Лемма Йонеды

В математике , то Йонеды лемма является , пожалуй, самым важным результатом в теории категорий . ^[1] Это абстрактный результат о функторах типа морфизмов в фиксированный объект . Это обширное обобщение теоремы Кэли из теории групп (рассмотрение группы как миниатюрной категории с одним объектом и только изоморфизмами). Он позволяет вложить любую локально малую категорию в категорию функторов (контравариантных многозначных функторов), определенных в этой категории. Он также поясняет, как встроенная категория представимых функторови их естественные преобразования относится к другим объектам в более крупной категории функторов. Это важный инструмент, лежащий в основе нескольких современных разработок в алгебраической геометрии и теории представлений . Он назван в честь Нобуо Йонеды .

Общие [ править ]

Лемма Йонеды предлагает вместо изучения локально малой категории изучать категорию всех функторов от into ( категорию множеств с функциями как морфизмами ). - это категория, которую, как мы думаем, мы хорошо понимаем, а функтор into можно рассматривать как "представление" в терминах известных структур. Исходная категория содержится в этой категории функторов, но в категории функторов появляются новые объекты, которые отсутствовали и были «спрятаны» в . Рассмотрение этих новых объектов так же, как и старых, часто объединяет и упрощает теорию.${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle \ mathbf {Set}}$${\ displaystyle \ mathbf {Set}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle \ mathbf {Set}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$

Этот подход сродни (и фактически обобщает) обычному методу изучения кольца путем исследования модулей над этим кольцом. Кольцо заменяет категорию , а категория модулей над кольцом является категорией функторов, определенных на .${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$

Официальное заявление [ править ]

Лемма Йонедов, касается функторов из фиксированной категории в категорию множеств , . Если это локально малая категория (т.е. hom-множества являются фактическими множествами, а не собственными классами), то каждый объект из порождает естественный функтор, называемый hom-функтором . Этот функтор обозначается:${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle \ mathbf {Set}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle \ mathbf {Set}}$

${\ displaystyle h_ {A} = \ mathrm {Hom} (A, -)}$.

( Ковариантный ) гом-функтор отправляет на множество морфизмов и отправляет морфизм (где и являются объектами в ) морфизму (композиция с слева), который отправляет морфизм в морфизм в . Это, ${\ displaystyle h_ {A}}$${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} (A, X)}$${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle f\circ -}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,X)}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,Y)}$

${\displaystyle h_{A}(f)=\mathrm {Hom} (A,f){\mbox{, or}}}$

${\displaystyle h_{A}(f)(g)=f\circ g}$.

Позвольте быть произвольным функтором от до . Тогда лемма Йонеды говорит, что:${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \mathbf {Set} }$

Для каждого объекта из , что естественные преобразования из , чтобы в одной-однозначное соответствие с элементами . Это,${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},F)\equiv \mathrm {Hom} (\mathrm {Hom} (A,-),F)}$${\displaystyle h_{A}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F(A)}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Hom} (A,-),F)\cong F(A)}$.

Более того, этот изоморфизм естественен в и когда обе части рассматриваются как функторы от до .${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\times \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$${\displaystyle \mathbf {Set} }$

Здесь обозначение обозначает категорию функторов от до .${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \mathbf {Set} }$

Учитывая естественное преобразование из в , соответствующий элемент is ; ^[а] и дал элемент из , соответствующего естественного преобразования задаются .${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle h_{A}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F(A)}$${\displaystyle u=\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})}$${\displaystyle u}$${\displaystyle F(A)}$${\displaystyle \Phi (f)=F(f)(u)}$

Контравариантная версия [ править ]

Существует контравариантная версия леммы Йонеды, которая касается контравариантных функторов из в . В этой версии используется контравариантный гом-функтор${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \mathbf {Set} }$

${\displaystyle h^{A}=\mathrm {Hom} (-,A),}$

который отправляет к hom-множеству . Для произвольного контравариантного функтора из в лемма Йонеды утверждает, что${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,A)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \mathbf {Set} }$

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},G)\cong G(A).}$

Соглашения об именах [ править ]

