Разложение Шура

В математической дисциплине линейной алгебры , то разложение Щур или Щур триангуляции , названный в честь Исай Шур , является разложение матрицы . Это позволяет записать произвольную комплексную квадратную матрицу как унитарно эквивалентно к верхней треугольной матрице , диагональные элементы которой являются собственными значениями исходной матрицы.

Заявление [ править ]

Разложение Шура гласит следующее: если A - квадратная матрица размера n × n с комплексными элементами, то A может быть выражено как ^[1]^[2]^[3]

A=QUQ^{-1}

где Q является унитарной матрицей (так , чтобы его обратный Q ^-1 также является сопряженной транспозицией Q * из Q ), и U представляет собой верхняя треугольная матрица , которая называется Шура формы из A . Так как U является похож на А , он имеет тот же спектр , и , поскольку она является треугольной, его собственными значениями являются диагональными элементами U .

Разложение Шура следует , что существует последовательность вложенных A инвариантных подпространств ${0} = V 0 \subset V 1 \subset \dots \subset V п = С п$ , и что существует упорядоченная ортогональный базис (для стандартной эрмитовой формы из $C п$ ), так что первые i базисных векторов охватывают $V i$ для каждого i, встречающегося во вложенной последовательности. Говоря несколько иначе, первая часть говорит, что линейный оператор J в комплексном конечномерном векторном пространствестабилизирует полный флаг $(V 1,\dots, V n)$ .

Доказательство [ править ]

Конструктивное доказательство разложения Шура состоит в следующем: каждый оператор A в комплексном конечномерном векторном пространстве имеет собственное значение λ , соответствующее некоторому собственному подпространству V _λ . Пусть V _λ^⊥ - его ортогональное дополнение. Ясно, что относительно этого ортогонального разложения A имеет матричное представление (здесь можно выбрать любые ортонормированные базисы Z ₁ и Z _2, покрывающие V _λ и V _λ^⊥ соответственно)

{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}^{*}A{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda \,I_{\lambda }&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}

где I _λ - тождественный оператор на V _λ . Вышеупомянутая матрица будет верхнетреугольной, за исключением блока A ₂₂ . Но точно такая же процедура может быть применена к подматрице A ₂₂ , рассматриваемой как оператор на V _λ^⊥ , и ее подматрицам. Продолжайте так, пока матрица не станет верхней треугольной. Поскольку каждое сопряжение увеличивает размер верхнетреугольного блока по крайней мере на один, этот процесс занимает не более n шагов. Таким образом, пространство C ⁿ будет исчерпано, и процедура дала желаемый результат.

Приведенное выше рассуждение можно слегка переформулировать следующим образом: пусть λ - собственное значение оператора A , соответствующее некоторому собственному подпространству V _λ . A индуцирует оператор T на фактор-пространстве C ⁿ / V _λ . Этот оператор и есть подматрица A ₂₂ сверху. Как и раньше, T будет иметь собственное подпространство, скажем, W _µ ⊂ C ⁿ по модулю V _λ . Обратите внимание, что прообраз W _μ при фактор-отображении является инвариантным подпространствомэлемента A , содержащего V _λ . Продолжайте так до тех пор, пока результирующее фактор-пространство не будет иметь размерность 0. Затем последовательные прообразы собственных подпространств, найденные на каждом шаге, образуют флаг, который стабилизируется A.

Заметки [ править ]

Хотя каждая квадратная матрица имеет разложение Шура, в общем случае это разложение не единственно. Например, собственное подпространство V _λ может иметь размерность> 1, и в этом случае любой ортонормированный базис для V _λ приведет к желаемому результату.

Запишем треугольную матрицу U как U = D + N , где D диагональная, а N строго верхнетреугольная (и, следовательно, нильпотентная матрица ). Диагональная матрица D содержит собственные значения А в произвольном порядке (отсюда его фробениусову норму, квадрат, является суммой квадратов модулей собственных значений А , в то время как фробениусова норма А , квадрат, является суммой квадратов сингулярных значений из А ). Нильпотентная часть N , вообще говоря, тоже не единственна, но ее норма Фробениусаоднозначно определяется A (просто потому, что норма Фробениуса A равна норме Фробениуса U = D + N ).

Понятно , что если является нормальная матрица , то U от его разложения Шура должен быть диагональной матрицей , а векторы - столбцы Q являются собственными векторами из A . Следовательно, разложение Шура расширяет спектральное разложение . В частности, если является положительно определенным , разложение Шура А , его спектральное разложение, и его разложение по сингулярным значениям совпадают.

