Квантование в математике и цифровой обработке сигналов - это процесс отображения входных значений из большого набора (часто непрерывного набора) в выходные значения в (счетном) меньшем наборе, часто с конечным числом элементов . Округление и усечение - типичные примеры процессов квантования. Квантование в некоторой степени участвует почти во всей цифровой обработке сигналов, поскольку процесс представления сигнала в цифровой форме обычно включает округление. Квантование также составляет основу практически всех алгоритмов сжатия с потерями .
Разница между входным значением и его квантованным значением (например, ошибкой округления ) называется ошибкой квантования . Устройство или алгоритмическая функция , выполняющая квантование, называется квантователем . Преобразователь аналого-цифровой является примером квантователя.
Пример
Например, округляя в вещественное число к ближайшему целому значению образует очень простой тип квантователя - однородный . Типичный ( средний ) равномерный квантователь с размером шага квантования, равным некоторому значению можно выразить как
- ,
где обозначение обозначает функцию пола .
Существенным свойством квантователя является наличие счетного набора возможных элементов выходных значений, меньшего, чем набор возможных входных значений. Члены набора выходных значений могут иметь целые, рациональные или действительные значения. Для простого округления до ближайшего целого числа размер шага равно 1. С или с Как и любое другое целочисленное значение, этот квантователь имеет действительные входы и целочисленные выходы.
Когда размер шага квантования (Δ) мал по сравнению с изменением в квантованном сигнале, относительно просто показать, что среднеквадратичная ошибка, полученная при такой операции округления, будет приблизительно равна. [1] [2] [3] [4] [5] [6] Среднеквадратичная ошибка также называется мощностью шума квантования . Добавление одного бита к квантователю уменьшает вдвое значение Δ, что снижает мощность шума в раз. В децибелах изменение мощности шума составляет
Поскольку набор возможных выходных значений квантователя является счетным, любой квантователь можно разложить на два отдельных этапа, которые можно назвать этапом классификации (или этапом прямого квантования ) и этапом восстановления (или этапом обратного квантования ), где этап классификации отображает входное значение в целочисленный индекс квантования а этап реконструкции отображает индекс до стоимости реконструкции то есть выходное приближение входного значения. Для примера равномерного квантователя, описанного выше, этап прямого квантования может быть выражен как
- ,
и этап восстановления для этого примера квантователя просто
- .
Это разложение полезно для разработки и анализа поведения квантования, и оно показывает, как квантованные данные могут передаваться по каналу связи - кодер источника может выполнять этап прямого квантования и отправлять информацию индекса через канал связи, а декодер может выполнить этап реконструкции для получения выходной аппроксимации исходных входных данных. В общем, этап прямого квантования может использовать любую функцию, которая отображает входные данные в целочисленное пространство данных индекса квантования, а этап обратного квантования может концептуально (или буквально) быть операцией просмотра таблицы для отображения каждого индекса квантования на соответствующее значение реконструкции. Это двухэтапное разложение одинаково хорошо применимо как к векторным, так и к скалярным квантователям.
Математические свойства
Поскольку квантование - это отображение `` многие-к-немногим '', это по своей сути нелинейный и необратимый процесс (т. Е. Поскольку одно и то же выходное значение используется несколькими входными значениями, в общем случае невозможно восстановить точное входное значение, когда учитывая только выходное значение).
Набор возможных входных значений может быть бесконечно большим и, возможно, может быть непрерывным и, следовательно, несчетным (например, набор всех действительных чисел или всех действительных чисел в некотором ограниченном диапазоне). Набор возможных выходных значений может быть конечным или счетно бесконечным . [6] Входные и выходные наборы, участвующие в квантовании, могут быть определены довольно общим образом. Например, векторное квантование - это приложение квантования к многомерным (векторным) входным данным. [7]
Типы
Аналого-цифровой преобразователь
Аналого-цифровой преобразователь (АЦП) может быть смоделирован в виде двух процессов: выборки и квантования. Выборка преобразует изменяющийся во времени сигнал напряжения в дискретный сигнал , последовательность действительных чисел . Квантование заменяет каждое действительное число приближением из конечного набора дискретных значений. Чаще всего эти дискретные значения представлены в виде слов с фиксированной точкой. Хотя возможно любое количество уровней квантования, общая длина слова составляет 8 бит (256 уровней), 16 бит (65 536 уровней) и 24 бит (16,8 миллионов уровней). Квантование последовательности чисел производит последовательность ошибок квантования, которая иногда моделируется как аддитивный случайный сигнал, называемый шумом квантования, из-за его стохастического поведения. Чем больше уровней использует квантователь, тем меньше мощность шума квантования.
