Распространение продукции

Распределение продуктов является распределение вероятностей строятся как распределение продукта из случайных величин , имеющих два других известных распределений. Учитывая две статистически независимые случайные величины X и Y , распределение случайной величины Z , которое формируется как произведение

${\ Displaystyle Z = XY}$

это распространение продукта .

Алгебра случайных величин [ править ]

Продукт представляет собой один из типов алгебры для случайных величин: с распределением продукта связаны распределение соотношений, распределение сумм (см. Список сверток распределений вероятностей ) и распределение разностей. В более общем плане можно говорить о комбинациях сумм, разностей, произведений и соотношений.

Многие из этих распределений описаны в книге Мелвина Д. Спрингера 1979 года «Алгебра случайных величин» . ^[1]

Вывод независимых случайных величин [ править ]

Если и - две независимые непрерывные случайные величины, описываемые функциями плотности вероятности, а функция плотности вероятности равна ^[2]${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f_ {X}}$${\ displaystyle f_ {Y}}$${\ Displaystyle Z = XY}$

${\ displaystyle f_ {Z} (z) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f_ {X} \ left (x \ right) f_ {Y} \ left (z / x \ right) {\ frac {1} {| x |}} \, dx.}$

Доказательство ^[3] [ править ]

Сначала написать интегральную функцию распределения в начиная с его определением${\ displaystyle Z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{Z}(z)&\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\ \mathbb {P} (Z\leq z)\\&=\mathbb {P} (XY\leq z)\\&=\mathbb {P} (XY\leq z,X\geq 0)+\mathbb {P} (XY\leq z,X\leq 0)\\&=\mathbb {P} (Y\leq z/X,X\geq 0)+\mathbb {P} (Y\geq z/X,X\leq 0)\\&=\int _{0}^{\infty }f_{X}\left(x\right)\int _{-\infty }^{z/x}f_{Y}\left(y\right)\,dy\,dx+\int _{-\infty }^{0}f_{X}\left(x\right)\int _{z/x}^{\infty }f_{Y}\left(y\right)\,dy\,dx\end{aligned}}}$

Мы находим желаемую функцию плотности вероятности, взяв производную от обеих частей по . Поскольку в правой части появляется только в пределах интегрирования, производная легко вычисляется с помощью основной теоремы исчисления и цепного правила . (Обратите внимание на отрицательный знак, который необходим, когда переменная находится в нижнем пределе интегрирования.)${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Z}(z)&=\int _{0}^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{x}}\,dx-\int _{-\infty }^{0}f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{x}}\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{|x|}}\,dx+\int _{-\infty }^{0}f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{|x|}}\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{|x|}}\,dx.\end{aligned}}}$

где абсолютное значение используется для удобного объединения двух терминов.

Альтернативное доказательство [ править ]

Более быстрое и компактное доказательство начинается с того же шага написания кумулятивного распределения, начиная с его определения:${\displaystyle Z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{Z}(z)&{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \ \mathbb {P} (Z\leq z)\\&=\mathbb {P} (XY\leq z)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}\left(x\right)f_{Y}\left(y\right)u\left(z-xy\right)\,dy\,dx\end{aligned}}}$

где - ступенчатая функция Хевисайда и служит для ограничения области интегрирования значениями и удовлетворяющими .${\displaystyle u\left(.\right)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle xy\leq z}$

Мы находим желаемую функцию плотности вероятности, взяв производную от обеих частей по .${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Z}(z)&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}\left(x\right)f_{Y}\left(y\right)\delta (z-xy)\,dy\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}\left(x\right)f_{Y}\left(z/x\right)\left[\int _{-\infty }^{\infty }\delta (z-xy)\,dy\right]\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}\left(x\right)f_{Y}\left(z/x\right){\frac {1}{|x|}}\,dx.\end{aligned}}}$

где мы используем свойства сдвига и масштабирования дельта-функции Дирака .${\displaystyle \delta }$

Более интуитивно понятное описание процедуры показано на рисунке ниже. Объединенный PDF-файл существует в плоскости -, и дуга постоянного значения показана заштрихованной линией. Чтобы найти предельную вероятность на этой дуге, проинтегрируйте по приращениям площади на этом контуре.${\displaystyle f_{X}(x)f_{Y}(y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle f_{Z}(z)}$${\displaystyle dx\,dy\;f(x,y)}$

