Проекция (теория меры)
В теории меры карты проекций часто появляются при работе с пространствами произведений: сигма-алгебра произведений измеримых пространств определяется как наилучшая, такая, что отображения проекций будут измеримыми . Иногда по некоторым причинам пространства произведений снабжены сигма-алгеброй, отличной от сигма -алгебры произведений. В этих случаях прогнозы вообще не обязательно должны быть измеримыми.
Спроецированное множество измеримого множества называется аналитическим множеством и не обязательно должно быть измеримым множеством. Однако в некоторых случаях, либо относительно сигма-алгебры произведения, либо относительно какой-либо другой сигма-алгебры, проектируемое множество измеримого множества действительно измеримо.
Сам Анри Лебег , один из основоположников теории меры, ошибался в этом факте. В статье 1905 г. он писал, что проекция борелевского множества на плоскости на реальную прямую снова является борелевским множеством. [1] Математик Михаил Яковлевич Суслин обнаружил эту ошибку примерно десять лет спустя, и его последующие исследования привели к дескриптивной теории множеств . [2] Фундаментальная ошибка Лебега заключалась в том, что он думал, что проекция коммутирует с уменьшением пересечения, хотя этому есть простые контрпримеры. [3]
В качестве примера неизмеримой проекции можно взять пространство с сигма-алгеброй и пространство с сигма-алгеброй . Диагональное множество не измеримо относительно , хотя обе проекции являются измеримыми множествами.
