Обобщенная обратная

В математике , и в частности, алгебры , в обобщенной обратной (или, г-обратной ) элемента х является элементом у , который имеет некоторые свойства обратного элемента , но не обязательно все из них. Обобщенные инверсии могут быть определены в любой математической структуре, которая включает ассоциативное умножение, то есть в полугруппе . В этой статье описываются обобщенные инверсии матрицы .${\ displaystyle A}$

Матрица является обобщенной обратной матрицей, если ^{[1] [2] [3]}${\ Displaystyle A ^ {\ mathrm {g}} \ in \ mathbb {R} ^ {п \ раз m}}$${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }A=A.}$

Целью построения обобщенной обратной матрицы является получение матрицы, которая может служить в некотором смысле обратной для более широкого класса матриц, чем обратимые матрицы. Обобщенный обратный существует для произвольной матрицы, и когда матрица имеет регулярный обратный , этот обратный является единственным ее обобщенным обратным. ^[1]

Мотивация [ править ]

Рассмотрим линейную систему

${\displaystyle Ax=y}$

где есть матрица и столбец пространство из . Если это неособо (что означает ) , то будет решением системы. Заметим, что если неособое, то${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times m}$${\displaystyle y\in {\mathcal {R}}(A),}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n=m}$${\displaystyle x=A^{-1}y}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle AA^{-1}A=A.}$

Теперь предположим, что он прямоугольный ( ) или квадратный и сингулярный. Тогда нам нужен правильный кандидат на звание , такой, чтобы для всех${\displaystyle A}$${\displaystyle n\neq m}$${\displaystyle G}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle y\in {\mathcal {R}}(A),}$

${\displaystyle AGy=y.}$^[4]

То есть является решением линейной системы . Эквивалентно нам нужна матрица порядка такая, что${\displaystyle x=Gy}$${\displaystyle Ax=y}$${\displaystyle G}$${\displaystyle m\times n}$

${\displaystyle AGA=A.}$

Следовательно , мы можем определить обобщенный обратный следующим образом : Дано матрица , матрица называется обобщенной инверсией , если ^{[1] [2] [3]} Матрица была называется регулярной инверсию из некоторых авторов. ^[5]${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times m}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle AGA=A.}$${\displaystyle A^{-1}}$${\displaystyle A}$

Типы [ править ]

Условия Пенроуза определяют разные обобщенные обратные для и${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times m}}$${\displaystyle A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{m\times n}:}$

1. ${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }A=A}$
2. ${\displaystyle A^{\mathrm {g} }AA^{\mathrm {g} }=A^{\mathrm {g} }}$
3. ${\displaystyle (AA^{\mathrm {g} })^{*}=AA^{\mathrm {g} }}$
4. ${\displaystyle (A^{\mathrm {g} }A)^{*}=A^{\mathrm {g} }A,}$

Где указывает конъюгат транспонировать. Если удовлетворяет первое условие, то это обобщенное обратный из . Если он удовлетворяет первые два условий, то это рефлексивное обобщенные обратной из . Если все оно удовлетворяет четырем условиям, то это Псевдообратный из . ^{[6] [7] [2] [8]} Псевдообратную матрицу иногда называют инверсией Мура – ​​Пенроуза в честь новаторских работ Э. Х. Мура и Роджера Пенроуза . ^{[6] [9] [10] [11] [12]}${\displaystyle {}^{*}}$${\displaystyle A^{\mathrm {g} }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Когда неособо, любое обобщенное обратное и единственно. В противном случае существует бесконечное количество -инверсий для заданного с менее чем 4 элементами. Однако псевдообратная ситуация уникальна. ^[13]${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\mathrm {g} }=A^{-1}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$

Есть и другие виды обобщенного обратного:

• Односторонний инверсный (правый инверсный или левый инверсный)
  • Право обратного: Если матрица имеет размерность и , то существует матрица называется правым обратным из таких , что , где есть единичная матрица .${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times m}$${\displaystyle {\textrm {rank}}(A)=n}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle A_{\mathrm {R} }^{-1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle AA_{\mathrm {R} }^{-1}=I_{n}}$${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle n\times n}$
  • Левая обратная: Если матрица имеет размерность и , то существует матрица называется левым обратным из таких , что , где есть единичная матрица. ^[14]${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times m}$${\displaystyle {\textrm {rank}}(A)=m}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle A_{\mathrm {L} }^{-1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{\mathrm {L} }^{-1}A=I_{m}}$${\displaystyle I_{m}}$${\displaystyle m\times m}$

• Обратное по Ботту – Даффину
• Инверсия Дразина

Характеристика с помощью разложения по сингулярным числам [ править ]