Начнем с того , что у нас есть . Таким образом, приращение вероятности равно . Поскольку подразумевает , мы можем связать приращение вероятности с -инкрементом, а именно . Затем интегрирование завершается .${\displaystyle y={\frac {z}{x}}}$${\displaystyle dy=-{\frac {z}{x^{2}}}\,dx=-{\frac {y}{x}}\,dx}$${\displaystyle \delta p=f(x,y)\,dx\,|dy|=f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {y}{|x|}}\,dx\,dx}$${\displaystyle z=yx}$${\displaystyle dz=y\,dx}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \delta p=f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{|x|}}\,dx\,dz}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f_{Z}(z)=\int f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{|x|}}\,dx}$

Байесовская интерпретация [ править ]

Позвольте быть случайной выборкой, взятой из распределения вероятностей . Масштабирование по генерирует выборку из масштабированного распределения, которую можно записать как условное распределение .${\displaystyle X\sim f(x)}$${\displaystyle f_{x}(x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta X\sim {\frac {1}{|\theta |}}f_{x}\left({\frac {x}{\theta }}\right)}$${\displaystyle g_{x}(x|\theta )={\frac {1}{|\theta |}}f_{x}\left({\frac {x}{\theta }}\right)}$

Позволить быть случайной величиной с PDF , распределение нормированного образца становится и интегрируя из мы получаем так рисуется из этого распределения . Однако, заменяя определение, мы также получаем, которое имеет ту же форму, что и распределение продукта выше. Таким образом, байесовское апостериорное распределение - это распределение произведения двух независимых случайных выборок и .${\displaystyle \theta }$${\displaystyle f_{\theta }(\theta )}$${\displaystyle f_{X}(\theta x)=g_{X}(x\mid \theta )f_{\theta }(\theta )}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle h_{x}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }g_{X}(x|\theta )f_{\theta }(\theta )d\theta }$${\displaystyle \theta X}$${\displaystyle \theta X\sim h_{X}(x)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h_{X}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{|\theta |}}f_{x}\left({\frac {x}{\theta }}\right)f_{\theta }(\theta )\,d\theta }$${\displaystyle h_{X}(x)}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle X}$

Для случая, когда одна переменная является дискретной, пусть имеет вероятность на уровнях с . Условная плотность есть . Следовательно .${\displaystyle \theta }$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle \sum _{i}P_{i}=1}$${\displaystyle f_{X}(x\mid \theta _{i})={\frac {1}{|\theta _{i}|}}f_{x}\left({\frac {x}{\theta _{i}}}\right)}$${\displaystyle f_{X}(\theta x)=\sum {\frac {P_{i}}{|\theta _{i}|}}f_{X}\left({\frac {x}{\theta _{i}}}\right)}$

Ожидание произведения случайных величин [ править ]

Когда две случайные величины статистически независимы, ожидание их продукта является продуктом их ожиданий . Это можно доказать из Закона полного ожидания :

${\displaystyle \operatorname {E} (XY)=\operatorname {E} _{Y}(\operatorname {E} _{XY\mid Y}(XY\mid Y))}$

Во внутреннем выражении Y - константа. Следовательно:

${\displaystyle \operatorname {E} _{XY\mid Y}(XY\mid Y)=Y\cdot \operatorname {E} _{X\mid Y}[X]}$

${\displaystyle \operatorname {E} (XY)=\operatorname {E} _{Y}(Y\cdot \operatorname {E} _{X\mid Y}[X])}$

Это верно, даже если X и Y статистически зависимы. Однако, в общем случае является функцией Y . В частном случае , в котором Х и Y статистически независимы, то константа , не зависящая от Y . Следовательно:${\displaystyle \operatorname {E} _{X\mid Y}[X]}$

${\displaystyle \operatorname {E} (XY)=\operatorname {E} _{Y}(Y\cdot \operatorname {E} _{X}[X])}$

${\displaystyle \operatorname {E} (XY)=\operatorname {E} _{X}(X)\cdot \operatorname {E} _{Y}(Y)}$

Дисперсия произведения независимых случайных величин [ править ]

Позвольте быть некоррелированными случайными величинами со средними и дисперсиями . Дисперсия произведения XY равна${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle \mu _{X},\mu _{Y},}$${\displaystyle \sigma _{X}^{2},\sigma _{Y}^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (XY)=(\sigma _{X}^{2}+\mu _{X}^{2})(\sigma _{Y}^{2}+\mu _{Y}^{2})-\mu _{X}^{2}\mu _{Y}^{2}}$

В случае произведения более двух переменных, если они статистически независимы, то ^[4] дисперсия их произведения равна${\displaystyle X_{1}\cdots X_{n},\;\;n>2}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{1}X_{2}\cdots X_{n})=\prod _{i=1}^{n}(\sigma _{i}^{2}+\mu _{i}^{2})-\prod _{i=1}^{n}\mu _{i}^{2}}$