Оптимизация скорости и искажений
Квантование, оптимизированное по скорости и искажению , встречается при кодировании источника для алгоритмов сжатия данных с потерями, где целью является управление искажением в пределах скорости передачи данных, поддерживаемой каналом связи или носителем данных. Анализ квантования в этом контексте включает изучение количества данных (обычно измеряемых в цифрах или битах или битовой скорости ), которые используются для представления выходных данных квантователя, и изучение потери точности, которая вносится процессом квантования (который называется искажением ).
Унифицированные квантователи со средней подступенкой и средней ступенью
Большинство унифицированных квантователей для входных данных со знаком можно разделить на два типа: средний подступенок и средний протектор . Терминология основана на том, что происходит в области вокруг значения 0, и использует аналогию с просмотром функции ввода-вывода квантователя как лестницы . Середина протектор квантователи имеют уровень восстановления с нулевым значением ( что соответствует протектору по лестнице), в то время как в середине стояки квантователей есть с нулевым значением порога классификации ( что соответствует стояку из лестницы). [9]
Квантование середины протектора включает округление. Формулы для равномерного квантования средней протектора приведены в предыдущем разделе.
Квантование среднего уровня включает усечение. Формула ввода-вывода для равномерного квантователя среднего уровня имеет следующий вид:
- ,
где правило классификации дается формулой
и правило реконструкции
- .
Обратите внимание, что унифицированные квантователи среднего уровня не имеют нулевого выходного значения - их минимальная выходная величина составляет половину размера шага. В отличие от этого, квантователи со средним протектором имеют нулевой выходной уровень. Для некоторых приложений может потребоваться представление нулевого выходного сигнала.
В общем, квантователь средней ступени или средней ступени на самом деле может не быть однородным квантователем, т. Е. Размер интервалов классификации квантователя может не быть одинаковым, или интервалы между его возможными выходными значениями могут не все быть одинаковыми. . Отличительной особенностью квантователя средней ступени является то, что он имеет значение порога классификации, которое точно равно нулю, а отличительная характеристика квантователя средней ступени состоит в том, что он имеет значение восстановления, которое точно равно нулю. [9]
Квантователи мертвой зоны
Квантователь мертвой зоны - это тип квантователя средней ступени с симметричным поведением около 0. Область вокруг нулевого выходного значения такого квантователя называется мертвой зоной или зоной нечувствительности . Мертвая зона может иногда служить той же цели, что шум ворот или бесшумной функции. Специально для компрессионных приложений ширина мертвой зоны может отличаться от ширины других ступеней. Для квантователя, в остальном однородного, ширина мертвой зоны может быть установлена на любое значение.с помощью правила прямого квантования [10] [11] [12]
- ,
где функция () - знаковая функция (также известная как знаковая функция). Общее правило реконструкции для такого квантователя мертвой зоны дается формулой
- ,
где - значение смещения реконструкции в диапазоне от 0 до 1 как часть размера шага. Обычнопри квантовании входных данных с помощью типичной функции плотности вероятности (PDF), которая симметрична относительно нуля и достигает своего пикового значения в нуле (например, гауссовского , лапласовского или обобщенного гауссовского PDF). Хотя может зависеть от в общем, и его можно выбрать для выполнения условия оптимальности, описанного ниже, он часто просто устанавливается на константу, например . (Обратите внимание, что в этом определении из-за определения () функция, поэтому не имеет никакого эффекта.)
Очень часто используемый частный случай (например, схема, обычно используемая в финансовом учете и элементарной математике) - это установка а также для всех . В этом случае квантователь мертвой зоны также является равномерным квантователем, поскольку центральная мертвая зона этого квантователя имеет такую же ширину, как и все его другие шаги, и все его восстановленные значения также расположены на одинаковом расстоянии.
