Обобщенный квантор

В формальной семантике , А обобщенный квантификатор ( GQ ) является выражением , которое обозначает набор множеств . Это стандартная семантика, присваиваемая количественным выражениям существительных . Например, обобщенный квантор каждый мальчик обозначает набор множеств, членом которого является каждый мальчик:

${\displaystyle \{X\,|\,\forall x(x{\text{ is a boy}}\to x\in X)\}}$

Такая обработка кванторов была важна для достижения композиционной семантики предложений, содержащих кванторы. ^{[1] [2]}

Теория типов [ править ]

Версия теории типов часто используется для того, чтобы сделать семантику различных видов выражений явной. Стандартная конструкция рекурсивно определяет набор типов следующим образом:

1. e и t - типы.
2. Если a и b оба типа, то тоже${\displaystyle \langle a,b\rangle }$
3. Ничто не является типом, кроме того, что может быть построено на основе строк 1 и 2 выше.

Учитывая это определение, у нас есть простые типы e и t , а также счетное бесконечное множество сложных типов, некоторые из которых включают:

${\displaystyle \langle e,t\rangle ;\qquad \langle t,t\rangle ;\qquad \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle ;\qquad \langle e,\langle e,t\rangle \rangle ;\qquad \langle \langle e,t\rangle ,\langle \langle e,t\rangle ,t\rangle \rangle ;\qquad \ldots }$

• Выражения типа e обозначают элементы вселенной дискурса , совокупность сущностей, о которых идет речь. Этот набор обычно записывается как . Примеры выражений типа e включают John и he .${\displaystyle D_{e}}$
• Выражения типа t обозначают значение истинности , обычно представляемое как набор , где 0 означает «ложь», а 1 - «истина». Примерами выражений, которые иногда называют типом t, являются предложения или пропозиции .${\displaystyle \{0,1\}}$
• Выражения типа обозначают функции от набора сущностей до набора значений истинности. Этот набор функций отображается как . Такие функции являются характеристическими функциями из наборов . Они отображают каждого индивидуума, который является элементом набора, как «истина», а все остальное - как «ложь». Принято говорить, что они обозначают множества, а не характеристические функции, хотя, строго говоря, последняя более точна. Примерами выражений этого типа являются предикаты , существительные и некоторые виды прилагательных .${\displaystyle \langle e,t\rangle }$${\displaystyle D_{t}^{D_{e}}}$
• В общем, выражение сложных типов обозначают функции из множества сущностей типа множества сущностей типа , конструкция можно записать следующий образом : .${\displaystyle \langle a,b\rangle }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle D_{b}^{D_{a}}}$

Теперь мы можем присвоить типы слов в нашем предложении выше (Каждый мальчик спит) следующим образом.

• • Тип (мальчик) =${\displaystyle \langle e,t\rangle }$
  • Тип (спит) =${\displaystyle \langle e,t\rangle }$
  • Тип (каждый) = ${\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,\langle \langle e,t\rangle ,t\rangle \rangle }$

Таким образом, каждый обозначает функцию от набора до функции от набора до значения истинности. Другими словами, он обозначает функцию от набора к набору наборов. Это та функция, которая для любых двух множеств A, B , every ( A ) ( B ) = 1 тогда и только тогда, когда .${\displaystyle A\subseteq B}$

Типизированное лямбда-исчисление [ править ]

Полезный способ написания сложных функций - это лямбда-исчисление . Например, можно записать значение сна в виде следующего лямбда-выражения, которое является функцией от индивидуального x до утверждения, что x спит .

${\displaystyle \lambda x.sleep'(x)}$

Такие лямбда-термины - это функции, домен которых - это то, что предшествует точке, а диапазон - тип вещей, который следует за точкой. Если x - переменная, которая охватывает элементы , то следующий лямбда-термин обозначает функцию идентичности для отдельных лиц:${\displaystyle D_{e}}$

${\displaystyle \lambda x.x}$

Теперь мы можем записать значение каждого с помощью следующего лямбда-члена, где X, Y - переменные типа :${\displaystyle \langle e,t\rangle }$

${\displaystyle \lambda X.\lambda Y.X\subseteq Y}$

Если мы сократим значение слова мальчик и спит как « B » и « S », соответственно, мы получим, что предложение « каждый мальчик спит сейчас» означает следующее:

${\displaystyle (\lambda X.\lambda Y.X\subseteq Y)(B)(S)}$- β-восстановление

${\displaystyle (\lambda Y.B\subseteq Y)(S)}$ - β-восстановление

${\displaystyle B\subseteq S}$

Выражение каждый является определяющим . В сочетании с существительным оно дает обобщенный квантор типа .${\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle }$

Свойства [ править ]

Монотонность [ править ]

Монотонно увеличивающиеся GQ [ править ]

Обобщенное квантификатором GQ, называется монотонно возрастающей (также называемый вверх , влекущие за собой ) , если для каждой пары множеств Х и У , справедливо следующее:

если , то GQ ( X ) влечет GQ ( Y ).${\displaystyle X\subseteq Y}$

GQ у каждого мальчика монотонно растет. Например, набор вещей, которые работают быстро, является подмножеством набора вещей, которые работают . Следовательно, первое предложение ниже влечет за собой второе:

1. Каждый мальчик быстро бегает.
2. Каждый мальчик бежит.

Монотонно убывающие GQ [ править ]

GQ называется монотонно убывающим (также называемым нисходящим влечением ), если для каждой пары множеств X и Y выполняется следующее:

Если , то из GQ ( Y ) следует GQ ( X ).${\displaystyle X\subseteq Y}$

Пример монотонно убывающего GQ - не мальчик . Для этого GQ мы имеем, что первое предложение ниже влечет за собой второе.

1. Мальчик не бежит.
2. Ни один мальчик не бегает быстро.

Лямбда-член для определителя « нет» следующий. Он говорит, что два набора имеют пустое пересечение .

${\displaystyle \lambda X.\lambda Y.X\cap Y=\emptyset }$

Монотонно убывающие GQ являются одними из выражений, которые могут лицензировать элемент отрицательной полярности , такой как любой . Монотонно возрастающие GQ не лицензируют предметы с отрицательной полярностью.

1. Хорошо: Нет мальчик не имеет каких - либо денег.
2. Плохо: * Каждый мальчик имеет какие - либо деньги.

Немонотонные GQ [ править ]

GQ называется немонотонным, если он не монотонно возрастает и не монотонно убывает. Пример такого GQ - ровно три мальчика . Ни одно из следующих предложений не влечет за собой другого.

1. Бежало ровно трое учеников.
2. Бежали ровно трое учеников.

Первое предложение не влечет за собой второго. Тот факт, что количество учащихся, которые бежали, равно трем, не означает, что каждый из этих студентов бежал быстро , поэтому количество учащихся, которые это сделали, может быть меньше 3. И наоборот, второе предложение не влечет за собой первое. Предложение « ровно три ученика быстро бежали» может быть верным, даже если количество учеников, которые просто бежали (то есть не так быстро), превышает 3.

Лямбда-член для (комплексного) определителя ровно три следующий. Это говорит о том , что мощность от пересечения между двумя наборами равно 3.

${\displaystyle \lambda X.\lambda Y.|X\cap Y|=3}$

Консервативность [ править ]

Определитель D называется консервативным, если выполняется следующая эквивалентность:

${\displaystyle D(A)(B)\leftrightarrow D(A)(A\cap B)}$

Например, следующие два предложения эквивалентны.

1. Каждый мальчик спит.
2. Каждый мальчик - это мальчик, который спит.

Было высказано предположение, что все детерминаторы - в каждом естественном языке - консервативны. ^[2] Выражение только не является консервативным. Следующие два предложения не эквивалентны. Но на самом деле не принято анализировать только как определяющий фактор . Скорее, это стандартно трактуется как наречие, чувствительное к фокусу .

1. Спят только мальчики.
2. Только мальчики - мальчики, которые спят.

См. Также [ править ]

• Объем (формальная семантика)
• Квантификатор Линдстрема
• Квантификатор ветвления

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Стэнли Питерс; Даг Вестерстол (2006). Кванторы в языке и логике . Кларендон Пресс. ISBN 978-0-19-929125-0.
• Антонио Бадиа (2009). Квантификаторы в действии: обобщенная количественная оценка в запросах, логических и естественных языках . Springer. ISBN 978-0-387-09563-9.

Внешние ссылки [ править ]

• Даг Вестерстол, 2011. « Обобщенные квантификаторы ». Стэнфордская энциклопедия философии .