Характеристическая функция произведения случайных величин [ править ]

Предположим, что X , Y - независимые случайные величины. Характеристическая функция X равна , а распределение Y известно. Тогда из закона полного ожидания имеем ^[5]${\displaystyle \varphi _{X}(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{Z}(t)&=\operatorname {E} (e^{itXY})\\&=\operatorname {E} _{Y}(\operatorname {E} _{XY\mid Y}(e^{itXY}\mid Y))\\&=\operatorname {E} _{Y}(\operatorname {E} _{X\mid Y}(e^{itXY}\mid Y))\\&=\operatorname {E} _{Y}(\varphi _{X}(tY))\end{aligned}}}$

Если характеристические функции и распределения как X, так и Y известны, то, в качестве альтернативы, также верно.${\displaystyle \varphi _{Z}(t)=\operatorname {E} _{X}(\varphi _{Y}(tX))}$

Преобразование Меллина [ править ]

Преобразование Меллина из распределения с поддержкой только на и имеющие случайную выборку является${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}f(x)=\varphi (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx=\operatorname {E} [X^{s-1}].}$

Обратное преобразование:

${\displaystyle {\mathcal {M}}^{-1}\varphi (s)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds.}$

если это две независимые случайные выборки из разных распределений, то преобразование Меллина их продукта равно произведению их преобразований Меллина:${\displaystyle X{\text{ and }}Y}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{XY}(s)={\mathcal {M}}_{X}(s){\mathcal {M}}_{Y}(s)}$

Если s ограничен целыми значениями, более простой результат будет

${\displaystyle \operatorname {E} [(XY)^{n}]=\operatorname {E} [X^{n}]\;\operatorname {E} [Y^{n}]}$

Таким образом, моменты случайного произведения являются произведением соответствующих моментов, и это распространяется на нецелые моменты, например${\displaystyle XY}$${\displaystyle X{\text{ and }}Y}$

${\displaystyle \operatorname {E} [{\sqrt[{p}]{XY}}]=\operatorname {E} [{\sqrt[{p}]{X}}]\;\operatorname {E} [{\sqrt[{p}]{Y}}]}$.

PDF функции может быть восстановлен по ее моментам, используя метод приближения точки перевала .

Еще один результат состоит в том, что для независимых X , Y

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{p}Y^{q}]=\operatorname {E} [X^{p}]\operatorname {E} [Y^{q}]}$

Пример гамма-распределения Чтобы проиллюстрировать, как произведение моментов дает гораздо более простой результат, чем нахождение моментов распределения произведения, позвольте взять выборку из двух гамма-распределений с параметрами , моменты которых равны ${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle \Gamma (\theta )^{-1}x^{\theta -1}e^{-x}}$${\displaystyle \theta =\alpha ,\beta }$

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{p}]=\int _{0}^{\infty }x^{p}\Gamma (x,\theta )\,dx={\frac {\Gamma (\theta +p)}{\Gamma (\theta )}}.}$

Умножение соответствующих моментов дает результат преобразования Меллина

${\displaystyle \operatorname {E} [(XY)^{p}]=\operatorname {E} [X^{p}]\;\operatorname {E} [Y^{p}]={\frac {\Gamma (\alpha +p)}{\Gamma (\alpha )}}\;{\frac {\Gamma (\beta +p)}{\Gamma (\beta )}}}$

Независимо, известно, что произведение двух независимых выборок гаммы имеет распределение

${\displaystyle f(z,\alpha ,\beta )=2\Gamma (\alpha )^{-1}\Gamma (\beta )^{-1}z^{{\frac {\alpha +\beta }{2}}-1}K_{\alpha -\beta }(2{\sqrt {z}}),\;z\geq 0}$.

Чтобы найти моменты этого, произведите замену переменной , упростив аналогичные интегралы до:${\displaystyle y=2{\sqrt {z}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }z^{p}K_{\nu }(2{\sqrt {z}})\,dz=2^{-2p-1}\int _{0}^{\infty }y^{2p+1}K_{\nu }(y)\,dy}$

таким образом

${\displaystyle 2\int _{0}^{\infty }z^{{\frac {\alpha +\beta }{2}}-1}K_{\alpha -\beta }(2{\sqrt {z}})\,dz=2^{-(\alpha +\beta )-2p+1}\int _{0}^{\infty }y^{(\alpha +\beta )+2p-1}K_{\alpha -\beta }(y)\,dy}$

