Инд-завершение

В математике , то Ind-завершение или инд-строительное это процесс добавления свободно отфильтрованные копределов к данной категории C . Объекты в этой IND-завершено категории, обозначаются Ind ( С ), известны как прямые системами , они являются функторами из небольшой фильтрованной категории I в C .

Двойное понятие про-завершение, Pro ( C ).

Определения [ править ]

Отфильтрованные категории [ править ]

Прямые системы зависят от понятия отфильтрованных категорий . Например, категория N , объектами которой являются натуральные числа , и ровно с одним морфизма из п к т всякий раз , является фильтрованной категорией.${\ Displaystyle п \ leq m}$

Прямые системы [ править ]

Система прямого или инд-объект в категории C определяется как функтор

${\ displaystyle F: I \ to C}$

из небольшой отфильтрованной категории I в C . Например, если I - категория N, упомянутая выше, эти данные эквивалентны последовательности

${\ displaystyle X_ {0} \ to X_ {1} \ to \ cdots}$

объектов в C вместе с отображаемыми морфизмами.

Незавершение [ править ]

Инд-объекты в C образуют категорию ind- C , а про-объекты образуют категорию pro- C . Определение про- C происходит из - за Гротендиком (1960) . ^[1]

Два ind-объекта

${\ displaystyle F: I \ to C}$

и

${\ textstyle G: J \ to C}$ определить функтор

I ^op x J Наборы ,${\ displaystyle \ to}$

а именно функтор

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {C} (F (i), G (j)).}$

Набор морфизмов между F и G в Ind ( C ) определяется как копредел этого функтора во второй переменной, за которым следует предел в первой переменной:

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ operatorname {Ind} {\ text {-}} C} (F, G) = \ lim _ {i} \ operatorname {colim} _ {j} \ operatorname {Hom} _ {C} (F (i), G (j)).}$

Говоря проще, это означает, что морфизм состоит из набора карт для каждого i , где (в зависимости от i ) достаточно велик.${\ Displaystyle F (я) \ к G (j_ {я})}$${\ displaystyle j_ {i}}$

Связь между C и Ind ( C ) [ править ]

Последняя категория I = {*} , состоящая из одного объекта * и только его тождественный морфизма является примером отфильтрованной категории. В частности, любой объект X в C порождает функтор

${\ Displaystyle \ {* \} \ к C, * \ mapsto X}$

и, следовательно, к функтору

${\ displaystyle C \ to \ operatorname {Ind} (C), X \ mapsto (* \ mapsto X).}$

Этот функтор, как прямое следствие определений, полностью точен. Поэтому Ind ( C ) можно рассматривать как более широкую категорию , чем C .

Наоборот, в общем случае может не быть естественного функтора

${\displaystyle \operatorname {Ind} (C)\to C.}$

Однако, если C обладает всеми отфильтрованными копределами (также известными как прямые ограничения), то отправка инд-объекта (для некоторой отфильтрованной категории I ) в его копредел${\displaystyle F:I\to C}$

${\displaystyle \operatorname {colim} _{I}F(i)}$

действительно дает такой функтор, который, однако, в общем случае не эквивалентен. Таким образом, даже если C уже есть все отфильтрованные копределы, Ind ( C ) строго больше , чем категория C .

Объекты в Ind ( C ) можно рассматривать как формальные прямые ограничения, поэтому некоторые авторы также обозначают такие объекты как

${\displaystyle {\text{“}}\varinjlim _{i\in I}{\text{'' }}F(i).}$

Это обозначение принадлежит Пьеру Делиню . ^[2]

Универсальное свойство индексов [ править ]

Переход от категории C к Ind ( C ) означает свободное добавление отфильтрованных копределов к категории. Именно поэтому конструкция также упоминаются как IND-завершения из C . Это уточняется следующим утверждением: любой функтор, принимающий значения в категории D, которая имеет все отфильтрованные копределы, расширяется до функтора, который однозначно определяется требованиями, чтобы его значение на C было исходным функтором F и сохраняло все отфильтрованные копределы.${\displaystyle F:C\to D}$${\displaystyle Ind(C)\to D}$

Основные свойства инд-категорий [ править ]

Компактные объекты [ править ]

По существу , в соответствии с проектом морфизмов в Ind ( C ), любой объект Х из C является компактной , когда рассматриваются как объект Ind ( C ), то есть, corepresentable функтор

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\operatorname {Ind} (C)}(X,-)}$

сохраняет отфильтрованные копределы. Это справедливо независимо от того , что C или объект X является, в отличие от того , что X не должен быть компактным в C . С другой стороны , любой компактный объект в Ind ( С ) возникает как образ объекта в X .