Использование для ковариантного гом-функтора и контравариантного гом-функтора не является полностью стандартным. Во многих текстах и ​​статьях для этих двух функторов используются либо противоположные соглашения, либо совершенно не связанные символы. Однако большинство современных текстов по алгебраической геометрии, начиная с основополагающей EGA Александра Гротендика, используют это соглашение в этой статье. ^[b]${\displaystyle h_{A}}$${\displaystyle h^{A}}$

Мнемоника «падение во что-то» может помочь запомнить, что это ковариантный гом-функтор. Когда письмо будет падать (т.е. нижний индекс), присвоен объекту Морфизмами из в .${\displaystyle h_{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle h_{A}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

Доказательство [ править ]

Доказательство леммы Йонеды обозначается следующей коммутативной диаграммой :

Эта диаграмма показывает , что естественное преобразование полностью определяется , так как для каждого морфизм из них имеет${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})=u}$${\displaystyle f\colon A\to X}$

${\displaystyle \Phi _{X}(f)=(Ff)u}$.

Более того, любой элемент таким образом определяет естественное преобразование. Доказательство в контравариантном случае полностью аналогично.${\displaystyle u\in F(A)}$

Вложение Йонеды [ править ]

Важный частный случай леммы Йонеды - это когда функтор из в является другим гом-функтором . В этом случае ковариантная версия леммы Йонеды утверждает, что${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \mathbf {Set} }$${\displaystyle h_{B}}$

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},h_{B})\cong \mathrm {Hom} (B,A).}$

То есть естественные преобразования между гом-функторами находятся во взаимно однозначном соответствии с морфизмами (в обратном направлении) между ассоциированными объектами. Для данного морфизма обозначается соответствующее естественное преобразование .${\displaystyle f\colon B\to A}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (f,-)}$

Отображение каждого объекта в связанный с ним гом-функтор и каждого морфизма в соответствующее естественное преобразование определяет контравариантный функтор из в , категорию функторов всех (ковариантных) функторов из в . Можно интерпретировать как ковариантный функтор :${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle h_{A}=\mathrm {Hom} (A,-)}$${\displaystyle f\colon B\to A}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (f,-)}$${\displaystyle h_{\bullet }}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \mathbf {Set} }$${\displaystyle h_{\bullet }}$

${\displaystyle h_{\bullet }\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\to \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}.}$

Смысл леммы Йонедов в этом параметре , что функтор является вполне строгим , и , следовательно , дает вложение в категории функторов . Набор всех функторов является подкатегорией . Следовательно, вложение Йонеды означает, что категория изоморфна категории .${\displaystyle h_{\bullet }}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle \mathbf {Set} }$${\displaystyle \{h^{A}|A\in C\}}$${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle \{h^{A}|A\in C\}}$

Контравариантная версия леммы Йонеды утверждает, что

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},h^{B})\cong \mathrm {Hom} (A,B).}$

Следовательно, порождает ковариантный функтор из категории контравариантных функторов в :${\displaystyle h^{\bullet }}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \mathbf {Set} }$

${\displaystyle h^{\bullet }\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}.}$

Затем лемма Йонеды утверждает, что любая локально малая категория может быть вложена в категорию контравариантных функторов от до via . Это называется вложением Йонеды .${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \mathbf {Set} }$${\displaystyle h^{\bullet }}$

Йонеды вложение иногда обозначаютсяよ, то хираган кан Yo . ^[2]

Представимый функтор [ править ]

Йонеды вложения по существу утверждает , что для любого (локально малой) категории, объекты в этой категории могут быть представлены с помощью предпучков , в полном и добросовестно. Это,

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},P)\cong P(A).}$

для предпучка P . Многие общие категории на самом деле являются предварительными пучками, и при ближайшем рассмотрении оказываются пучками , и, поскольку такие примеры обычно являются топологическими по своей природе, их можно рассматривать как топосы в целом. Лемма Йонеды предоставляет точку воздействия, с помощью которой можно изучать и понимать топологическую структуру категории.