Определенный интеграл

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }y^{\mu }K_{\nu }(y)\,dy=2^{\mu -1}\Gamma \left({\frac {1+\mu +\nu }{2}}\right)\Gamma \left({\frac {1+\mu -\nu }{2}}\right)}$ хорошо задокументирован, и мы наконец

${\displaystyle {\begin{aligned}E[Z^{p}]&={\frac {2^{-(\alpha +\beta )-2p+1}\;2^{(\alpha +\beta )+2p-1}}{\Gamma (\alpha )\;\Gamma (\beta )}}\Gamma \left({\frac {(\alpha +\beta +2p)+(\alpha -\beta )}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {(\alpha +\beta +2p)-(\alpha -\beta )}{2}}\right)\\\\&={\frac {\Gamma (\alpha +p)\,\Gamma (\beta +p)}{\Gamma (\alpha )\,\Gamma (\beta )}}\end{aligned}}}$

который, после некоторых трудностей, согласился с приведенным выше результатом продукта.

Если X , Y нарисованы независимо от гамма-распределения с параметрами формы, тогда ${\displaystyle \alpha ,\;\beta }$

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{p}Y^{q}]=\operatorname {E} [X^{p}]\;\operatorname {E} [Y^{q}]={\frac {\Gamma (\alpha +p)}{\Gamma (\alpha )}}\;{\frac {\Gamma (\beta +q)}{\Gamma (\beta )}}}$

Этот тип результата универсально верен, поскольку для двумерных независимых переменных, таким образом,${\displaystyle f_{x,y}(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X^{p}Y^{q}]&=\int _{x=-\infty }^{\infty }\int _{y=-\infty }^{\infty }x^{p}y^{q}f_{x,y}(x,y)\,dy\,dx\\&=\int _{x=-\infty }^{\infty }x^{p}{\Big [}\int _{y=-\infty }^{\infty }y^{q}f_{Y}(y)\,dy{\Big ]}f_{X}(x)\,dx\\&=\int _{x=-\infty }^{\infty }x^{p}f_{X}(x)\,dx\int _{y=-\infty }^{\infty }y^{q}f_{Y}(y)\,dy\\&=\operatorname {E} [X^{p}]\;\operatorname {E} [Y^{q}]\end{aligned}}}$

или, что то же самое, ясно, что это независимые переменные.${\displaystyle X^{p}{\text{ and }}Y^{q}}$

Особые случаи [ править ]

Логнормальные распределения [ править ]

Распределение произведения двух случайных величин, которые имеют логнормальное распределение , снова логнормально. Это сам по себе частный случай более общего набора результатов, в котором логарифм произведения может быть записан как сумма логарифмов. Таким образом, в случаях, когда простой результат может быть найден в списке сверток распределений вероятностей , когда сворачиваемые распределения представляют собой распределения логарифмов компонентов продукта, результат может быть преобразован, чтобы обеспечить распределение продукта . Однако этот подход полезен только тогда, когда логарифмы компонентов продукта входят в некоторые стандартные семейства распределений.

Равномерно распределенные независимые случайные величины [ править ]

Позвольте быть произведением двух независимых переменных, каждая из которых равномерно распределена на интервале [0,1], возможно, результат преобразования копулы . Как отмечено выше в разделе «Логнормальные распределения», операции свертки PDF в домене журнала соответствуют произведению значений выборки в исходном домене. Таким образом, делая преобразование так , что каждая переменная распределяется независимо на u как ${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z=X_{1}X_{2}}$${\displaystyle u=\ln(x)}$${\displaystyle p_{U}(u)\,|du|=p_{X}(x)\,|dx|}$

${\displaystyle p_{U}(u)=p_{X}(x)/|du/dx|={\frac {1}{x^{-1}}}=e^{u},\;\;-\infty <u\leq 0}$.

а свертка двух распределений - автосвертка

${\displaystyle c(y)=\int _{u=0}^{y}e^{u}e^{y-u}du=-\int _{u=y}^{0}e^{y}du=-ye^{y},\;\;-\infty <y\leq 0}$

Затем повторно преобразуйте переменную, чтобы получить распределение${\displaystyle z=e^{y}}$

${\displaystyle c_{2}(z)=c_{Y}(y)/|dz/dy|={\frac {-ye^{y}}{e^{y}}}=-y=\ln(1/z)}$ на интервале [0,1]

Для произведения нескольких (> 2) независимых выборок характерный функциональный маршрут является благоприятным. Если мы определим, то выше будет гамма-распределение формы 1 и масштабного коэффициента 1 , и его известная CF равна . Обратите внимание, что якобиан преобразования равен единице.${\displaystyle {\tilde {y}}=-y}$${\displaystyle c({\tilde {y}})}$${\displaystyle c({\tilde {y}})={\tilde {y}}e^{-{\tilde {y}}}}$${\displaystyle (1-it)^{-1}}$${\displaystyle |d{\tilde {y}}|=|dy|}$