Характеристики шума и погрешности
Модель аддитивного шума
Распространенное допущение для анализа ошибки квантования состоит в том, что она влияет на систему обработки сигнала аналогично тому, как это делает аддитивный белый шум, имея пренебрежимо малую корреляцию с сигналом и приблизительно плоскую спектральную плотность мощности . [2] [6] [13] [14] Модель аддитивного шума обычно используется для анализа эффектов ошибок квантования в системах цифровой фильтрации и может быть очень полезной в таком анализе. Было показано, что это действительная модель в случаях квантования с высоким разрешением (малыеотносительно мощности сигнала) с гладкими функциями плотности вероятности. [2] [15]
Аддитивное шумовое поведение не всегда является верным предположением. Ошибка квантования (для квантователей, определенных как описано здесь) детерминированно связана с сигналом и не полностью от него независима. Таким образом, периодические сигналы могут создавать периодический шум квантования. А в некоторых случаях это может даже вызвать появление предельных циклов в системах цифровой обработки сигналов. Один из способов гарантировать эффективную независимость ошибки квантования от исходного сигнала - выполнить квантование с дизерингом (иногда с формированием шума ), которое включает добавление случайного (или псевдослучайного ) шума к сигналу перед квантованием. [6] [14]
Модели ошибок квантования
В типичном случае исходный сигнал намного больше, чем один младший значащий бит (LSB). В этом случае ошибка квантования существенно не коррелирует с сигналом и имеет приблизительно равномерное распределение . Когда округление используется для квантования, ошибка квантования имеет среднее значение, равное нулю, а значение среднеквадратичного значения (RMS) представляет собой стандартное отклонение этого распределения, определяемое выражением. Когда используется усечение, ошибка имеет ненулевое среднее значение и среднеквадратичное значение . В любом случае стандартное отклонение в процентах от полного диапазона сигнала изменяется с коэффициентом 2 для каждого 1-битного изменения числа битов квантования. Следовательно, потенциальное отношение мощности сигнала к мощности шума квантования изменяется на 4 или, примерно 6 дБ на бит.
При более низких амплитудах ошибка квантования становится зависимой от входного сигнала, что приводит к искажению. Это искажение создается после сглаживания фильтра, и, если эти искажения превышают 1/2 частоты дискретизации, они возвращаются обратно в интересующую полосу. Чтобы сделать ошибку квантования независимой от входного сигнала, сигнал смешивается путем добавления шума к сигналу. Это немного снижает отношение сигнал / шум, но может полностью устранить искажения.
Модель шума квантования
Шум квантования - это модель ошибки квантования, вносимой квантованием при аналого-цифровом преобразовании (АЦП). Это ошибка округления между аналоговым входным напряжением АЦП и выходным цифровым значением. Шум нелинейный и зависит от сигнала. Его можно смоделировать несколькими способами.
В идеальном аналого-цифровом преобразователе, где ошибка квантования равномерно распределена между -1/2 LSB и +1/2 LSB, а сигнал имеет равномерное распределение, охватывающее все уровни квантования, сигнал-шум квантования соотношение (SQNR) можно рассчитать из
где Q - количество битов квантования.
Наиболее распространенными тестовыми сигналами, которые соответствуют этому требованию, являются треугольные волны полной амплитуды и пилообразные волны .
Например, 16-битный АЦП имеет максимальное отношение сигнал / шум квантования 6,02 × 16 = 96,3 дБ.
Когда входной сигнал представляет собой синусоидальную волну полной амплитуды, распределение сигнала больше не является однородным, и вместо этого соответствующее уравнение выглядит следующим образом:
Здесь снова предполагается , что шум квантования распределен равномерно. Это так, когда входной сигнал имеет высокую амплитуду и широкий частотный спектр. [16] В этом случае 16-битный АЦП имеет максимальное отношение сигнал / шум 98,09 дБ. Разница в соотношении сигнал-шум 1,761 возникает только из-за того, что сигнал представляет собой полномасштабную синусоидальную волну, а не треугольник или пилообразную форму.
Для сложных сигналов в АЦП с высоким разрешением это точная модель. Для АЦП с низким разрешением, сигналов низкого уровня в АЦП с высоким разрешением и для простых сигналов шум квантования распределяется неравномерно, что делает эту модель неточной. [17] В этих случаях на распределение шума квантования сильно влияет точная амплитуда сигнала.
Расчеты относятся к входным данным на полномасштабном уровне. Для сигналов меньшего размера относительное искажение квантования может быть очень большим. Чтобы обойти эту проблему, можно использовать аналоговое компандирование , но это может привести к искажению.
