Из Википедии, свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Поризм представляет собой математическое предложение или следствие . В частности, термин поризм использовался для обозначения прямого следствия доказательства, аналогично тому, как следствие относится к прямому следствию теоремы . В современном использовании пористость - это отношение, которое выполняется для бесконечного диапазона значений, но только если предполагается определенное условие, например поризм Штейнера . [1] Термин происходит от трех книг Евклида с поризмом, которые были утеряны. Обратите внимание, что предложение могло и не быть доказано, поэтому пористость может не быть теоремой, или, если на то пошло, это может быть неверно.

Истоки [ править ]

Трактат, породивший к этой теме является Porisms от Евклида , автор элементов . Насколько известно из этого потерянного трактата из - за коллекции из Паппа Александрийского , который упоминает его наряду с другими геометрическими трактатами, и дает ряд лемм , необходимой для понимания. [2] Папп утверждает:

Поризмы всех классов не являются ни теоремами, ни проблемами, но занимают промежуточное положение между ними, так что их формулировки могут быть сформулированы как теоремы или проблемы, и, следовательно, некоторые геометры думают, что они действительно теоремы, а другие - как проблемы. , руководствуясь исключительно формой произнесения. Но из определений ясно, что старые геометры лучше понимали разницу между тремя классами. Древние геометры считали теорему направленной на доказательство того, что предлагается, проблему как направленную на построение того, что предлагается, и, наконец, поризму как направленную на поиск того, что предлагается ( εἰς πορισμὸν αὐτοῦ τοῦ προτεινομένου ). [2]

Папп продолжает, что это последнее определение было изменено некоторыми более поздними геометрами, которые определили поризму на основании случайной характеристики как « τὸ λεῖπον ὑποθέσει τοπικοῦ θεωρήματος » ( leîpon hypothései topikoû theōrmatos ), который не соответствует локусу. -теорема по гипотезе (или по ее). Прокл указывает, что слово « поризм» использовалось в двух смыслах. Один смысл - это смысл «следствия», как бы не запрошенного, но вытекающего из теоремы. Что касается пористости в другом смысле, он ничего не добавляет к определению «древних геометров», кроме как сказать, что нахождение центра круга и нахождение наибольшей общей меры суть поризмы. [3] [2]

Папп о поризме Евклида [ править ]

Папп полностью изложил поризму, заимствованную у Евклида, и распространил ее на более общий случай. Этот поризм, выраженный современным языком, утверждает следующее: если даны четыре прямые линии, три из которых поворачиваются вокруг точек, в которых они встречаются с четвертой, если две точки пересечения этих линий лежат каждая на фиксированной прямой, оставшиеся точка пересечения также будет лежать на другой прямой. Общее изложение применимо к любому количеству прямых, скажем n  + 1, из которых n может повернуть примерно столько же точек, закрепленных на ( n  + 1) -й. Эти n прямых разрезают две и две на 1/2 n ( n  - 1) точек, 1/2 n ( n - 1) является треугольным числом со стороной n  - 1. Если тогда их заставляют повернуть вокруг n неподвижных точек так, чтобы любые n  - 1 из их 1/2 n ( n  - 1) точек пересечения были выбраны с определенным ограничением лежат на n  - 1 заданных фиксированных прямых, тогда каждая из оставшихся точек пересечения,  числом 1/2 n ( n  - 1) ( n - 2), описывает прямую линию. Папп также дает полное изложение одной поризмы первой книги трактата Евклида. [2]

Это можно выразить так: если около двух фиксированных точек P, Q мы повернем две прямые, пересекающиеся на заданной прямой L, и если одна из них отсекает отрезок AM от фиксированной прямой AX, заданной в положении, мы может определять другую фиксированную прямую BY и точку B, закрепленную на ней, так что отрезок BM ', образованный второй подвижной линией на этой второй фиксированной линии, измеренной от B, имеет заданное отношение X к первому отрезку AM. Остальные высказывания, данные Паппом, неполны, и он просто говорит, что дает тридцать восемь лемм для трех книг поризмов; и в их число входит 171 теорема. Леммы, которые Папп дает в связи с поризмами, интересны с исторической точки зрения, потому что он дает:

  1. основная теорема о том, что крест или гармоническое отношение пучка четырех прямых, пересекающихся в одной точке, постоянно для всех трансверсалей;
  2. доказательство гармонических свойств полного четырехугольника;
  3. теорема о том, что если шесть вершин шестиугольника лежат три и три на двух прямых, три точки пересечения противоположных сторон лежат на прямой. [2]

С 17 по 19 века эта тема, кажется, очень увлекала математиков, и многие геометры пытались восстановить утраченные поризмы. Так, Альбер Жирар в своей «Тригонометрической книге» (1626 г.) говорит, что надеется опубликовать реставрацию. Примерно в то же время Пьер де Ферма написал небольшую работу под названием Porismatum euclidaeorum Renewata doctrina et sub forma isagoges Recentioribus geometeis Exposita (см. Uvres de Fermat , i., Paris, 1891); но по крайней мере два из пяти примеров поризмов, которые он приводит, не попадают в классы, указанные Паппом. [4]

Последующий анализ [ править ]

Роберт Симсон был первым, кто пролил свет на эту тему. Ему сначала удалось объяснить единственные три утверждения, которые Папп указывает с какой-либо полнотой. Это объяснение было опубликовано в « Философских трудах» в 1723 году. Позже он исследовал предмет пористости в целом в своей работе, озаглавленной De porismatibus traclatus; quo doctrinam porisrnatum satis explicatam, et in posterum ab Oblivion tutam fore sperat auctor , и опубликовано после его смерти в томе Роберти Симсона, оперы quaedam reliqua (Глазго, 1776 г.). [4]

Трактат Симсона, De porismatibus , начинается с определений теоремы, проблемы, данных, поризмы и локуса. Уважая пористость, Симсон говорит, что определение Паппа слишком общее, и поэтому он заменит его следующим:

"Porisma est propositio in qua proponitur manifestrare rem aliquam, vel plures datas esse, cui, vel quibus, ut et cuilibet ex rebus innumeris, non quidem datis, sed quae ad ea quae data sunt eandem habent rationem, common ostendendum est communectionem propositione descriptam. Porisma etiam in forma problematis enuntiari potest, si nimirum ex quibus data manifestranda sunt, invenienda proponantur ".

Локус (говорит Симсон) - это разновидность пористости. Затем следует латинский перевод заметки Паппа о поризмах и утверждениях, составляющих основную часть трактата. Это тридцать восемь лемм Паппа о поризмах, десять случаев предложения о четырех прямых, двадцать девять поризмов, две проблемы в иллюстрации и некоторые предварительные леммы. [4]

Мемуары Джона Плейфэра ( Trans. Roy. Soc. Edin., 1794, т. iii.), своего рода продолжение трактата Симсона, имело своей особой целью исследование вероятного происхождения поризмов, то есть шагов, которые привели древних геометров к их открытию. Плейфер заметил, что тщательное исследование всех возможных частных случаев предложения покажет, что (1) при определенных условиях проблема становится невозможной; (2) при некоторых других условиях неопределенный или способный к бесконечному числу решений. Эти случаи можно было изложить отдельно, они были чем-то средним между теоремами и проблемами и назывались «поризмами». Playfair, соответственно, определил поризму следующим образом: «Предложение, подтверждающее возможность нахождения таких условий, которые сделают определенную проблему неопределенной или допускающей бесчисленные решения».[4]

Хотя это определение пористости, по-видимому, наиболее популярно в Англии, точка зрения Симсона была наиболее общепринятой за рубежом и получила поддержку Мишеля Часлеса . Однако в журнале Liouville 's Journal de mathematiques pures et appliquées (vol. Xx., Июль 1855 г.) П. Бретон опубликовал Recherches nouvelles sur les porismes d'Euclide , в котором он дал новый перевод текста Паппа, и стремился основать на этом взгляд на природу пористости, более соответствующий определениям Паппа. За этим последовал спор между Бретоном и AJH Винсентом в том же журнале и в La Science., который оспаривал интерпретацию, данную первым из текста Паппа, и заявлял о себе в пользу идеи Скутена, выдвинутой в его « Mathematicae excitationes» (1657), в котором он дает название «поризму» одному разделу. Согласно Франсу ван Скутену , если различные соотношения между прямыми линиями на фигуре записаны в форме уравнений или пропорций, то сочетание этих уравнений всеми возможными способами и новых уравнений, полученных из них, приводит к открытию. бесчисленных новых свойств фигуры, и вот мы имеем «поризмы». [4]