Следовательно, свертка независимых выборок из имеет CF, который, как известно, является CF гамма-распределения формы :${\displaystyle n}$${\displaystyle {\tilde {Y}}}$${\displaystyle (1-it)^{-n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle c_{n}({\tilde {y}})=\Gamma (n)^{-1}{\tilde {y}}^{(n-1)}e^{-{\tilde {y}}}=\Gamma (n)^{-1}(-y)^{(n-1)}e^{y}}$.

Сделав обратное преобразование, мы получим PDF продукта n образцов:${\displaystyle z=e^{y}}$

${\displaystyle f_{n}(z)={\frac {c_{n}(y)}{|dz/dy|}}=\Gamma (n)^{-1}{\Big (}-\log z{\Big )}^{n-1}e^{y}/e^{y}={\frac {{\Big (}-\log z{\Big )}^{n-1}}{(n-1)!\;\;\;}}}$

Следующий, более традиционный вывод из Stackexchange ^[6] согласуется с этим результатом. Прежде всего, позволяя его CDF${\displaystyle Z_{2}=X_{1}X_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{Z_{2}}(z)=\Pr {\Big [}Z_{2}\leq z{\Big ]}&=\int _{x=0}^{1}\Pr {\Big [}X_{2}\leq {\frac {z}{x}}{\Big ]}f_{X_{1}}(x)\,dx\\&=\int _{x=0}^{z}dx+\int _{x=z}^{1}{\frac {z}{x}}\,dx\\&=z-z\log z,\;\;0<z\leq 1\end{aligned}}}$

Плотность ${\displaystyle z_{2}{\text{ is then }}f(z_{2})=-\log(z_{2})}$

Умножение на третью независимую выборку дает функцию распределения

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{Z_{3}}(z)=\Pr {\Big [}Z_{3}\leq z{\Big ]}&=\int _{x=0}^{1}\Pr {\Big [}X_{3}\leq {\frac {z}{x}}{\Big ]}f_{Z_{2}}(x)\,dx\\&=-\int _{x=0}^{z}\log(x)\,dx-\int _{x=z}^{1}{\frac {z}{x}}\log(x)\,dx\\&=-z{\Big (}\log(z)-1{\Big )}+{\frac {1}{2}}z\log ^{2}(z)\end{aligned}}}$

Взяв производную доходность${\displaystyle f_{Z_{3}}(z)={\frac {1}{2}}\log ^{2}(z),\;\;0<z\leq 1.}$

Автор заметки предполагает, что в целом ${\displaystyle f_{Z_{n}}(z)={\frac {(-\log z)^{n-1}}{(n-1)!\;\;\;}},\;\;0<z\leq 1}$

Рисунок иллюстрирует характер приведенных выше интегралов. Заштрихованная область внутри единичного квадрата и ниже линии z = xy представляет CDF z. Это делится на две части. Первый - для 0 <x <z, где приращение площади в вертикальном слоте просто равно dx . Вторая часть расположена ниже линии xy , имеет высоту y z / x и площадь приращения dx z / x .

Независимые центрально-нормальные распределения [ править ]

Произведение двух независимых нормальных выборок следует модифицированной функции Бесселя. Позвольте быть выборками из нормального (0,1) распределения и . потом ${\displaystyle x,y}$${\displaystyle z=xy}$

${\displaystyle p_{Z}(z)={\frac {K_{0}(|z|)}{\pi }},\;\;\;-\infty <z<+\infty }$

В принципе, дисперсию этого распределения можно определить с помощью определенного интеграла Градшейна и Рыжика ^[7].

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\mu }K_{\nu }(ax)\,dx=2^{\mu -1}a^{-\mu -1}\Gamma {\Big (}{\frac {1+\mu +\nu }{2}}{\Big )}\Gamma {\Big (}{\frac {1+\mu -\nu }{2}}{\Big )},\;\;a>0,\;\nu +1\pm \mu >0}$

таким образом${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {z^{2}K_{0}(|z|)}{\pi }}\,dz={\frac {4}{\pi }}\;\Gamma ^{2}{\Big (}{\frac {3}{2}}{\Big )}=1}$

Гораздо более простой результат, изложенный в разделе выше, состоит в том, что дисперсия продукта независимых выборок с нулевым средним равна произведению их дисперсий. Поскольку дисперсия каждой нормальной выборки равна единице, дисперсия продукта также равна единице.