Дизайн
Гранулярное искажение и искажение при перегрузке
Часто конструкция квантователя включает поддержку только ограниченного диапазона возможных выходных значений и выполнение отсечения для ограничения выходного сигнала этим диапазоном всякий раз, когда входной сигнал превышает поддерживаемый диапазон. Ошибка, вызванная этим ограничением, называется искажением из-за перегрузки . В крайних пределах поддерживаемого диапазона величина интервала между выбираемыми выходными значениями квантователя называется его степенью детализации , а ошибка, вносимая этим интервалом, называется гранулярным искажением. При разработке квантователя обычно используется определение надлежащего баланса между зернистым искажением и искажением из-за перегрузки. Для заданного поддерживаемого числа возможных выходных значений уменьшение среднего гранулярного искажения может включать увеличение среднего искажения от перегрузки, и наоборот. Методика управления амплитудой сигнала (или, что то же самое, размером шага квантования).) для достижения соответствующего баланса используется автоматическая регулировка усиления (АРУ). Однако в некоторых схемах квантователя концепции гранулярной ошибки и ошибки перегрузки могут не применяться (например, для квантователя с ограниченным диапазоном входных данных или со счетно бесконечным набором выбираемых выходных значений). [6]
Конструкция квантователя скорости-искажения
Скалярный квантователь, который выполняет операцию квантования, обычно можно разделить на два этапа:
- Классификация
- Процесс, который классифицирует диапазон входного сигнала на неперекрывающиеся интервалы, определяя граничные значения решения, так что для , с крайними пределами, определяемыми а также . Все входы попадают в заданный интервал связаны с одним и тем же индексом квантования .
- Реконструкция
- Каждый интервал представлен значением реконструкции который реализует отображение .
Эти два этапа вместе составляют математическую операцию .
Методы энтропийного кодирования могут применяться для передачи индексов квантования от исходного кодера, который выполняет этап классификации, в декодер, который выполняет этап восстановления. Один из способов сделать это - связать каждый индекс квантования с двоичным кодовым словом . Важным моментом является количество битов, используемых для каждого кодового слова, обозначенное здесь как. В результате дизайнквантователь уровня и связанный с ним набор кодовых слов для передачи значений индекса требует нахождения значений , а также которые оптимально удовлетворяют выбранному набору конструктивных ограничений, таких как скорость передачи данных и искажение .
Предполагая, что источник информации производит случайные величины с ассоциированной функцией плотности вероятности , вероятность что случайная величина попадает в определенный интервал квантования дан кем-то:
- .
Результирующая скорость передачи данных в единицах среднего числа битов на квантованное значение для этого квантователя может быть получено следующим образом:
- .
Если предполагается, что искажение измеряется среднеквадратической ошибкой , [a] искажение D определяется как:
- .
Ключевое наблюдение заключается в том, что скорость зависит от границ решения и длины кодовых слов , а искажение зависит от границ решения и уровни реконструкции .
После определения этих двух показателей производительности для квантователя, типичная формулировка «скорость – искажение» для задачи разработки квантователя может быть выражена одним из двух способов:
- Учитывая ограничение максимального искажения , минимизировать битрейт
- Учитывая ограничение максимальной скорости передачи данных , минимизировать искажение
Часто решение этих проблем может быть эквивалентно (или приблизительно) выражено и решено путем преобразования формулировки в задачу без ограничений. где множитель Лагранжа - неотрицательная константа, которая устанавливает соответствующий баланс между скоростью и искажениями. Решение задачи без ограничений эквивалентно нахождению точки на выпуклой оболочке семейства решений эквивалентной постановки задачи с ограничениями. Однако найти решение - особенно решение в закрытой форме - любой из этих трех формулировок проблемы может быть сложно. Решения, не требующие многомерных итерационных методов оптимизации, были опубликованы только для трех функций распределения вероятностей: равномерного , [18] экспоненциального , [12] и лапласовского [12] распределения. Подходы итеративной оптимизации могут использоваться для поиска решений в других случаях. [6] [19] [20]
Обратите внимание, что значения реконструкции влияют только на искажения - они не влияют на скорость передачи данных - и что каждый в отдельности делает отдельный вклад к общему искажению, как показано ниже:
где
Это наблюдение можно использовать для облегчения анализа - учитывая набор ценности, ценность каждого можно оптимизировать отдельно, чтобы свести к минимуму его вклад в искажения .
Для критерия искажения среднеквадратичной ошибки легко показать, что оптимальный набор значений восстановления задается установкой значения реконструкции в каждом интервале условному ожидаемому значению (также называемому центроидом ) в пределах интервала, как указано:
- .
