Квадратичная проблема собственных значений

В математике квадратная проблема собственных значений ^[1] (QEP) заключается в нахождении скалярных собственных значений , левых собственных векторов и правых собственных векторов, таких что${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle Q (\ lambda) x = 0 {\ text {and}} y ^ {\ ast} Q (\ lambda) = 0,}$

где , с матричными коэффициентами и мы требуем , (чтобы у нас был ненулевой старший коэффициент). Есть собственные значения, которые могут быть бесконечными или конечными и, возможно, нулевыми. Это частный случай нелинейной задачи на собственные значения . также известен как квадратный матричный многочлен.${\ displaystyle Q (\ lambda) = \ lambda ^ {2} A_ {2} + \ lambda A_ {1} + A_ {0}}$${\ Displaystyle A_ {2}, \, A_ {1}, A_ {0} \ in \ mathbb {C} ^ {п \ раз п}}$${\ Displaystyle A_ {2} \, \ neq 0}$${\ displaystyle 2n}$${\ Displaystyle Q (\ лямбда)}$

Приложения [ править ]

Результатом QEP может быть часть динамического анализа конструкций, дискретизированная методом конечных элементов . В этом случае квадратичная функция имеет вид , где - матрица масс , - матрица демпфирования и - матрица жесткости . Другие приложения включают виброакустику и гидродинамику.${\ Displaystyle Q (\ лямбда)}$${\ Displaystyle Q (\ лямбда) = \ лямбда ^ {2} M + \ лямбда C + K}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle K}$

Методы решения [ править ]

Прямые методы решения стандартных или обобщенных задач на собственные значения и основаны на преобразовании проблемы в Шур или Обобщенные Шур форме. Однако для квадратичных матричных многочленов аналогичного вида не существует. Один из подходов состоит в том, чтобы преобразовать квадратный матричный полином в линейный матричный пучок ( ) и решить обобщенную задачу на собственные значения. После определения собственных значений и собственных векторов линейной задачи можно определить собственные векторы и собственные значения квадратичной.${\ displaystyle Ax = \ lambda x}$${\ displaystyle Ax = \ lambda Bx}$${\ displaystyle A- \ lambda B}$

Самая распространенная линеаризация - это первая сопутствующая линеаризация.

${\displaystyle L(\lambda )=\lambda {\begin{bmatrix}M&0\\0&I_{n}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}C&K\\-I_{n}&0\end{bmatrix}},}$

где есть матрица с размерностью единичной матрицы, с соответствующим собственным вектором ${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle z={\begin{bmatrix}\lambda x\\x\end{bmatrix}}.}$

Мы решаем для и , например, вычисляя обобщенную форму Шура. Затем мы можем взять первые компоненты в качестве собственного вектора исходной квадратичной .${\displaystyle L(\lambda )z=0}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle z}$${\displaystyle n}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Q(\lambda )}$

Эта статья по прикладной математике незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

• v
• t
• e

Ссылки [ править ]