Коррелированные центрально-нормальные распределения [ править ]

Случай коррелированных нормальных выборок недавно был рассмотрен Надараджахой и Погани. ^[8] Пусть будет нулевое среднее, единичная дисперсия, нормально распределенные переменные с коэффициентом корреляции${\displaystyle X{\text{, }}Y}$${\displaystyle \rho {\text{ and let }}Z=XY}$

потом

${\displaystyle f_{Z}(z)={\frac {1}{\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left({\frac {\rho z}{1-\rho ^{2}}}\right)K_{0}\left({\frac {|z|}{1-\rho ^{2}}}\right)}$

Среднее значение и дисперсия : Среднее значение, полученное нами из определения коэффициента корреляции. Дисперсию можно найти путем преобразования двух некоррелированных переменных U, V с нулевым средним значением . Позволять${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\rho }$

${\displaystyle X=U,\;\;Y=\rho U+{\sqrt {(1-\rho ^{2})}}V}$

Тогда X, Y - переменные единичной дисперсии с коэффициентом корреляции и ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle (XY)^{2}=U^{2}{\bigg (}\rho U+{\sqrt {(1-\rho ^{2})}}V{\bigg )}^{2}=U^{2}{\bigg (}\rho ^{2}U^{2}+2\rho {\sqrt {1-\rho ^{2}}}UV+(1-\rho ^{2})V^{2}{\bigg )}}$

Удаляя члены с нечетной степенью, ожидания которых очевидно равны нулю, получаем

${\displaystyle \operatorname {E} [(XY)^{2}]=\rho ^{2}\operatorname {E} [U^{4}]+(1-\rho ^{2})\operatorname {E} [U^{2}]\operatorname {E} [V^{2}]=3\rho ^{2}+(1-\rho ^{2})=1+2\rho ^{2}}$

Поскольку у нас есть${\displaystyle (\operatorname {E} [Z])^{2}=\rho ^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (Z)=\operatorname {E} [Z^{2}]-(\operatorname {E} [Z])^{2}=1+2\rho ^{2}-\rho ^{2}=1+\rho ^{2}}$

Асимптота с высокой корреляцией В случае с высокой корреляцией произведение сходится в квадрате одной выборки. В этом случае асимптота равна и${\displaystyle \rho \rightarrow 1}$${\displaystyle K_{0}}$${\displaystyle K_{0}(x)\rightarrow {\sqrt {\tfrac {\pi }{2x}}}e^{-x}{\text{ in the limit as }}x={\frac {|z|}{1-\rho ^{2}}}\rightarrow \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}p(z)&\rightarrow {\frac {1}{\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left({\frac {\rho z}{1-\rho ^{2}}}\right){\sqrt {\frac {\pi (1-\rho ^{2})}{2z}}}\exp \left(-{\frac {|z|}{1-\rho ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}\exp {\Bigg (}{\frac {-|z|+\rho z}{(1-\rho )(1+\rho )}}{\Bigg )}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}\exp {\Bigg (}{\frac {-z}{1+\rho }}{\Bigg )},\;\;z>0\\&\rightarrow {\frac {1}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}){\sqrt {2z}}}}e^{-{\tfrac {z}{2}}},\;\;{\text{ as }}\rho \rightarrow 1\\\end{aligned}}}$

которое представляет собой распределение хи-квадрат с одной степенью свободы.

Множественные коррелированные выборки . Nadarajaha et. al. далее показывают, что если iid случайных величин, взятых из и является их средним значением,${\displaystyle Z_{1},Z_{2},..Z_{n}{\text{ are }}n}$${\displaystyle f_{Z}(z)}$${\displaystyle {\bar {Z}}={\tfrac {1}{n}}\sum Z_{i}}$

${\displaystyle f_{\bar {Z}}(z)={\frac {n^{n/2}2^{-n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}|z|^{n/2-1}\exp \left({\frac {\beta -\gamma }{2}}z\right){W}_{0,{\frac {1-n}{2}}}(|z|),\;\;-\infty <z<\infty .}$

где W - функция Уиттекера, а .${\displaystyle \beta ={\frac {n}{1-\rho }},\;\;\gamma ={\frac {n}{1+\rho }}}$

Используя идентификатор , см., Например, компиляцию DLMF. уравнение (13.13.9), ^[9] это выражение можно несколько упростить до${\displaystyle W_{0,\nu }(x)={\sqrt {\frac {x}{\pi }}}K_{\nu }(x/2),\;\;x\geq 0}$

${\displaystyle f_{\bar {z}}(z)={\frac {n^{n/2}2^{-n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}|z|^{n/2-1}\exp \left({\frac {\beta -\gamma }{2}}z\right){\sqrt {{\frac {\beta +\gamma }{\pi }}|z|}}\;K_{\frac {1-n}{2}}\left({\frac {\beta +\gamma }{2}}|z|\right),\;\;-\infty <z<\infty .}$

PDF дает распределение выборочной ковариации.