Использование достаточно хорошо продуманных методов энтропийного кодирования может привести к использованию скорости передачи данных, близкой к истинному информационному содержанию индексов. , так что эффективно
и поэтому
- .
Использование этого приближения может позволить отделить проблему проектирования энтропийного кодирования от конструкции самого квантователя. Современные методы энтропийного кодирования, такие как арифметическое кодирование, позволяют достичь скорости передачи данных, очень близкой к истинной энтропии источника, учитывая набор известных (или адаптивно оцененных) вероятностей..
В некоторых проектах вместо оптимизации для определенного количества областей классификации , проблема проектирования квантователя может включать оптимизацию значения также. Для некоторых вероятностных моделей источников наилучшие характеристики могут быть достигнуты, когда приближается к бесконечности.
Пренебрежение ограничением энтропии: квантование Ллойда – Макса
В приведенной выше формулировке, если пренебречь ограничением скорости передачи данных путем установки равным 0, или эквивалентно, если предполагается, что код фиксированной длины (FLC) будет использоваться для представления квантованных данных вместо кода переменной длины (или какой-либо другой технологии энтропийного кодирования, такой как арифметическое кодирование, которое лучше, чем FLC в смысле скорость – искажение) задача оптимизации сводится к минимизации искажений. один.
Индексы, производимые квантователь уровня может быть закодирован с использованием кода фиксированной длины, используя бит / символ. Например, когда256 уровней, битрейт FLC составляет 8 бит / символ. По этой причине такой квантователь иногда называют 8-битным квантователем. Однако использование FLC устраняет улучшение сжатия, которое может быть получено за счет использования лучшего энтропийного кодирования.
Предполагая, что FLC с уровней, проблема минимизации искажений может быть сведена только к минимизации искажений. Редуцированная задача может быть сформулирована следующим образом: с учетом источника с pdf и ограничение, которое квантователь должен использовать только классификации регионов, найти границы решения и уровни реконструкции чтобы минимизировать результирующие искажения
- .
Нахождение оптимального решения вышеуказанной проблемы приводит к квантователю, который иногда называют решением MMSQE (минимальная среднеквадратичная ошибка квантования), а полученный в результате pdf-оптимизированный (неоднородный) квантователь называется квантователем Ллойда – Макса , названным в честь два человека, которые независимо разработали итерационные методы [6] [21] [22] для решения двух систем одновременных уравнений, полученных в результате а также , следующим образом:
- ,
который помещает каждый порог в среднюю точку между каждой парой значений реконструкции, и
который помещает каждое значение реконструкции в центр тяжести (условное ожидаемое значение) связанного с ним интервала классификации.
Алгоритм метода Ллойда I , первоначально описанный в 1957 году, можно просто обобщить для применения к векторным данным. Это обобщение приводит к методам оптимизации классификатора Линде – Бузо – Грея (LBG) или k-средних . Более того, метод может быть дополнительно обобщен прямым способом, чтобы также включить ограничение энтропии для векторных данных. [23]
Равномерное квантование и приближение 6 дБ / бит
Квантователь Ллойда – Макса на самом деле является равномерным квантователем, когда входной PDF-файл равномерно распределен по диапазону . Однако для источника, который не имеет равномерного распределения, квантователь с минимальным искажением может не быть равномерным квантователем. Анализ однородного квантователя, примененного к равномерно распределенному источнику, можно резюмировать следующим образом:
Симметричный источник X можно смоделировать с помощью , для и 0 в другом месте. Размер шагаи отношение сигнал / шум квантования (SQNR) квантователя равно
- .
Для кода фиксированной длины с использованием биты , в результате чего ,
или примерно 6 дБ на бит. Например, для= 8 бит, = 256 уровней и SQNR = 8 × 6 = 48 дБ; и для= 16 бит, = 65536 и SQNR = 16 × 6 = 96 дБ. Свойство улучшения SQNR на 6 дБ для каждого дополнительного бита, используемого при квантовании, является хорошо известным показателем качества. Однако его следует использовать с осторожностью: этот вывод предназначен только для равномерного квантователя, применяемого к однородному источнику. Для других исходных PDF-файлов и других конструкций квантователя SQNR может несколько отличаться от прогнозируемого на 6 дБ / бит, в зависимости от типа PDF-файла, типа источника, типа квантователя и рабочего диапазона скорости передачи битов.
