Классификация Петрова
В дифференциальной геометрии и теоретической физике классификация Петрова (также известная как классификация Петрова-Пирани-Пенроуза) описывает возможные алгебраические симметрии тензора Вейля в каждом событии в лоренцевом многообразии .
Чаще всего ее применяют при изучении точных решений уравнений поля Эйнштейна , но, строго говоря, классификация представляет собой теорему чистой математики, применимую к любому лоренцеву многообразию, независимо от какой-либо физической интерпретации. Классификация была разработана в 1954 году А. З. Петровым и независимо Феликсом Пирани в 1957 году.
Мы можем думать о тензоре четвертого ранга , таком как тензор Вейля , оцениваемом в некотором событии , как действующем на пространство бивекторов в этом событии, как линейный оператор , действующий на векторное пространство:
Тогда естественно рассмотреть задачу нахождения собственных значений и собственных векторов (которые теперь называются собственными бивекторами) таких, что
В (четырехмерном) лоренцевом пространстве-времени в каждом событии существует шестимерное пространство антисимметричных бивекторов. Однако из симметрии тензора Вейля следует, что любые собственные бивекторы должны принадлежать четырехмерному подмножеству. Таким образом, тензор Вейля (в данном событии) фактически может иметь не более четырех линейно независимых собственных бивекторов.
Собственные бивекторы тензора Вейля могут встречаться с различной кратностью , и любая кратность среди собственных бивекторов указывает на своего рода алгебраическую симметрию тензора Вейля в данном событии. Различные типы тензора Вейля (в данном событии) могут быть определены путем решения характеристического уравнения , в данном случае уравнения четвертой степени . Все вышеизложенное происходит аналогично теории собственных векторов обычного линейного оператора.