Компактный объект (математика)

В математике компактные объекты , также называемые конечно представленными объектами или объектами конечного представления , представляют собой объекты в категории, удовлетворяющие определенному условию конечности.

Определение [ править ]

Объект X в категории C, которая допускает все фильтрованные копределы (также известные как прямые пределы ), называется компактным, если функтор

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {C} (X, \ cdot): C \ to \ mathrm {Sets}, Y \ mapsto \ operatorname {Hom} _ {C} (X, Y)}$

коммутирует с фильтрованными копределами, т. е. если естественное отображение

${\ displaystyle \ operatorname {colim} \ operatorname {Hom} _ {C} (X, Y_ {i}) \ to \ operatorname {Hom} _ {C} (X, \ operatorname {colim} _ {i} Y_ { я})}$

биекция для любой фильтрованной системы объектов в C . ^[1] Поскольку элементы в отфильтрованном копределе слева представлены картами , для некоторого i , сюръективность приведенной выше карты сводится к требованию, чтобы карта множилась над некоторыми .${\ displaystyle Y_ {i}}$$от {\ displaystyle X \ до Y_ {i}}$${\ displaystyle X \ to \ operatorname {colim} _ {i} Y_ {i}}$${\ displaystyle Y_ {i}}$

Терминология основана на примере, вытекающем из топологии, упомянутой ниже. Некоторые авторы также используют терминологию, которая более тесно связана с алгебраическими категориями: Адамек и Росицки (1994) используют терминологию конечно представленного объекта вместо компактного объекта. Кашивара и Шапира (2006) называют их объектами конечного представления .

Компактность в ∞-категориях [ править ]

То же определение также применяется, если C является ∞-категорией , при условии, что указанный выше набор морфизмов заменяется пространством отображения в C (и фильтрованные копределы понимаются в ∞-категориальном смысле, иногда также называемом фильтрованными гомотопическими копределами. ).

Компактность в триангулированных категориях [ править ]

Для триангулированной категории C, которая допускает все копроизведения , Neeman (2001) определяет объект как компактный, еслиОшибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFNeeman2001 ( справка )

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(X,\cdot ):C\to \mathrm {Ab} ,Y\mapsto \operatorname {Hom} _{C}(X,Y)}$

ездит с сопродуктами. Отношение этого понятия и выше выглядит следующим образом : предположим , что C возникает в гомотопической категории из более стабильной ∞-категории , допускающей все отфильтрованные копределы. (Это условие в целом выполняется, но не автоматически.) Тогда объект в C компактен в смысле Неемана тогда и только тогда, когда он компактен в ∞-категоричном смысле. Причина в том, что в стабильной ∞-категории всегда коммутирует с конечными копределами, поскольку это пределы. Затем используется представление отфильтрованных копределов в качестве коуравнителя (который является конечным копределом) бесконечного копроизведения.${\displaystyle Hom_{C}(X,-)}$

Примеры [ править ]

Компактные объекты в категории множеств - это в точности конечные множества.

Для кольца R компактные объекты в категории R -модулей - это в точности конечно определенные R -модули. В частности, если R - поле, то компактные объекты - это конечномерные векторные пространства.

Аналогичные результаты верны для любой категории алгебраических структур, задаваемых операциями над множеством, подчиняющимся законам уравнений. Такие категории, называемые разновидностями , можно систематически изучать с помощью теорий Ловера . Для любой теории Ловера T существует категория Mod ( T ) моделей T , и компактные объекты в Mod ( T ) являются в точности конечно представленными моделями. Например: предположим, что T - теория групп. Тогда Mod ( T ) - категория групп, а компактные объекты в Mod ( T ) - конечно определенные группы.

Компактные объекты в производной категории R -модулей и есть совершенные комплексы .${\displaystyle D(R-{\text{Mod}})}$

Компактные топологические пространства являются не компактными объектами в категории топологических пространств . Напротив, это как раз конечные множества, наделенные дискретной топологией . ^[2] Связь между компактностью в топологии и указанным выше категоричным понятием компактности заключается в следующем: для фиксированного топологического пространства существует категория , объекты которой являются открытыми подмножествами (а включения как морфизмы). Тогда является компактным топологическим пространством тогда и только тогда, когда оно компактно как объект в .${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{Open}}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{Open}}(X)}$

Если - любая категория, категория предпучков (т. Е. Категория функторов от до множеств) имеет все копределы. Исходная категория связана с вложением Йонеды . Для любого объекта из , представляет собой компактный объект (из ).${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\text{PreShv}}(C)}$${\displaystyle C^{op}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\text{PreShv}}(C)}$ ${\displaystyle h_{(-)}:C\to {\text{PreShv}}(C),X\mapsto h_{X}:=\operatorname {Hom} (-,X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle h_{X}}$${\displaystyle {\text{PreShv}}(C)}$

Аналогичным образом, любая категория может рассматриваться как полная подкатегория категории из IND-объектов в . Рассматриваемый как объект этой более широкой категории, любой объект является компактным. Фактически, компактные объекты являются именно объектами (или, точнее, их изображениями в ).${\displaystyle C}$${\displaystyle {\text{Ind}}(C)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\text{Ind}}(C)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\text{Ind}}(C)}$