Коммутирующих семейство { _я } матриц могут быть одновременно triangularized, т.е. существует унитарной матрицы Q таким образом, что, для каждого А _я в данном семействе, QA _я Q * является верхней треугольной. Это легко вывести из приведенного выше доказательства. Возьмем элемент А из { А _я } и снова рассмотрим собственное подпространство V _A . Тогда V _A инвариантно относительно всех матриц из { A _i }. Следовательно, все матрицы в { A _i } должны иметь один общий собственный вектор в V _A. Затем индукция доказывает утверждение. Как следствие, мы получаем, что любое коммутирующее семейство нормальных матриц можно одновременно диагонализовать .

В бесконечномерной ситуации не каждый ограниченный оператор в банаховом пространстве имеет инвариантное подпространство. Однако верхняя треугольная форма произвольной квадратной матрицы действительно обобщается на компактные операторы . Каждый компактный оператор на комплексном банаховом пространстве имеет гнездо замкнутых инвариантных подпространств.

Вычисление [ править ]

Разложение Шура данной матрицы численно вычисляется с помощью алгоритма QR или его вариантов. Другими словами, корни характеристического полинома, соответствующего матрице, не обязательно вычисляются заранее, чтобы получить его разложение Шура. И наоборот, QR-алгоритм может использоваться для вычисления корней любого заданного характеристического полинома путем нахождения разложения Шура его сопутствующей матрицы . Точно так же алгоритм QR используется для вычисления собственных значений любой заданной матрицы, которые являются диагональными элементами верхней треугольной матрицы разложения Шура. См. Раздел «Несимметричные собственные задачи» в LAPACK.Руководство пользователя. ^[4]

Приложения [ править ]

Приложения теории лжи включают:

Каждый обратимый оператор содержится в борелевской группе .
Каждый оператор фиксирует точку многообразия флагов .

Обобщенное разложение Шура [ править ]

Указанные квадратные матрицы и Б , то обобщенное разложение Шуру дофакторизовываются обе матрицы , как и , где Q и Z являются унитарными и S и Т является верхними треугольным . Обобщенное разложение Шура также иногда называют QZ-разложением . ^[2]^:³⁷⁵ $A=QSZ^{*}$ $B=QTZ^{*}$

Обобщенные собственные значения , которые решают задачу на собственные значения обобщенного (где х представляет собой неизвестный вектор отличен от нуля) может быть вычислена как отношение диагональных элементов S к таковым из T . То есть при использовании индексов для обозначения матричных элементов i- е обобщенное собственное значение удовлетворяет . $\lambda$ $A\mathbf {x} =\lambda B\mathbf {x}$ $\lambda _{i}$ $\lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii}$

Ссылки [ править ]

Перейти ↑ Horn, RA & Johnson, CR (1985). Матричный анализ . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-38632-2.(Раздел 2.3 и далее на стр. 79 )
^ a b Голуб, Г. Х. и Ван Лоан, CF (1996). Матричные вычисления (3-е изд.). Издательство Университета Джона Хопкинса. ISBN 0-8018-5414-8.(Раздел 7.7 на стр. 313 )
^ Schott, Джеймс Р. (2016). Матричный анализ для статистики (3-е изд.). Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. С. 175–178. ISBN 978-1-119-09247-6.
^ Андерсон, E; Bai, Z; Бишоф, К; Блэкфорд, S; Demmel, J; Донгарра, Дж; Du Croz, J; Гринбаум, А; Hammarling, S; Маккенни, А; Соренсен, Д. (1995). LAPACK Руководство пользователя . Филадельфия, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики. ISBN 0-89871-447-8.

[horn1985-1] Перейти ↑ Horn, RA & Johnson, CR (1985). Матричный анализ . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-38632-2.(Раздел 2.3 и далее на стр. 79 )

[Golub1996-2] Голуб, Г. Х. и Ван Лоан, CF (1996). Матричные вычисления (3-е изд.). Издательство Университета Джона Хопкинса. ISBN 0-8018-5414-8.(Раздел 7.7 на стр. 313 )

[3] Schott, Джеймс Р. (2016). Матричный анализ для статистики (3-е изд.). Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. С. 175–178. ISBN 978-1-119-09247-6.

[4] Андерсон, E; Bai, Z; Бишоф, К; Блэкфорд, S; Demmel, J; Донгарра, Дж; Du Croz, J; Гринбаум, А; Hammarling, S; Маккенни, А; Соренсен, Д. (1995). LAPACK Руководство пользователя . Филадельфия, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики. ISBN 0-89871-447-8.

[1]