dy={\begin{cases}x^{2}/2,&0\leq x\leq {\frac {1}{2}}\\-x^{2}/2+x-1/4,&{\frac {1}{2}}\leq x\leq 1\\n/4+S(x-n),&(n\leq x\leq n+1)\end{cases}}}$

что в сочетании с представлением в виде ряда дает

${\displaystyle I_{w}(x)=\int _{0}^{x}T_{w}(y)dy=\sum _{n=0}^{\infty }(w/2)^{n}S(2^{n}x)}$

Обратите внимание, что

${\displaystyle I_{w}(1)={\frac {1}{4(1-w)}}}$

Этот интеграл также самоподобен на единичном интервале под действием диадического моноида, описанного в разделе Самоподобие . Здесь представление четырехмерное, имеющее основу . Переписав вышесказанное, чтобы прояснить действие g : на единичном интервале${\displaystyle \{1,x,x^{2},I(x)\}}$

${\displaystyle [g\cdot I_{w}](x)=I_{w}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {x^{2}}{8}}+{\frac {w}{2}}I_{w}(x)}$.

Отсюда можно сразу же считать генераторы четырехмерного представления:

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&0&0\\0&0&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{8}}\\0&0&0&{\frac {w}{2}}\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle r={\begin{bmatrix}1&1&1&{\frac {1}{4(1-w)}}\\0&-1&-2&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}}$

Повторяющиеся интегралы преобразуются в 5,6, ... мерном представлении.

Отношение к симплициальным комплексам [ править ]

Позволять

${\displaystyle N={\binom {n_{t}}{t}}+{\binom {n_{t-1}}{t-1}}+\ldots +{\binom {n_{j}}{j}},\quad n_{t}>n_{t-1}>\ldots >n_{j}\geq j\geq 1.}$

Определите функцию Крускала – Катоны

${\displaystyle \kappa _{t}(N)={n_{t} \choose t+1}+{n_{t-1} \choose t}+\dots +{n_{j} \choose j+1}.}$

Теорема Крускала – Катона утверждает, что это минимальное количество ( t  - 1) -симплексов, которые являются гранями набора из N t -симплексов.

Когда t и N приближаются к бесконечности, (подходяще нормализованное) приближается к кривой Бланманже.${\displaystyle \kappa _{t}(N)-N}$

См. Также [ править ]

• Функция Кантора (также известная как Дьявольская лестница)
• Функция вопросительного знака Минковского
• Функция Вейерштрасса
• Диадическая трансформация

Ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Функция Бланманже" . MathWorld .
• Такаги, Тейджи (1901), "Простой пример непрерывной функции без производной", Proc. Физ.-мат. Soc. Jpn. , 1 : 176-177, DOI : 10.11429 / subutsuhokoku1901.1.F176
• Бенуа Мандельброт , «Фрактальные пейзажи без складок и с реками», опубликованное в «Науке фрактальных изображений» , изд. Хайнц-Отто Пейтген, Дитмар Саупе; Springer-Verlag (1988), стр. 243–260.
• Линас Вепстас, Симметрии отображений, удваивающих период , (2004)
• Дональд Кнут , Искусство программирования , том 4а. Комбинаторные алгоритмы, часть 1. ISBN 0-201-03804-8 . См. Страницы 372–375. 

Дальнейшее чтение [ править ]

• Allaart, Pieter C .; Кавамура, Кико (11 октября 2011 г.), Функция Такаги: обзор , arXiv : 1110.1691 , Bibcode : 2011arXiv1110.1691A
• Лагариас, Джеффри К. (17 декабря 2011 г.), Функция Такаги и ее свойства , arXiv : 1112.4205 , Bibcode : 2011arXiv1112.4205L

Внешние ссылки [ править ]

• Такаги Исследователь
• (Некоторые свойства функции Такаги)