Позвольте , и быть его сингулярным разложением . Тогда для любого обобщенного обратного , существуют матрицы , и такие , что${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$${\displaystyle A=U{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}&0\\0&0\end{bmatrix}}V^{\textsf {T}}}$${\displaystyle A^{g}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$

$${\displaystyle A^{g}=V{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}^{-1}&X\\Y&Z\end{bmatrix}}U^{\textsf {T}}.}$$

С другой стороны , любой выбор , и для матрицы этой формы является обобщенным обратным . В -inverses точно те , для которых , в -inverses точно те , для которых , и -inverses точно те , для которых . В частности, псевдообратная формула задается следующим образом :${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \{1,2\}}$${\displaystyle Z=Y\Sigma _{1}X}$${\displaystyle \{1,3\}}$${\displaystyle X=0}$${\displaystyle \{1,4\}}$${\displaystyle Y=0}$${\displaystyle X=Y=Z=0}$

$${\displaystyle A^{+}=V{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}U^{\textsf {T}}.}$$

Примеры [ править ]

Рефлексивное обобщенное обратное [ править ]

Позволять

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}},\quad G={\begin{bmatrix}-{\frac {5}{3}}&{\frac {2}{3}}&0\\[4pt]{\frac {4}{3}}&-{\frac {1}{3}}&0\\[4pt]0&0&0\end{bmatrix}}.}$

Поскольку , сингулярно и не имеет регулярного обратного. Однако и удовлетворяют условиям Пенроуза (1) и (2), но не (3) или (4). Следовательно, является рефлексивным обобщенным обратным .${\displaystyle \det(A)=0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$

Односторонний обратный [ править ]

Позволять

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}},\quad A_{\mathrm {R} }^{-1}={\begin{bmatrix}-{\frac {17}{18}}&{\frac {8}{18}}\\[4pt]-{\frac {2}{18}}&{\frac {2}{18}}\\[4pt]{\frac {13}{18}}&-{\frac {4}{18}}\end{bmatrix}}.}$

Поскольку не квадрат, не имеет правильного обратного. Однако это прямая противоположность . Матрица не имеет левой обратной.${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{\mathrm {R} }^{-1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Инверсия других полугрупп (или колец) [ править ]

Элемент b является обобщенным обратным к элементу a тогда и только тогда , когда в любой полугруппе (или кольце , поскольку функция умножения в любом кольце является полугруппой).${\displaystyle a\cdot b\cdot a=a}$

Обобщенные инверсии элемента 3 в кольце - это 3, 7 и 11, так как в кольце :${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$

${\displaystyle 3\cdot 3\cdot 3=3}$

${\displaystyle 3\cdot 7\cdot 3=3}$

${\displaystyle 3\cdot 11\cdot 3=3}$

Обобщенные инверсии элемента 4 в кольце - это 1, 4, 7 и 10, так как в кольце :${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$

${\displaystyle 4\cdot 1\cdot 4=4}$

${\displaystyle 4\cdot 4\cdot 4=4}$

${\displaystyle 4\cdot 7\cdot 4=4}$

${\displaystyle 4\cdot 10\cdot 4=4}$

Если элемент a в полугруппе (или кольце) имеет обратный, обратный должен быть единственным обобщенно обратным этому элементу, как элементы 1, 5, 7 и 11 в кольце .${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$

В кольце любой элемент является обобщенным обратным к 0, однако 2 не имеет обобщенного обратного, так как нет b в таком, что .${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$${\displaystyle 2\cdot b\cdot 2=2}$

Строительство [ править ]

Следующие характеристики легко проверить:

• Правая инверсия неквадратной матрицы определяется выражением при условии, что она имеет полный ранг строки. ^[14]${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{\mathrm {R} }^{-1}=A^{\intercal }\left(AA^{\intercal }\right)^{-1}}$${\displaystyle A}$
• Левая инверсия неквадратной матрицы задается выражением , если она имеет полный ранг столбца. ^[14]${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{\mathrm {L} }^{-1}=\left(A^{\intercal }A\right)^{-1}A^{\intercal }}$${\displaystyle A}$
• Если - факторизация ранга , то это g-инверсия , где - правая инверсия и левая инверсия .${\displaystyle A=BC}$${\displaystyle G=C_{\mathrm {R} }^{-1}B_{\mathrm {L} }^{-1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C_{\mathrm {R} }^{-1}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B_{\mathrm {L} }^{-1}}$${\displaystyle B}$
• Если для любых неособых матриц и , то является обобщенным обратным для произвольных и .${\displaystyle A=P{\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle G=Q^{-1}{\begin{bmatrix}I_{r}&U\\W&V\end{bmatrix}}P^{-1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U,V}$${\displaystyle W}$
• Пусть будет в звании . Без ограничения общности пусть${\displaystyle A}$${\displaystyle r}$
  $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}B&C\\D&E\end{bmatrix}},}$$

  
  где - неособая подматрица матрицы . Потом,${\displaystyle B_{r\times r}}$${\displaystyle A}$
  $${\displaystyle G={\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}}$$