Однако дискуссии между Бретоном и Винсентом, к которым также присоединился Ч. Хоузель , не продвинули вперед работу по восстановлению «Поризмов» Евклида, которую оставили Часлесу. Его работа ( Les Trois livres de porismes d'Euclide, Paris, 1860) полностью использует все материалы, найденные в Паппе. Но мы можем сомневаться в том, что это успешное воспроизведение реальной работы Евклида. Таким образом, ввиду вспомогательного отношения, в котором леммы Паппа обычно соотносятся с работами, на которые они ссылаются, кажется невероятным, что первые семь из тридцати восьми лемм должны быть действительно эквивалентны (как их делает Часлес) первым семи Поризмам Евклида. . Опять же, Часлес, кажется, ошибся, заставляя десять случаев четырехстрочного Поризма начинать книгу, а не перехватывающего Поризма, полностью провозглашенного Паппом, к которому "лемма о первом Поризме" понятным образом относится, будучи частным случай этого. [4]

Интересную гипотезу о поризмах выдвинул Х. Г. Цойтен ( Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum , 1886, гл. Viii). Наблюдая, например, что перехват-поризм по-прежнему верен, если две неподвижные точки являются точками на конике, а прямые, проведенные через них, пересекаются на конике, а не на фиксированной прямой линии, Цойтен предполагает, что Поризмы были -продукт полностью разработанной проективной геометрии коник. Это факт, что лемма 31 (хотя в ней не упоминается коника) в точности соответствует методу Аполлония для определения фокусов центральной коники (Conics, iii. 4547, с. 42). Три пористости, изложенные Диофантом в его « Арифметике»суть утверждения теории чисел, которые все можно сформулировать в форме «мы можем найти числа, удовлетворяющие таким-то условиям»; поэтому они достаточно аналогичны геометрическому поризму, как это определено у Паппа и Прокла . [4]

См. Также [ править ]

  • Пористость Понселе
  • Поризм Штейнера

Заметки [ править ]

  1. ^ Eves, Говард У. (1995). Колледж геометрии . п. 138. ISBN 0867204753.
  2. ^ a b c d e Хит 1911 , стр. 102.
  3. ^ Прокл , изд. Фридляйн, стр. 301
  4. ^ Б с д е е г Heath 1911 , с. 103.

Ссылки [ править ]

  • Александр Джонс (1986) Книга 7 Сборника , часть 1: введение, текст, ISBN перевода 0-387-96257-3 , часть 2: комментарий, указатель, рисунки ISBN 3-540-96257-3 , Springer-Verlag .  
  • ДЛ Хейберг «ы Litterargeschichtliche Studien über Euklid (Лейпциг, 1882) Ценный глава о porisms (с филологической точки зрения) включен.
  • Август Рихтер. Porismen nach Simson bearbeitet (Эльбинг, 1837)
  • М. Кантор , «Убер умереть Porismen де Euklid и Дэжэнь Divinatoren» , в Schlomilch «ы Zeitsch. f. Математика. u. Phy. (1857) и Literaturzeitung (1861), стр. 3 сек.
  • Чт. Лейденфрост , Die Porismen des Euklid ( Programm der Realschule zu Weimar , 1863)
  • Джон Дж. Милн (1911) «Элементарный трактат о геометрии перекрестных отношений с историческими примечаниями» , стр. 115, Cambridge University Press .
  • Пт. Buch- binder , Euclids Porismen und Data ( Programme der kgl. Landesschule Pforta , 1866).

Атрибуция:

  •  Эта статья включает текст из публикации, которая сейчас находится в общественном достоянии :  Heath, Thomas Little (1911). « Поризма ». В Чисхолме, Хью (ред.). Британская энциклопедия . 24 (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. С. 102–103.