Однако обычно предполагается, что для многих источников крутизна функции SQNR квантователя может быть приблизительно равна 6 дБ / бит при работе с достаточно высокой скоростью передачи битов. При асимптотически высоких скоростях передачи данных уменьшение размера шага вдвое увеличивает скорость передачи данных примерно на 1 бит на выборку (поскольку 1 бит необходим, чтобы указать, находится ли значение в левой или правой половине предыдущего интервала двойного размера) и уменьшает среднеквадратичная ошибка в 4 раза (т. е. 6 дБ) на основе приближение.
При асимптотически высоких скоростях передачи данных приближение 6 дБ / бит для многих исходных файлов PDF поддерживается строгим теоретическим анализом. [2] [3] [5] [6] Кроме того, структура оптимального скалярного квантователя (в смысле «скорость – искажение») приближается к структуре равномерного квантователя в этих условиях. [5] [6]
В других сферах
Многие физические величины фактически квантуются физическими объектами. Примеры областей, в которых применяется это ограничение, включают электронику (из-за электронов ), оптику (из-за фотонов ), биологию (из-за ДНК ), физику (из-за ограничений Планка ) и химию (из-за молекул ).
Смотрите также
- Бета-кодировщик
- Цветовое квантование
- Биннинг данных
- Дискретность
- Ошибка дискретизации
- Квантование (обработка изображений)
- Постеризация
- Импульсно-кодовая модуляция
- Квантиль
- Разбавление регрессии - смещение оценок параметров, вызванное такими ошибками, как квантование в объясняющей или независимой переменной.
Заметки
- ^ Другие меры искажения также могут быть рассмотрены, хотя среднеквадратичная ошибка является популярной.
Рекомендации
- ^ Уильям Флитвуд Шеппард , «О вычислении наиболее вероятных значений частотных констант для данных, упорядоченных в соответствии с равноудаленными делениями шкалы», Proceedings of the London Mathematical Society , Vol. 29, стр 353-80, 1898.. DOI : 10.1112 / ПНИЛ / s1-29.1.353
- ^ a b c d W. R. Bennett, " Спектры квантованных сигналов ", Bell System Technical Journal , Vol. 27, стр. 446–472, июль 1948 г.
- ^ a b Б. М. Оливер, JR Пирс и Клод Э. Шеннон , «Философия PCM», Proceedings of the IRE , Vol. 36, стр. 1324–1331, ноябрь 1948 г. doi : 10.1109 / JRPROC.1948.231941
- ^ Сеймур Стейн и Дж. Джей Джонс, Современные принципы коммуникации , McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-061003-3 , 1967 (стр. 196).
- ^ a b c Герберт Гиш и Джон Н. Пирс, «Асимптотически эффективное квантование», IEEE Transactions on Information Theory , Vol. IT-14, № 5, стр. 676–683, сентябрь 1968 г. doi : 10.1109 / TIT.1968.1054193
- ^ a b c d e f g h i Роберт М. Грей и Дэвид Л. Нойхофф, «Квантование», IEEE Transactions on Information Theory , Vol. IT-44, № 6, стр. 2325–2383, октябрь 1998 г. doi : 10.1109 / 18.720541
- ^ Аллен Гершо ; Роберт М. Грей (1991). Векторное квантование и сжатие сигналов . Springer . ISBN 978-0-7923-9181-4.
- ^ Ходжсон, Джей (2010). Понимание записей , стр. 56. ISBN 978-1-4411-5607-5 . По материалам Franz, David (2004). Запись и продюсирование в домашней студии , стр.38-9. Беркли Пресс.
- ^ a b Аллен Гершо , «Квантование», журнал IEEE Communications Society Magazine , стр. 16–28, сентябрь 1977 г. doi : 10.1109 / MCOM.1977.1089500
- ^ Раббани, Маджид; Джоши, Раджан Л .; Джонс, Пол В. (2009). «Раздел 1.2.3: Квантование, в главе 1: Базовая система кодирования JPEG 2000 (Часть 1)». В Шелкенах, Питер; Скодрас, Афанасий; Эбрахими, Турадж (ред.). Пакет JPEG 2000 . Джон Вили и сыновья . стр. 22 -24. ISBN 978-0-470-72147-6.
- ^ Таубман, Дэвид С .; Марселлин, Майкл В. (2002). «Глава 3: Квантование». JPEG2000: Основы, стандарты и практика сжатия изображений . Kluwer Academic Publishers . п. 107 . ISBN 0-7923-7519-X.
