Конверт каруби

В математике огибающей Каруби (или Коши завершения или идемпотентная завершения ) из категории С является классификация идемпотентами из C , с помощью вспомогательной категории. Взятие оболочки Каруби предаддитивной категории дает псевдоабелеву категорию , поэтому эту конструкцию иногда называют псевдоабелевым пополнением. Он назван в честь французского математика Макса Каруби .

Для категории C идемпотент C является эндоморфизмом

{\ displaystyle e: A \ rightarrow A}

с

{\ displaystyle e \ circ e = e}

.

Идемпотент e : A → A называется расщепляющимся, если существуют объект B и морфизмы f : A → B , g : B → A такие, что e = g f и 1 _B = f g .

Карубите конвертом из C , иногда пишутся Split (C) , является категорией, объекты которой являются парами вида ( , е ) , где является объектом C и является идемпотентом C , и чьи морфизмы являются тройки ${\ displaystyle e: A \ rightarrow A}$

{\ displaystyle (e, f, e ^ {\ prime}) :( A, e) \ rightarrow (A ^ {\ prime}, e ^ {\ prime})}

где - морфизм C, удовлетворяющий (или что то же самое ). ${\ displaystyle f: A \ rightarrow A ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle е ^ {\ прайм} \ CIRC F = F = F \ CIRC E}$ ${\ displaystyle f = e '\ circ f \ circ e}$

Композиция в Split (C) такая же, как в C , но морфизм тождества в Split (C) есть , а не тождество в . ${\ Displaystyle (А, е)}$ ${\ Displaystyle (е, е, е)}$ ${\ displaystyle A}$

Категория C полностью и точно вкладывается в Split (C) . В Split (C) каждый идемпотент расщепляется, и Split (C) - универсальная категория с этим свойством. Таким образом, оболочка Каруби категории C может рассматриваться как «пополнение» категории C, которое расщепляет идемпотенты.

Карубите огибающие категории C эквивалентно может быть определен как полная подкатегория в (в предпучках над С ) в ретрактах представимых функторов . Категория предпучков на C эквивалентна категории предпучков на Split (C) . ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {C}}}}$

Автоморфизмы в оболочке Каруби [ править ]

Автоморфизм в Split (C) , имеет вид , с обратным удовлетворяющая: ${\ Displaystyle (е, е, е) :( А, е) \ rightarrow (А, е)}$ ${\ Displaystyle (е, г, е) :( А, е) \ rightarrow (А, е)}$

g\circ f=e=f\circ g

g\circ f\circ g=g

f\circ g\circ f=f

Если первое уравнение ослабить, чтобы просто иметь , то f - частичный автоморфизм (с обратным g ). (Частичная) инволюция в Split (C) является самообратным (частичным) автоморфизмом. $g\circ f=f\circ g$

Примеры [ править ]

Если C имеет произведения, то при изоморфизме отображение , составленное с помощью канонического отображения симметрии, является частичной инволюцией . $f:A\rightarrow B$ $f\times f^{-1}:A\times B\rightarrow B\times A$ $\gamma :B\times A\rightarrow A\times B$
Если C - триангулированная категория , оболочка Каруби Split ( C ) может быть наделена структурой триангулированной категории, так что канонический функтор C → Split ( C ) становится триангулированным функтором . ^[1]
Конверт Каруби используется при построении нескольких категорий мотивов .
Конструкция конверта Каруби принимает полусоединения к дополнениям . ^[2] По этой причине конверт Каруби используется при изучении моделей нетипизированного лямбда-исчисления . Оболочка Каруби экстенсиональной лямбда-модели (моноид, рассматриваемый как категория) декартово замкнута. ^[3]^[4]
Категория проективных модулей над любым кольцом - это оболочка Каруби его полной подкатегории свободных модулей.
Категория векторных расслоений над любым паракомпактным пространством - это оболочка Каруби своей полной подкатегории тривиальных расслоений. Фактически это частный случай предыдущего примера по теореме Серра – Свона, и, наоборот, эта теорема может быть доказана, сначала доказав оба этих факта, наблюдение, что функтор глобальных сечений является эквивалентностью тривиальных векторных расслоений над и свободных модулей над а затем используя универсальное свойство конверта Каруби. $X$ $C(X)$

Ссылки [ править ]

^ Балмер & Schlichting 2001
^ Сусуму Hayashi (1985). «Сочетание полуфункторов: категориальные структуры в неэкстенсиональном лямбда-исчислении» . Теоретическая информатика . 41 : 95–104. DOI : 10.1016 / 0304-3975 (85) 90062-3 .
^ КЗЖ Koymans (1982). «Модели лямбда-исчисления» . Информация и контроль . 52 : 306–332. DOI : 10.1016 / s0019-9958 (82) 90796-3 .
Перейти ↑ DS Scott (1980). «Связанные теории лямбда-исчисления». К Х. Б. Карри: Очерки комбинаторной логики .

Балмер, Пол; Schlichting, Марко (2001), "Идемпотентный завершения триангулированных категорий" (PDF) , журнал алгебры , 236 (2): 819-834, DOI : 10.1006 / jabr.2000.8529 , ISSN 0021-8693

[1] Балмер & Schlichting 2001

[2] Сусуму Hayashi (1985). «Сочетание полуфункторов: категориальные структуры в неэкстенсиональном лямбда-исчислении» . Теоретическая информатика . 41 : 95–104. DOI : 10.1016 / 0304-3975 (85) 90062-3 .

[3] КЗЖ Koymans (1982). «Модели лямбда-исчисления» . Информация и контроль . 52 : 306–332. DOI : 10.1016 / s0019-9958 (82) 90796-3 .

[4] Перейти ↑ DS Scott (1980). «Связанные теории лямбда-исчисления». К Х. Б. Карри: Очерки комбинаторной логики .

[1]