Квантовое пространство-время

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны )

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Октябрь 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Эта статья может потребовать очистки, чтобы соответствовать стандартам качества Википедии . Конкретная проблема заключается в том, что источник каждого абзаца представляет собой беспорядок из ломаных строк. Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, если можете. ( Март 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математической физике понятие квантового пространства-времени является обобщением обычного понятия пространства-времени, в котором предполагается, что некоторые переменные, которые обычно коммутируют , не коммутируют и образуют другую алгебру Ли . Выбор этой алгебры все еще варьируется от теории к теории. В результате этого изменения некоторые переменные, которые обычно являются непрерывными, могут стать дискретными. Часто только такие дискретные переменные называют «квантованными»; использование варьируется.

Идея квантового пространства-времени была предложена на заре квантовой теории Гейзенбергом и Иваненко как способ исключить бесконечности из квантовой теории поля. Зародыш идеи перешел от Гейзенберга к Рудольфу Пайерлсу , который заметил, что электроны в магнитном поле можно рассматривать как движущиеся в квантовом пространстве-времени, и Роберту Оппенгеймеру , который передал ее Хартланду Снайдеру , опубликовавшему первый конкретный пример. . ^[1] Алгебра Ли Снайдера была упрощена Ч. Н. Янгом в том же году.

Обзор [ править ]

Физическое пространство-время - это квантовое пространство-время, когда в квантовой механике переменные положения и импульса уже некоммутативны , подчиняются принципу неопределенности Гейзенберга и непрерывны. Из-за соотношений неопределенностей Гейзенберга для исследования меньших расстояний требуется больше энергии. В конечном итоге, согласно теории гравитации, зондирующие частицы образуют черные дыры , разрушающие то, что должно было быть измерено. Процесс не может быть повторен, поэтому его нельзя считать измерением. Эта ограниченная измеримость заставила многих ожидать, что наша обычная картина непрерывного коммутативного пространства-времени разрушится на расстояниях планковского масштаба , если не раньше. ${\ displaystyle x, p}$

Опять же ожидается, что физическое пространство-время будет квантовым, потому что физические координаты уже немного некоммутативны. Астрономические координаты звезды изменяются гравитационными полями между нами и звездой, как при отклонении света солнцем, что является одним из классических тестов общей теории относительности . Следовательно, координаты фактически зависят от переменных гравитационного поля. Согласно квантовым теориям гравитации эти переменные поля не коммутируют; поэтому координаты, которые зависят от них, скорее всего, не меняются.

Оба аргумента основаны на чистой гравитации и квантовой теории, и они ограничивают измерение времени единственной постоянной времени в чистой квантовой гравитации - временем Планка . Наши инструменты, однако, не являются чисто гравитационными, а состоят из частиц. Они могут установить более строгий, больший предел, чем время Планка.

Критерии [ править ]

Квантовое пространство-время часто описывается математически с использованием некоммутативной геометрии Конна, квантовой геометрии или квантовых групп .

Любую некоммутативную алгебру с как минимум четырьмя генераторами можно интерпретировать как квантовое пространство-время, но были предложены следующие рекомендации:

Локальная группа Лоренца и группа Пуанкаре симметрия должны быть сохранены, возможно , в обобщенной форме. Их обобщение часто принимает форму квантовой группы, действующей на квантовую алгебру пространства-времени.
Алгебра могла бы возникнуть при эффективном описании эффектов квантовой гравитации в каком-то режиме этой теории. Например, физический параметр , возможно, длина Планка , может управлять отклонением от коммутативного классического пространства-времени, так что обычное лоренцево пространство-время возникает как . ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ lambda \ to 0}$
Может существовать понятие квантового дифференциального исчисления на квантовой алгебре пространства-времени, совместимое с (квантовой) симметрией и предпочтительно сводящееся к обычному дифференциальному исчислению как . ${\ displaystyle \ lambda \ to 0}$

Это позволило бы получить волновые уравнения для частиц и полей и облегчить предсказания экспериментальных отклонений от классической физики пространства-времени, которые затем можно было бы проверить экспериментально.

