Профунктор

В теории категории филиала математики , profunctors является обобщением отношений , а также из бимодулей .

Определение [ править ]

Profunctor (также названный дистрибьютор французской школы и модулем в школе Sydney) из категории в категорию , написанный${\ displaystyle \, \ phi}$ ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle D}$

${\ Displaystyle \ phi \ двоеточие C \ nrightarrow D}$,

определяется как функтор

${\ Displaystyle \ phi \ двоеточие D ^ {\ mathrm {op}} \ times C \ to \ mathbf {Set}}$

где обозначает противоположную категорию множества и обозначает категорию множеств . Учитывая морфизмы соответственно в и элемент , мы пишем для обозначения действий.${\ Displaystyle D ^ {\ mathrm {op}}}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ mathbf {Set}}$${\ displaystyle f \ двоеточие d \ to d ', g \ двоеточие c \ to c'}$${\ displaystyle D, C}$${\ Displaystyle х \ в \ фи (д ', с)}$${\ displaystyle xf \ in \ phi (d, c), gx \ in \ phi (d ', c')}$

Используя декартово замыкание в , в категорию малых категорий , то profunctor можно рассматривать как функтор${\ displaystyle \ mathbf {Кошка}}$${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle {\ hat {\ phi}} \ двоеточие C \ to {\ hat {D}}}$

где обозначает категорию из предпучков более .${\ displaystyle {\ hat {D}}}$${\ displaystyle \ mathrm {Set} ^ {D ^ {\ mathrm {op}}}}$${\ displaystyle D}$

Переписка от до является profunctor .${\ displaystyle C}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle D \ nrightarrow C}$

Профункторы как категории [ править ]

Эквивалентное определение профунктора - это категория, объекты которой являются несвязным объединением объектов и объектов , а морфизмы которой являются морфизмами и морфизмами , плюс ноль или более дополнительных морфизмов от объектов к объектам . Множества в формальном определении выше - это гом-множества между объектами и объектами . (Они также известны как гет-множества, поскольку соответствующие морфизмы могут быть названы гетероморфизмами . ^[1] ) Предыдущее определение может быть восстановлено ограничением гом-функтора на .${\ Displaystyle \ phi \ двоеточие C \ nrightarrow D}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ phi ^ {\ text {op}} \ times \ phi \ to \ mathbf {Set}}$${\displaystyle D^{\text{op}}\times C}$

Это также проясняет, что профунктор можно рассматривать как отношение между объектами и объектами , где каждый член отношения связан с набором морфизмов. Функтор - это частный случай профунктора, точно так же, как функция - это частный случай отношения.${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$

Состав профункторов [ править ]

Композиция двух профункторов${\displaystyle \psi \phi }$

${\displaystyle \phi \colon C\nrightarrow D}$ а также ${\displaystyle \psi \colon D\nrightarrow E}$

дан кем-то

${\displaystyle \psi \phi =\mathrm {Lan} _{Y_{D}}({\hat {\psi }})\circ {\hat {\phi }}}$

где находится слева расширение Кана функтора вдоль Йонеды функтора из (для каждого объекта из окружающего функтора ).${\displaystyle \mathrm {Lan} _{Y_{D}}({\hat {\psi }})}$${\displaystyle {\hat {\psi }}}$ ${\displaystyle Y_{D}\colon D\to {\hat {D}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle d}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D(-,d)\colon D^{\mathrm {op} }\to \mathrm {Set} }$

Можно показать, что

${\displaystyle (\psi \phi )(e,c)=\left(\coprod _{d\in D}\psi (e,d)\times \phi (d,c)\right){\Bigg /}\sim }$

где наименьшее отношение эквивалентности такое, что всякий раз , когда существует морфизм в такой, что${\displaystyle \sim }$${\displaystyle (y',x')\sim (y,x)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle y'=vy\in \psi (e,d')}$ и .${\displaystyle x'v=x\in \phi (d,c)}$

Бикатегория профункторов [ править ]

Состав профункторов ассоциативен только с точностью до изоморфизма (поскольку продукт не является строго ассоциативным в Set ). Поэтому лучшее, на что можно надеяться, - это создать двухкатегорию Prof ,

• 0-ячейки - это маленькие категории ,
• 1-ячейки между двумя маленькими категориями являются профункторами между этими категориями,
• 2-ячейки между двумя профункторами - это естественные преобразования между этими профункторами.

Свойства [ править ]

Преобразование функторов в профункторы [ править ]

Функтор можно рассматривать как профунктор после компоновки с помощью функтора Йонеды:${\displaystyle F\colon C\to D}$${\displaystyle \phi _{F}\colon C\nrightarrow D}$

${\displaystyle \phi _{F}=Y_{D}\circ F}$.

Можно показать, что у такого профунктора есть правый сопряженный. Кроме того, это характеристика: а profunctor имеет правый сопряженный тогда и только тогда , когда факторы через завершения Коши в , то есть существует функтор такой , что .${\displaystyle \phi _{F}}$${\displaystyle \phi \colon C\nrightarrow D}$${\displaystyle {\hat {\phi }}\colon C\to {\hat {D}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle F\colon C\to D}$${\displaystyle {\hat {\phi }}=Y_{D}\circ F}$

Ссылки [ править ]

• Бенабу, Жан (2000). «Дистрибьюторы за работой» (PDF) . Cite journal requires |journal= (help)
• Борсё, Фрэнсис (1994). Справочник по категориальной алгебре . ЧАШКА.
• Лурье, Джейкоб (2009). Теория высших топосов . Издательство Принстонского университета.
• Профунктор в nLab
• Гетероморфизм в nLab