В обработке сигналов , восстановление обычно означает определение оригинального непрерывного сигнала из последовательности , равномерно распределенных выборок.
В этой статье используется обобщенный абстрактный математический подход к дискретизации и реконструкции сигналов. Для более практичного подхода, основанного на сигналах с ограниченной полосой частот, см. Формулу интерполяции Уиттекера – Шеннона .
Основной принцип
Пусть F - любой метод выборки, т. Е. Линейное отображение гильбертова пространства интегрируемых с квадратом функций.в сложное пространство.
В нашем примере векторное пространство дискретизированных сигналов является n -мерным комплексным пространством. Любое предложенное обратное R к F ( формула реконструкции на жаргоне) должно было бы отображать к некоторому подмножеству . Мы могли бы выбрать это подмножество произвольно, но если нам нужна формула восстановления R, которая также является линейным отображением, тогда мы должны выбрать n- мерное линейное подпространство.
Тот факт, что размеры должны совпадать, связан с теоремой выборки Найквиста – Шеннона .
Здесь работает элементарный подход линейной алгебры. Позволять(все записи равны нулю, кроме k- й записи, которая равна единице) или какой-либо другой основе. Для того, чтобы определить обратный для F , просто выбрать для каждого к , чтобы . Это однозначно определяет (псевдо-) обратное F .
Конечно, можно сначала выбрать некоторую формулу восстановления, а затем либо вычислить некоторый алгоритм выборки из формулы восстановления, либо проанализировать поведение данного алгоритма выборки по отношению к данной формуле.
В идеале формула восстановления получается путем минимизации ожидаемой дисперсии ошибки. Это требует, чтобы либо была известна статистика сигнала, либо была указана априорная вероятность сигнала. Тогда теория информационного поля является подходящим математическим формализмом для вывода оптимальной формулы восстановления. [1]
Популярные формулы реконструкции
Пожалуй, наиболее широко используемая формула реконструкции выглядит следующим образом. Позволять быть основой в смысле гильбертова пространства; например, можно использовать эйконал
- ,
хотя, конечно, возможны и другие варианты. Обратите внимание, что здесь индекс k может быть любым целым числом, даже отрицательным.
Тогда мы можем определить линейное отображение R следующим образом:
для каждого , где это основа дано
(Это обычный дискретный базис Фурье.)
Выбор ассортимента является несколько произвольным, хотя он удовлетворяет требованию размерности и отражает обычное представление о том, что наиболее важная информация содержится в низких частотах. В некоторых случаях это неверно, поэтому необходимо выбрать другую формулу восстановления.
Аналогичный подход может быть получен при использовании вейвлетов вместо базисов Гильберта. Для многих приложений на сегодняшний день все еще не ясен лучший подход. [ оригинальное исследование? ]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ «Теория информационного поля» . Общество Макса Планка . Проверено 13 ноября 2014 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )