Метод расширения плоской волны

Метод расширения плоских волн (PWE) относится к вычислительной технике в электромагнетизме для решения уравнений Максвелла путем постановки задачи на собственные значения из уравнения. Этот метод популярен среди сообщества фотонных кристаллов как метод решения зонной структуры (дисперсионного соотношения) конкретной геометрии фотонного кристалла. PWE прослеживается до аналитических формулировок и полезен при вычислении модальных решений уравнений Максвелла для неоднородной или периодической геометрии. Он специально настроен для решения задач в гармонических по времени формах с недисперсионными средами.

Принципы [ править ]

^{[ сомнительно - обсудить ]}

Плоские волны являются решениями однородного уравнения Гельмгольца и образуют основу для представления полей в периодической среде. PWE применительно к фотонным кристаллам, как описано, в основном взят из учебника доктора Даннера. ^[1]

Электрические или магнитные поля расширяются для каждой компоненты поля в терминах компонентов ряда Фурье вдоль вектора обратной решетки. Точно так же диэлектрическая проницаемость (которая периодична вдоль вектора обратной решетки для фотонных кристаллов) также расширяется через компоненты ряда Фурье.

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ epsilon _ {r}}} = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {+ \ infty} K_ {m} ^ {\ epsilon _ {r}} e ^ {-i {\ vec {G}}. {\ vec {r}}}}$

${\ displaystyle E (\ omega, {\ vec {r}}) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} K_ {n} ^ {E_ {y}} e ^ {- i { \ vec {G}}. {\ vec {r}}} e ^ {- i {\ vec {k}} {\ vec {r}}}}$

с коэффициентами ряда Фурье, являющимися числами K с индексами m, n соответственно, и вектором обратной решетки, заданным как . В реальном моделировании диапазон рассматриваемых компонентов будет сокращен до идеальной бесконечной волны.${\ displaystyle {\ vec {G}}}$${\ displaystyle \ pm Nmax}$

Используя эти разложения в любом из отношений локализации-локона, например,

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ epsilon ({\ vec {r}})}} \ nabla \ times \ nabla \ times E ({\ vec {r}}, \ omega) = \ left ({\ гидроразрыв {\ omega} {c}} \ right) ^ {2} E ({\ vec {r}}, \ omega)}$

и упрощая в предположении наличия источника, линейной и недисперсионной области, мы получаем соотношения собственных значений, которые могут быть решены.

Пример для одномерного случая [ править ]

Для y-поляризованной z-распространяющейся электрической волны, падающей на 1D-DBR, периодическую только в z-направлении и однородную по x, y, с периодом решетки a. Тогда у нас есть следующие упрощенные отношения:

Зонная структура одномерного фотонного кристалла, воздушная сердцевина РБО, рассчитанная с использованием метода расширения плоских волн с 101 плоской волной, для d / a = 0,8 и диэлектрического контраста 12,250.

${\displaystyle {\frac {1}{\epsilon _{r}}}=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }K_{m}^{\epsilon _{r}}e^{-i{\frac {2\pi m}{a}}z}}$

${\displaystyle E(\omega ,{\vec {r}})=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }K_{n}^{E_{y}}e^{-i{\frac {2\pi n}{a}}z}e^{-i{\vec {k}}{\vec {r}}}}$

Основное собственное уравнение, которое мы наконец должны решить, принимает следующий вид:

${\displaystyle \sum _{n}{\left({\frac {2\pi n}{a}}+k_{z}\right)\left({\frac {2\pi m}{a}}+k_{z}\right)K_{m-n}^{\epsilon _{r}}K_{n}^{E_{y}}}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}K_{m}^{E_{y}}}$

Это можно решить, построив матрицу для членов в левой части и найдя ее собственное значение и векторы. Собственные значения соответствуют модальным решениям, а сами соответствующие магнитные или электрические поля могут быть построены с использованием разложений Фурье. В коэффициентах полевых гармоник получаются из конкретных собственных векторов.

Результирующая зонная структура, полученная с помощью собственных мод этой структуры, показана справа.