- ^ a b c Гэри Дж. Салливан , «Эффективное скалярное квантование экспоненциальных и лапласовских случайных величин», IEEE Transactions on Information Theory , Vol. IT-42, № 5, стр. 1365–1374, сентябрь 1996 г. doi : 10.1109 / 18.532878
- ^ Бернард Видроу , "Исследование грубого квантования амплитуды с помощью теории дискретизации Найквиста", IRE Trans. Теория цепей , Vol. КТ-3, стр 266-276, 1956.. DOI : 10,1109 / TCT.1956.1086334
- ^ a b Бернард Видроу , " Статистический анализ систем дискретизированных данных по амплитуде ", Пер. AIEE Pt. II: Прил. Ind. , Vol. 79, стр. 555–568, январь 1961.
- ^ Даниэль Марко и Дэвид Л. Нойхофф, «Достоверность модели аддитивного шума для однородных скалярных квантователей», IEEE Transactions on Information Theory , Vol. IT-51, № 5, стр. 1739–1755, май 2005 г. doi : 10.1109 / TIT.2005.846397
- ^ Полман, Кен С. (1989). Принципы цифрового аудио 2-е издание . САМС. п. 60. ISBN 9780071441568.
- ^ Уоткинсон, Джон (2001). Искусство цифрового аудио, 3-е издание . Focal Press . ISBN 0-240-51587-0.
- ^ Нариман Фарвардин и Джеймс В. Модестино, "Оптимальная производительность квантователя для класса негауссовских источников памяти", IEEE Transactions on Information Theory , Vol. IT-30, № 3, стр. 485–497, май 1982 г. (Раздел VI.C и Приложение B). DOI : 10,1109 / TIT.1984.1056920
- ^ Тоби Бергер , «Оптимальные квантователи и коды перестановок», IEEE Transactions on Information Theory , Vol. IT-18, № 6, стр. 759–765, ноябрь 1972 г. doi : 10.1109 / TIT.1972.1054906
- ^ Тоби Бергер , «Квантователи минимальной энтропии и коды перестановок», IEEE Transactions on Information Theory , Vol. IT-28, № 2, стр. 149–157, март 1982 г. doi : 10.1109 / TIT.1982.1056456
- ^ Стюарт П. Ллойд, «Квантование методом наименьших квадратов в PCM», IEEE Transactions on Information Theory , Vol. IT-28, pp. 129–137, No. 2, March 1982 doi : 10.1109 / TIT.1982.1056489 (работа, задокументированная в рукописи, разосланной для комментариев в Bell Laboratories с датой журнала отдела 31 июля 1957 г., а также представленной на конференции 1957 г.) заседание Института математической статистики , хотя официально не опубликовано до 1982 г.).
- ^ Джоэл Макс, «Квантование для минимального искажения», IRE Transactions on Information Theory , Vol. IT-6, стр. 7–12, март 1960. doi : 10.1109 / TIT.1960.1057548
- ^ Филип А. Чоу, Том Лукабо и Роберт М. Грей , «Векторное квантование с ограничениями по энтропии», IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing , Vol. ASSP-37, № 1, январь 1989 г. doi : 10.1109 / 29.17498
- Сайуд, Халид (2005), Введение в сжатие данных, третье издание , Морган Кауфманн, ISBN 978-0-12-620862-7
- Джаянт, Никил С .; Нолл, Питер (1984), Цифровое кодирование сигналов: принципы и приложения к речи и видео , Прентис-Холл, ISBN 978-0-13-211913-9
- Грегг, В. Дэвид (1977), Аналоговая и цифровая связь , Джон Вили, ISBN 978-0-471-32661-8
- Штейн, Сеймур; Джонс, Дж. Джей (1967), современные принципы коммуникации , McGraw – Hill , ISBN 978-0-07-061003-3
дальнейшее чтение
- Бернард Видроу; Иштван Коллар (2007). Шум квантования в цифровых вычислениях, обработке сигналов и управлении . ISBN 9780521886710.
Внешние ссылки
- Связь динамического диапазона с размером слова данных при обработке цифрового звука
- Округление дисперсии ошибки - вывод мощности шума для ошибки округления
- Динамическая оценка высокоскоростных цифро- аналоговых преобразователей с высоким разрешением описывает измерения HD, IMD и NPR, а также включает определение шума квантования
- Сигнал к шуму квантования в квантованной синусоидальной