С точки зрения (со) конечного исчисления [ править ]

Учитывая две категории и с двумя функторов , естественные преобразования между ними можно записать в виде следующего конца . ^[3]${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {D} }$${\displaystyle F,G:\mathbf {C} \to \mathbf {D} }$

${\displaystyle \mathrm {Nat} (F,G)=\int _{c\in \mathbf {C} }\mathrm {Hom} _{\mathbf {D} }(Fc,Gc)}$

Для любых функторов и следующие формулы являются формулировками леммы Йонеды. ^[4]${\displaystyle K\colon \mathbf {C} ^{op}\to \mathbf {Sets} }$${\displaystyle H\colon \mathbf {C} \to \mathbf {Sets} }$

${\displaystyle K\cong \int ^{c\in \mathbf {C} }Kc\times \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(-,c),\qquad K\cong \int _{c\in \mathbf {C} }(Kc)^{\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(c,-)},}$

${\displaystyle H\cong \int ^{c\in \mathbf {C} }Hc\times \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(c,-),\qquad H\cong \int _{c\in \mathbf {C} }(Hc)^{\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(-,c)}.}$

Преддитивные категории, кольца и модули [ править ]

Предаддитивна категория является категорией , где наборы образуют морфизм абелевых групп и композиция морфизмов является билинейной ; примерами являются категории абелевых групп или модулей. В предаддитивной категории есть как «умножение», так и «добавление» морфизмов, поэтому предаддитивные категории рассматриваются как обобщения колец . Кольца - это предаддитивные категории с одним объектом.

Лемма Йонеды останется верной для преаддитивных категорий, если мы выберем в качестве нашего расширения категорию аддитивных контравариантных функторов из исходной категории в категорию абелевых групп; это функторы, совместимые с добавлением морфизмов, и их следует рассматривать как образующие модульную категорию над исходной категорией. Затем лемма Йонеды дает естественную процедуру расширения предаддитивной категории, так что расширенная версия остается предаддитивной - фактически, расширенная версия является абелевой категорией , гораздо более мощным условием. В случае кольца расширенная категория - это категория всех правых модулей над${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$, и утверждение леммы Йонеды сводится к известному изоморфизму

${\displaystyle M\cong \mathrm {Hom} _{R}(R,M)}$   для всех правильных модулей окончено .${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$

Связь с теоремой Кэли [ править ]

Как указано выше, лемму Йонеды можно рассматривать как обширное обобщение теоремы Кэли из теории групп . Чтобы увидеть это, позвольте быть категорией с одним объектом, такой что каждый морфизм является изоморфизмом (то есть группоидом с одним объектом). Затем образует группу в результате операции композиции, и любая группа может быть реализована таким образом как категория. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle *}$${\displaystyle G=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,*)}$

В этом контексте, ковариантный функтор состоит из набора и групповой гомоморфизма , где есть группа перестановок из ; другими словами, это G-множество . Естественное преобразование между такими функторами это то же самое , как эквивариантное отображение между множествами: набор функций с тем свойством , что для всех в и в . (В левой части этого уравнения символ обозначает действие на , а в правой части - действие на .) ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G\to \mathrm {Perm} (X)}$${\displaystyle \mathrm {Perm} (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \alpha \colon X\to Y}$${\displaystyle \alpha (g\cdot x)=g\cdot \alpha (x)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

Теперь ковариантный гом-функтор соответствует действию на себя умножением слева (контравариантная версия соответствует умножению справа). Лемма Йонеды утверждает, что${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-)}$

${\displaystyle \mathrm {Nat} (\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-),\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-))\cong \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,*)}$,

то есть эквивариантные отображения этого -множества в себя взаимно однозначно связаны с . Но легко видеть , что (1) эти карты образуют группу по составу, который является подгруппой в , и (2) функция , которая дает биекция является гомоморфизмом. (Идя в обратном направлении, он сопоставляет каждому в эквивариантном отображении правого умножения на .) Таким образом , изоморфен подгруппе в , что является утверждением теоремы Кэли.${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {Perm} (G)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {Perm} (G)}$

История [ править ]

Йошики Киношита заявил в 1996 году, что термин «лемма Йонеды» был придуман Сондерсом Мак Лейном после интервью, которое он дал Йонеде. ^[5]

См. Также [ править ]

• Теорема представления

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Лемма Йонеды в nLab

Внешние ссылки [ править ]

• Доказательство системы Mizar : http://www.mizar.org/JFM/pdf/yoneda_1.pdf