Матрица масс

В аналитической механике , то массовая матрица является симметричной матрицей М , которая выражает связь между производной по времени от обобщенной координаты вектора д системы и кинетической энергии Т этой системы, с помощью уравнения ${\ displaystyle {\ dot {q}}}$

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {\ dot {q}} ^ {\textf {T}} \ mathbf {M} \ mathbf {\ dot {q}}}

где обозначает транспонирование вектора . ^[1] Это уравнение аналогично формуле для кинетической энергии частицы с массой и скоростью v , а именно ${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {q}} ^ {\textf {T}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {q}}}$ ${\ displaystyle m}$

{\ Displaystyle Т = {\ гидроразрыва {1} {2}} м | \ mathbf {v} | ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {v} \ cdot m \ mathbf {v }}

и может быть получен из него, выражая положение каждой частицы системы через q .

В общем случае матрица масс M зависит от состояния q и, следовательно, изменяется со временем.

Лагранжева механика дает обыкновенное дифференциальное уравнение (фактически, систему связанных дифференциальных уравнений), которое описывает эволюцию системы в терминах произвольного вектора обобщенных координат, который полностью определяет положение каждой частицы в системе. Приведенная выше формула кинетической энергии является одним из членов этого уравнения, которое представляет собой полную кинетическую энергию всех частиц.

Примеры [ править ]

Двухчастная одномерная система [ править ]

Система масс в одном пространственном измерении.

Например, рассмотрим систему, состоящую из двух точечных масс, ограниченных прямой дорожкой. Состояние этих систем можно описать вектором q двух обобщенных координат, а именно положениями двух частиц на треке.

{\ displaystyle q = {\ begin {bmatrix} x_ {1} & x_ {2} \ end {bmatrix}} ^ {\textf {T}}}

.

Если предположить, что частицы имеют массы m ₁ , m ₂ , кинетическая энергия системы равна

{\ displaystyle T = \ sum _ {i = 1} ^ {2} {\ frac {1} {2}} m_ {i} {\ dot {x_ {i}}} ^ {2}}

Эту формулу также можно записать как

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} {\ dot {q}} ^ {\textf {T}} M {\ dot {q}}}

куда

{\ displaystyle M = {\ begin {bmatrix} m_ {1} & 0 \\ 0 & m_ {2} \ end {bmatrix}}}

Система N-тела [ править ]

В более общем плане рассмотрим систему из N частиц, помеченных индексом i = 1, 2,…, N , где положение частицы с номером i определяется n _i свободными декартовыми координатами (где n _i равно 1, 2 или 3). . Пусть q - вектор-столбец, содержащий все эти координаты. Матрица масс M представляет собой матрицу диагонального блока, где в каждом блоке диагональные элементы представляют собой массу соответствующей частицы: ^[2]

{\ displaystyle M = \ operatorname {diag} \ left [m_ {1} I_ {n_ {1}}, \, m_ {2} I_ {n_ {2}}, \, \ ldots, \, m_ {N} I_ {n_ {N}} \ right]}

где I _{n i} - это единичная матрица размера n _i × n _i , или более полно:

M={\begin{bmatrix}m_{1}&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &m_{1}&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\0&\cdots &0&m_{2}&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &m_{2}&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &m_{N}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &m_{N}\\\end{bmatrix}}

Вращающаяся гантель [ править ]

Вращающаяся гантель.

В качестве менее тривиального примера рассмотрим два точечных объекта с массами m ₁ , m ₂ , прикрепленные к концам жесткого безмассового стержня длиной 2 R , при этом сборка может свободно вращаться и скользить по фиксированной плоскости. Состояние системы можно описать обобщенным координатным вектором

q={\begin{bmatrix}x&y&\alpha \end{bmatrix}}

где х , у декартовы координаты средней точки бара и α представляет собой угол бара от некоторого произвольного опорного направления. Положения и скорости двух частиц равны

{\begin{aligned}x_{1}&=(x,y)+R(\cos \alpha ,\sin \alpha )&v_{1}&=\left({\dot {x}},{\dot {y}}\right)+R{\dot {\alpha }}(-\sin \alpha ,\cos \alpha )\\x_{2}&=(x,y)-R(\cos \alpha ,\sin \alpha )&v_{2}&=\left({\dot {x}},{\dot {y}}\right)-R{\dot {\alpha }}(-\sin \alpha ,\cos \alpha )\end{aligned}}

а их полная кинетическая энергия равна

2T=m{\dot {x}}^{2}+m{\dot {y}}^{2}+mR^{2}{\dot {\alpha }}^{2}-2Rd\sin(\alpha ){\dot {x}}{\dot {\alpha }}+2Rd\cos(\alpha ){\dot {y}}{\dot {\alpha }}

где и . Эта формула может быть записана в матричной форме как $m=m_{1}+m_{2}$ $d=m_{1}-m_{2}$

T={\frac {1}{2}}{\dot {q}}^{\textsf {T}}M{\dot {q}}

куда

M={\begin{bmatrix}m&0&-Rd\sin \alpha \\0&m&Rd\cos \alpha \\-Rd\sin \alpha &Rd\cos \alpha &R^{2}m\end{bmatrix}}

Обратите внимание, что матрица зависит от текущего угла α стержня.

Механика сплошной среды [ править ]

Для дискретных приближений механики сплошных сред, как в методе конечных элементов , может быть несколько способов построения матрицы масс, в зависимости от желаемой точности вычислений и производительности. Например, метод сосредоточенной массы, в котором деформация каждого элемента игнорируется, создает диагональную матрицу масс и устраняет необходимость интегрирования массы по деформированному элементу.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Математические методы для физики и инженерии, KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
^ Аналитическая механика, LN Hand, JD Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978 0 521 57572 0

[Riley-1] Математические методы для физики и инженерии, KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3

[Hand-2] Аналитическая механика, LN Hand, JD Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978 0 521 57572 0

[1]