Множественные нецентральные коррелированные выборки . Распределение продукта коррелированных нецентральных нормальных выборок было получено Cui et.al. ^[10] и принимает вид бесконечного ряда модифицированных функций Бесселя первого рода.

Моменты произведения коррелированных центральных нормальных выборок

Для центрального нормального распределения N (0,1) моменты равны

${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{p}\right]={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{\infty }x^{p}\exp(-{\tfrac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}})\,dx={\begin{cases}0&{\text{if }}p{\text{ is odd,}}\\\sigma ^{p}(p-1)!!&{\text{if }}p{\text{ is even.}}\end{cases}}}$

где обозначает двойной факториал .${\displaystyle n!!}$

Если - центральные коррелированные переменные, простейший двумерный случай многомерной нормальной проблемы моментов, описанный Каном ^[11], то${\displaystyle X,Y\sim {\text{Norm}}(0,1)}$

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{p}Y^{q}]={\begin{cases}0&{\text{if }}p+q{\text{ is odd,}}\\{\frac {p!q!}{2^{\tfrac {p+q}{2}}}}\sum _{k=0}^{t}{\frac {(2\rho )^{2k}}{{\Big (}{\frac {p}{2}}-k{\Big )}!\;{\Big (}{\frac {q}{2}}-k{\Big )}!\;(2k)!}}&{\text{if }}p{\text{ and }}q{\text{ are even}}\\{\frac {p!q!}{2^{\tfrac {p+q}{2}}}}\sum _{k=0}^{t}{\frac {(2\rho )^{2k+1}}{{\Big (}{\frac {p-1}{2}}-k{\Big )}!\;{\Big (}{\frac {q-1}{2}}-k{\Big )}!\;(2k+1)!}}&{\text{if }}p{\text{ and }}q{\text{ are odd}}\end{cases}}}$

куда

${\displaystyle \rho }$ - коэффициент корреляции, а ${\displaystyle t=\min([p,q]/2)}$

[требует проверки]

Коррелированные нецентральные нормальные распределения [ править ]

Распределение продукта нецентральных коррелированных нормальных выборок было получено Cui et al. ^[10] и принимает вид бесконечного ряда.

Эти распределения продуктов в некоторой степени сопоставимы с распределением Уишарта . Последнее является совместным распределением четырех элементов (фактически только трех независимых элементов) выборочной ковариационной матрицы. Если это выборки из двумерного временного ряда, то это матрица Уишарта с K степенями свободы. Приведенные выше распределения продуктов представляют собой безусловное распределение совокупности K > 1 образцов .${\displaystyle x_{t},y_{t}}$${\displaystyle W=\sum _{t=1}^{K}{\dbinom {x_{t}}{y_{t}}}{\dbinom {x_{t}}{y_{t}}}^{T}}$${\displaystyle W_{2,1}}$

Независимые комплекснозначные центрально-нормальные распределения [ править ]

Позвольте быть независимыми выборками из нормального (0,1) распределения. Установлены независимые комплексные нормальные образцы с нулевым средним и круговой симметрией. Их сложные отклонения${\displaystyle u_{1},v_{1},u_{2},v_{2}}$
${\displaystyle z_{1}=u_{1}+iv_{1}{\text{ and }}z_{2}=u_{2}+iv_{2}{\text{ then }}z_{1},z_{2}}$${\displaystyle \operatorname {Var} |z_{i}|=2.}$

Плотностные функции

${\displaystyle r_{i}\equiv |z_{i}|=(u_{i}^{2}+v_{i}^{2})^{\frac {1}{2}},\;\;i=1,2}$являются распределения Рэлея, определенные как:

${\displaystyle f_{r}(r_{i})=r_{i}e^{-r_{i}^{2}/2}{\text{ of mean }}{\sqrt {\tfrac {\pi }{2}}}{\text{ and variance}}{\frac {4-\pi }{2}}}$

Переменная явно имеет форму хи-квадрат с двумя степенями свободы и имеет PDF.${\displaystyle y_{i}\equiv r_{i}^{2}}$

${\displaystyle f_{y_{i}}(y_{i})={\tfrac {1}{2}}e^{-y_{i}/2}{\text{ of mean value }}2}$