  
  является обобщенным обратным к .${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle A^{(1,4)}AA^{(1,3)}=A^{+}}$для любых обратных и обратных . В частности, для любого обратного .${\displaystyle \{1,4\}}$${\displaystyle A^{(1,4)}}$${\displaystyle \{1,3\}}$${\displaystyle A^{(1,3)}}$${\displaystyle A^{+}AA^{(1,3)}=A^{+}}$${\displaystyle \{1,3\}}$${\displaystyle A^{(1,3)}}$

Использует [ редактировать ]

Любое обобщенное обратное можно использовать, чтобы определить, имеет ли система линейных уравнений какие-либо решения, и если да, то дать их все. Если существуют какие-либо решения для линейной системы размера n × m

${\displaystyle Ax=b}$,

с вектором неизвестных и вектором констант все решения имеют вид ${\displaystyle x}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle x=A^{\mathrm {g} }b+\left[I-A^{\mathrm {g} }A\right]w}$,

параметрический на произвольном векторе , где - любая обобщенная инверсия . Решения существуют тогда и только тогда, когда это решение, то есть тогда и только тогда, когда . Если A имеет полный ранг столбца, выражение в квадратных скобках в этом уравнении является нулевой матрицей, и поэтому решение является уникальным. ^[15]${\displaystyle w}$${\displaystyle A^{\mathrm {g} }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\mathrm {g} }b}$${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }b=b}$

Свойства согласованности преобразования [ править ]

В практических приложениях необходимо определить класс матричных преобразований, которые должны быть сохранены с помощью обобщенного обратного. Например, обратное преобразование Мура – ​​Пенроуза удовлетворяет следующему определению согласованности в отношении преобразований с участием унитарных матриц U и V :${\displaystyle A^{+},}$

${\displaystyle (UAV)^{+}=V^{*}A^{+}U^{*}}$.

Обратное преобразование Дразина удовлетворяет следующему определению согласованности в отношении преобразований подобия, включающих невырожденную матрицу S :${\displaystyle A^{\mathrm {D} }}$

${\displaystyle \left(SAS^{-1}\right)^{\mathrm {D} }=SA^{\mathrm {D} }S^{-1}}$.

Единично-согласованный (UC) обратный, ^[16] удовлетворяет следующему определению согласованности по отношению к преобразованиям, включающим невырожденные диагональные матрицы D и E :${\displaystyle A^{\mathrm {U} },}$

${\displaystyle (DAE)^{\mathrm {U} }=E^{-1}A^{\mathrm {U} }D^{-1}}$.

Тот факт, что обратное преобразование Мура – ​​Пенроуза обеспечивает согласованность относительно вращений (которые являются ортонормированными преобразованиями), объясняет его широкое использование в физике и других приложениях, в которых необходимо сохранять евклидовы расстояния. Обратный UC, напротив, применим, когда ожидается, что поведение системы будет инвариантным по отношению к выбору единиц для различных переменных состояния, например, миль по сравнению с километрами.

См. Также [ править ]

• Псевдообратная блочная матрица
• Доказательства обратного преобразования Мура – ​​Пенроуза.
• Регулярная полугруппа

Цитаты [ править ]

Источники [ править ]

Учебник [ править ]

• Бен-Исраэль, Ади ; Гревилл, Томас Налл Иден (2003). Обобщенные инверсии: теория и приложения (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. DOI : 10.1007 / b97366 . ISBN 978-0-387-00293-4.
• Кэмпбелл, Стивен Л .; Мейер, Карл Д. (1991). Обобщенные инверсии линейных преобразований . Дувр. ISBN 978-0-486-66693-8.
• Хорн, Роджер Алан ; Джонсон, Чарльз Ройал (1985). Матричный анализ . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-38632-6.
• Накамура, Ёсихико (1991). Продвинутая робототехника: резервирование и оптимизация . Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0201151985.
• Рао, Ч. Радхакришна; Митра, Суджит Кумар (1971). Обобщенная обратная матрица и ее приложения . Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. С.  240 . ISBN 978-0-471-70821-6.

Публикация [ править ]

• Джеймс, М. (июнь 1978 г.). «Обобщенное обратное». Математический вестник . 62 (420): 109–114. DOI : 10.2307 / 3617665 . JSTOR  3617665 .
• Ульманн, Джеффри К. (2018). «Обобщенная обратная матрица, соответствующая диагональным преобразованиям» (PDF) . Журнал SIAM по матричному анализу и приложениям . 239 (2): 781–800. DOI : 10.1137 / 17M113890X .
• Чжэн, Бин; Бапат, Равиндра (2004). «Обобщенное обратное A (2) T, S и ранговое уравнение». Прикладная математика и вычисления . 155 (2): 407–415. DOI : 10.1016 / S0096-3003 (03) 00786-0 .