Категория C называется компактно порожденной, если она эквивалентна для некоторой малой категории . Ind-пополнение категории FinSet из конечных множеств является категорией всех множеств . Аналогично, если C - категория конечно порожденных групп, ind-C эквивалентна категории всех групп.${\displaystyle \operatorname {Ind} (C_{0})}$${\displaystyle C_{0}}$

Распознавание незавершений [ править ]

Эти отождествления основаны на следующих фактах: как упоминалось выше, любой функтор, принимающий значения в категории D, которая имеет все отфильтрованные копределы, имеет расширение${\displaystyle F:C\to D}$

${\displaystyle {\tilde {F}}:\operatorname {Ind} (C)\to D,}$

который сохраняет отфильтрованные копределы. Это расширение уникально с точностью до эквивалентности. Во- первых, этот функтор является по существу сюръективны , если какой - либо объект в D может быть выражена как отфильтрованный копределы объектов вида для соответствующих объектов с в C . Во- вторых, является полностью верной , если и только если оригинальный функтор F является полностью верной , и если F посылает произвольные объекты в C для компактных объектов в D .${\displaystyle {\tilde {F}}}$${\displaystyle F(c)}$${\displaystyle {\tilde {F}}}$

Применяя эти факты, скажем, к функтору включения

${\displaystyle F:\operatorname {FinSet} \subset \operatorname {Set} ,}$

эквивалентность

${\displaystyle \operatorname {Ind} (\operatorname {FinSet} )\cong \operatorname {Set} }$

выражает тот факт, что любое множество является фильтрованным копределом конечных множеств (например, любое множество является объединением своих конечных подмножеств, которое является фильтрованной системой) и, более того, что любое конечное множество компактно, когда рассматривается как объект множества .

Завершение [ править ]

Подобно другим категориальным понятиям и конструкциям, инд-завершение допускает двойственное, известное как про-завершение: категория Pro ( C ) определяется в терминах инд-объекта как

${\displaystyle \operatorname {Pro} (C):=\operatorname {Ind} (C^{op})^{op}.}$

Таким образом, объекты Pro ( C ) являются обратной системой или про-объекты в C . По определению, это прямые системы противоположной категории или, что то же самое, функторы${\displaystyle C^{op}}$

${\displaystyle F:I\to C}$

из cofiltered категории I .

Примеры прокатегорий [ править ]

Хотя Pro ( C ) существует для любой категории C , следует отметить несколько особых случаев из-за связи с другими математическими понятиями.

• Если C - категория конечных групп, то про-C эквивалентно категории проконечных групп и непрерывных гомоморфизмов между ними.
• Процесс наделения предупорядоченного множества его топологией Александрова приводит к эквивалентности прокатегории конечных предупорядоченных множеств с категорией спектральных топологических пространств и квазикомпактных морфизмов.${\displaystyle \operatorname {Pro} (\operatorname {PoSet} ^{\text{fin}})}$
• Камень двойственности утверждает , что про-категории в категории конечных множеств эквивалентна категории каменных пространств . ^[3]${\displaystyle \operatorname {Pro} (\operatorname {FinSet} )}$

Появление топологических понятий в этих прокатегориях можно отнести к эквивалентности, которая сама по себе является частным случаем двойственности Стоуна,

${\displaystyle \operatorname {FinSet} ^{op}=\operatorname {FinBool} }$

который отправляет конечный набор в набор мощности (рассматриваемый как конечная булева алгебра). Двойственность между про- и инд-объектами и известное описание незавершений также порождает описания некоторых противоположных категорий. Например, такие соображения можно использовать, чтобы показать, что противоположная категория категории векторных пространств (над фиксированным полем) эквивалентна категории линейно компактных векторных пространств и непрерывных линейных отображений между ними. ^[4]

Приложения [ править ]

Профилактическое завершение менее заметно, чем незавершение, но приложения включают теорию форм . Про-объекты также возникают через их связь с про-представимыми функторами , например, в теории Галуа Гротендика , а также в критерии Шлезингера в теории деформаций .

Связанные понятия [ править ]

Объекты Тейт представляют собой смесь инд- и про-объектов.

Бесконечно-категориальные варианты [ править ]

Ind-завершение (и, двойственно, про-завершение) была расширена до ∞-категорий по Лурье (2009) .

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бергман; Хаускнехт (1996), когруппы и ко-кольца в категориях ассоциативных колец , математические обзоры и монографии, 45 , DOI : 10.1090 / Surv / 045 , ISBN 9780821804957
• Бурбаки, Николас (1968), Элементы математики. Теория множеств , Перевод с французского, Париж: Hermann, MR  0237342.
• Гротендик, Александр (1960), "Technique de descente et théoèmes d'existence en géométrie algébriques. II. Le théorème d'existence en théorie formelle des modules" , Séminaire Bourbaki: années 1958/59 - 1959/60, разоблачения 169-204. (на французском языке), Sociétée mathématique de France, стр. 369–390, MR  1603480 , Zbl  0234.14007
• "Система (в категории)" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Джонстон, Питер Т. (1982), Stone Spaces , ISBN 0521337798
• Лурье, Джейкоб (2009), теория высших топосов , Annals of Mathematics Studies, 170 , Princeton University Press , arXiv : math.CT / 0608040 , ISBN 978-0-691-14049-0, Руководство по ремонту  2522659
• Сигал, Джек; Мардешич, Сибе (1982), теория форм, Математическая библиотека Северной Голландии, 26 , Амстердам: Северная Голландия, ISBN 978-0-444-86286-0