Не примеры [ править ]

Производная категория пучков абелевых групп на некомпактном X [ править ]

В неограниченной производной категории пучков абелевых групп для некомпактного топологического пространства это, вообще говоря, не компактно порожденная категория. Некоторое свидетельство этого можно найти, рассмотрев открытое покрытие (которое никогда не может быть улучшено до конечного подпокрытия, используя некомпактность ) и взяв карту${\displaystyle D({\text{Sh}}(X;{\text{Ab}}))}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \phi \in {\text{Hom}}({\mathcal {F}}^{\bullet },{\underset {i\in I}{\text{colim}}}\mathbb {Z} _{U_{i}})}$

для некоторых . Затем, чтобы эта карта поднялась до элемента${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\bullet }\in {\text{Ob}}(D({\text{Sh}}(X;{\text{Ab}})))}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \psi \in {\underset {i\in I}{\text{colim}}}{\text{ Hom}}({\mathcal {F}}^{\bullet },\mathbb {Z} _{U_{i}})}$

некоторые из них должны быть учтены , что не гарантируется. Для доказательства этого требуется показать, что любой компактный объект имеет поддержку в некотором компактном подмножестве , а затем показать, что это подмножество должно быть пустым. ^[3]${\displaystyle \mathbb {Z} _{U_{i}}}$${\displaystyle X}$

Производная категория квазикогерентных пучков на стеке Артина [ править ]

Для алгебраических стеков над положительной характеристикой, неограниченная производная категория из квазикогерентных пучков в общем случае не компактно порождены, даже если это квазикомпактно и квази-разделено . ^[4] Фактически, для алгебраического стека нет других компактных объектов, кроме нулевого объекта. Это наблюдение можно обобщить до следующей теоремы: если в стеке есть стабилизирующая группа такая, что${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle D_{qc}({\mathfrak {X}})}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle B\mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle G}$

1. ${\displaystyle G}$определена над полем положительной характеристики${\displaystyle k}$
2. ${\displaystyle {\overline {G}}=G\otimes _{k}{\overline {k}}}$ имеет подгруппу, изоморфную ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$

тогда единственный компактный объект - это нулевой объект. В частности, категория не порождена компактно.${\displaystyle D_{qc}({\mathfrak {X}})}$

Эта теорема применяется, например, к отправке точки в единичную матрицу с помощью вложения в -й столбец в первой строке.${\displaystyle G=GL_{n}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}\to GL_{n}}$${\displaystyle x\in \mathbb {G} _{a}(S)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$

Компактно сгенерированные категории [ править ]

В большинстве категорий условие компактности довольно строгое, поэтому большинство объектов не компактны. Категория является компактно порожденной , если каким - либо объект может быть выражена в виде отфильтрованного копредела компактных объектов в . Например, любое векторное пространство V является фильтрованным копределом своих конечномерных (т. Е. Компактных) подпространств. Следовательно, категория векторных пространств (над фиксированным полем) компактно порождена.${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

Категории, которые генерируются компактно и также допускают все копределы, называются доступными категориями .

Отношение к дуализируемым объектам [ править ]

Для категорий C с хорошим тензорным произведением (более формально C требуется, чтобы быть моноидальной категорией ), существует другое условие, налагающее некоторую конечность, а именно условие, что объект является дуализируемым . Если моноидальная единица в C компактна, то любой дуализируемый объект также компактен. Например, R компактен как R -модуль, поэтому это наблюдение применимо. Действительно, в категории R -модулей дуализируемыми объектами являются конечно определенные проективные модули, которые особенно компактны. В контексте ∞-категорий дуализируемые и компактные объекты имеют тенденцию быть более тесно связанными, например, в ∞-категории комплексов R -модулей компактные и дуализуемые объекты согласуются друг с другом. Этот и более общий пример совпадения дуализируемых и компактных объектов обсуждается в Ben-Zvi, Francis & Nadler (2010) .

Ссылки [ править ]

• Адамек, Иржи; Росицки, Иржи (1994), Локально представимые и доступные категории , Cambridge University Press, doi : 10.1017 / CBO9780511600579 , ISBN 0-521-42261-2, Руководство по ремонту  1294136
• Бен-Цви, Давид; Фрэнсис, Джон; Надлер, Дэвид (2010), «Интегральные преобразования и центры Дринфельда в производной алгебраической геометрии», Журнал Американского математического общества , 23 (4): 909–966, arXiv : 0805.0157 , doi : 10.1090 / S0894-0347-10-00669 -7 , Руководство по ремонту  2669705 , S2CID  2202294

• Кашивара, Масаки; Шапира, Пьер (2006), Категории и связки , Springer Verlag, DOI : 10.1007 / 3-540-27950-4 , ISBN 978-3-540-27949-5, MR  2182076
• Лурье, Джейкоб (2009), теория высших топосов , Annals of Mathematics Studies, 170 , Princeton University Press , arXiv : math.CT / 0608040 , ISBN 978-0-691-14049-0, Руководство по ремонту  2522659