Wells et. al. ^[12] показано , что функция плотности IS ${\displaystyle s\equiv |z_{1}z_{2}|}$

${\displaystyle f_{s}(s)=sK_{0}(s),\;\;s\geq 0}$

а кумулятивная функция распределения равна${\displaystyle s}$

${\displaystyle P(a)=\Pr[s\leq a]=\int _{s=0}^{a}sK_{0}(s)ds=1-aK_{1}(a)}$

Таким образом, полярное представление продукта двух некоррелированных комплексных гауссовых выборок имеет вид

${\displaystyle f_{s,\theta }(s,\theta )=f_{s}(s)p_{\theta }(\theta ){\text{ where }}p(\theta ){\text{ is uniform on }}[0,2\pi ]}$.

Первый и второй моменты этого распределения можно найти из интеграла в Нормальных распределениях выше

${\displaystyle m_{1}=\int _{0}^{\infty }s^{2}K_{0}(s)\,dx=2\Gamma ^{2}({\tfrac {3}{2}})=2({\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}})^{2}={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle m_{2}=\int _{0}^{\infty }s^{3}K_{0}(s)\,dx=2^{2}\Gamma ^{2}({\tfrac {4}{2}})=4}$

Таким образом, его дисперсия .${\displaystyle \operatorname {Var} (s)=m_{2}-m_{1}^{2}=4-{\frac {\pi ^{2}}{4}}}$

Кроме того, плотность соответствует произведению двух независимых выборок хи-квадрат, каждая с двумя степенями свободы. Записывая их в виде масштабированных гамма-распределений , из приведенных ниже гамма-продуктов плотность продукта равна ${\displaystyle z\equiv s^{2}={|r_{1}r_{2}|}^{2}={|r_{1}|}^{2}{|r_{2}|}^{2}=y_{1}y_{2}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle f_{y}(y_{i})={\tfrac {1}{\theta \Gamma (1)}}e^{-y_{i}/\theta }{\text{ with }}\theta =2}$

${\displaystyle f_{Z}(z)={\tfrac {1}{2}}K_{0}({\sqrt {z}}){\text{ with expectation }}\operatorname {E} (z)=4}$

Независимые комплексные нецентральные нормальные распределения [ править ]

Произведение нецентральных независимых комплексных гауссианов описано О'Доногью и Моурой ^[13] и образует двойную бесконечную серию модифицированных функций Бесселя первого и второго типов.

Гамма-распределения [ править ]

Произведение двух независимых гамма-выборок , определяющих , следует ^[14]${\displaystyle z=x_{1}x_{2}}$${\displaystyle \Gamma (x;k_{i},\theta _{i})={\frac {x^{k_{i}-1}e^{-x/\theta _{i}}}{\Gamma (k_{i})\theta _{i}^{k_{i}}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{Z}(z)&={\frac {2}{\Gamma (k_{1})\Gamma (k_{2})}}{\frac {z^{{\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}-1}}{\left(\theta _{1}\theta _{2}\right)^{\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}}}K_{k_{1}-k_{2}}\left(2{\sqrt {\frac {z}{\theta _{1}\theta _{2}}}}\right)\\\\&={\frac {2}{\Gamma (k_{1})\Gamma (k_{2})}}{\frac {y^{{\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}-1}}{\theta _{1}\theta _{2}}}K_{k_{1}-k_{2}}\left(2{\sqrt {y}}\right){\text{ where }}y={\frac {z}{\theta _{1}\theta _{2}}}\\\end{aligned}}}$

Бета-версии [ править ]

Nagar et. al. ^[15] определяют коррелированное двумерное бета-распределение.

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{a-1}y^{b-1}(1-x)^{b+c-1}(1-y)^{a+c-1}}{B(a,b,c)(1-xy)^{a+b+c}}},\;\;\;0<x,y<1}$

куда

${\displaystyle B(a,b,c)={\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)\Gamma (c)}{\Gamma (a+b+c)}}}$

Тогда pdf Z = XY задается формулой

${\displaystyle f_{Z}(z)={\frac {B(a+c,b+c)z^{a-1}(1-z)^{c-1}}{B(a,b,c)}}{_{2}F_{1}}(a+c,a+c;a+b+2c;1-z),\;\;\;0<z<1}$

где - гипергеометрическая функция Гаусса, определяемая интегралом Эйлера${\displaystyle {_{2}F_{1}}}$

${\displaystyle {_{2}F_{1}}(a,b,c,z)={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (c-a)}}\int _{0}^{1}v^{a-1}(1-v)^{c-a-1}(1-vz)^{-b}\,dv}$