Пример кода [ править ]

Мы можем использовать следующий код в Matlab или GNU Octave для вычисления той же структуры полосы,

%% решить фотонную зонную структуру РБО для простого% 1D DBR. воздушный интервал d, периодичность a, т. е. a> d,% мы предполагаем бесконечный стек одномерных чередующихся слоев eps_r | air% y-поляризованная, z-направленная плоская волна, падающая на стопку% периодический по оси z; %% параметрыd = 8; %воздушный зазора = 10; % общей периодичностиd_over_a = d / a;eps_r = 12,2500; % диэлектрической проницаемости, как у GaAs,Коэффициенты% max FS для представления поля E и Eps (r) являютсяMmax = 50;Матрица% Q в этом случае несимметрична, Qij! = Qji% Qmn = (2 * pi * n + Kz) ^ 2 * Km-n% Kn = delta_n / eps_r + (1 - 1 / eps_r) (d / a) sinc (pi.nd / a)% здесь n изменяется от -Mmax до + Mmax,freqs = [];для Kz = -pi / a: pi / (10 * a): + pi / a Q = нули (2 * Mmax + 1); для x = 1: 2 * Mmax + 1 для y = 1: 2 * Mmax + 1 X = x-Mmax; Y = y-Mmax; kn = (1 -1 / eps_r) * d_over_a. * sinc ((XY). * d_over_a) + ((XY) == 0) * 1 / eps_r; Q (x, y) = (2 * pi * (Y-1) / a + Kz). ^ 2 * kn;% -Mmax <= (Y-1) <= Mmax конец конец  fprintf ('Kz =% g \ n', Kz) omega_c = eig (Q); omega_c = sort (sqrt (omega_c));% важный шаг. freqs = [freqs; omega_c. '];конецЗакрыть()фигура()Подождиidx = 1;для idx = 1: длина (-pi / a: pi / (10 * a): + pi / a) сюжет (-pi / a: pi / (10 * a): + pi / a, freqs (:, idx), '.-')конец откладыватьxlabel ('Kz')ylabel ('омега / с')title (sprintf ('PBG 1D DBR с d / a =% g, Epsr =% g', d / a, eps_r))

Преимущества [ править ]

Расширения PWE - это строгие решения. PWE очень хорошо подходит для модального решения проблемы. Проблемы большого размера могут быть решены с использованием итерационных методов, таких как метод сопряженных градиентов . Как для обобщенных, так и для нормальных задач на собственные значения требуется всего несколько графиков зонных индексов на диаграммах зонной структуры, обычно лежащих на краях зоны Бриллюэна . Это соответствует решениям по собственным модам, использующим итерационные методы, в отличие от диагонализации всей матрицы.

PWEM очень эффективен для расчета мод в периодических диэлектрических структурах. Будучи методом пространства Фурье, он страдает от явления Гиббса и медленной сходимости в некоторой конфигурации, когда не используется быстрая факторизация Фурье. Это предпочтительный метод расчета зонной структуры фотонных кристаллов. Сначала это непросто понять, но легко реализовать.

Недостатки [ править ]

^{[ сомнительно - обсудить ]}

Иногда появляются ложные режимы. Большие задачи масштабируются как O (n ³ ) с количеством плоских волн (n), используемых в задаче. Это занимает много времени и требует много памяти.

Альтернативы включают в себя спектральный метод порядка N и более простые методы, использующие метод конечных разностей во временной области (FDTD), а также моделирование переходных процессов.

При правильной реализации можно избежать ложных решений. Он менее эффективен при высоком контрасте индекса или при включении металлов. Его нельзя использовать для анализа рассеяния.

Явление Гиббса, являющееся методом пространства Фурье, влияет на точность метода. Это особенно проблематично для устройств с высоким диэлектрическим контрастом.

См. Также [ править ]

• Фотонный кристалл
• Вычислительная электромагнетизм
• Метод конечных разностей во временной области
• Метод конечных элементов
• Уравнения Максвелла
• См. Главу 5 в разделе « Проектирование и оптимизация нанооптических элементов путем связывания изготовления с оптическими характеристиками».
• Метод расширения плоских волн (см. И послушайте лекции 17 и 18)
• Плакат лаборатории ЭМ по PWEM

Ссылки [ править ]