Алгебра Ли должна быть полупростой . ^[2] Это упрощает формулировку конечной теории.

Модели [ править ]

В 1990-е годы было найдено несколько моделей, более или менее удовлетворяющих большинству вышеуказанных критериев.

Бикроспродукт модель пространства-времени [ править ]

Пространство-время модели бикроспроизведения было введено Шаном Маджидом и Анри Рюггом ^[3] и имеет соотношения алгебры Ли

{\ displaystyle [x_ {i}, x_ {j}] = 0, \ quad [x_ {i}, t] = i \ lambda x_ {i}}

для пространственных переменных и временной переменной . Здесь есть измерения времени, и поэтому ожидается, что это будет что-то вроде времени Планка. Группа Пуанкаре здесь соответственно деформируется до некоторой квантовой группы биикроспроизведения со следующими характерными чертами. ${\ displaystyle x_ {i}}$ ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle \ lambda}$

Орбиты действия группы Лоренца на импульсном пространстве при построении модели бикроспроизведения в единицах . Гиперболоиды с массовой оболочкой «сплющиваются» в цилиндр.

{\ displaystyle \ lambda ^ {- 1}}

Генераторы импульса коммутируют между собой, но сложение импульсов, отраженное в структуре квантовой группы, деформируется (импульсное пространство становится неабелевой группой ). Между тем, генераторы группы Лоренца пользуются своими обычными отношениями между собой, но действуют в импульсном пространстве нелинейно. Орбиты для этого действия изображены на рисунке в виде сечения одного из . Область на оболочке, описывающая частицы в верхнем центре изображения, обычно была бы гиперболоидами, но теперь они `` сплющены '' в цилиндр. ${\ displaystyle p_ {i}}$ $p_{0}$ $p_{i}$

{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}}}<\lambda ^{-1}\,

в упрощенных единицах. В результате, усиление импульса по Лоренцу никогда не превысит планковский импульс. Существование шкалы наибольшего импульса или шкалы наименьшего расстояния соответствует физической картине. Это сжатие происходит из-за нелинейности буста Лоренца и является эндемической особенностью квантовых групп бикроспродуктов, известной с момента их введения в 1988 году. ^[4] Некоторые физики называют модель бикроспродукта двойной специальной теорией относительности , поскольку она устанавливает верхний предел для обеих скоростей. и импульс.

Еще одно последствие раздавливания заключается в том, что распространение частиц искажается даже при движении света, что приводит к изменению скорости света . Это предсказание требует, чтобы конкретными были физическая энергия и пространственный импульс (в отличие от некоторых других функций от них). Аргументы в пользу этого отождествления были предоставлены в 1999 г. Джованни Амелино-Камелиа и Маджид ^[5] в ходе исследования плоских волн для квантового дифференциального исчисления в модели. Они принимают форму $p_{0},p_{i}$

e^{i\sum _{i}p_{i}x_{i}}e^{ip_{0}t}\,

другими словами, форма, достаточно близкая к классической, чтобы можно было правдоподобно поверить в интерпретацию. На данный момент такой волновой анализ представляет собой лучшую надежду на получение физически проверяемых предсказаний модели.

До этой работы был ряд неподтвержденных утверждений о том, что предсказания на основе модели основаны исключительно на форме квантовой группы Пуанкаре. Были также утверждения, основанные на более ранней квантовой группе Пуанкаре, представленной Юреком Лукиерски и его сотрудниками ^[6], которую следует рассматривать как важный предшественник бикроспродуктовой группы, хотя и без реального квантового пространства-времени и с другими предлагаемыми генераторами, для которых изображение выше не применяется. Пространство-время модели бикроспродукта также называют -деформированным пространством-временем с . $\kappa$ $\kappa$ $\kappa =\lambda ^{-1}$

q- Деформированное пространство-время [ править ]

Эта модель была независимо представлена группой ^[7], работавшей под руководством Джулиуса Весса в 1990 году, а также Шаном Маджидом и его коллегами в серии статей по плетеным матрицам, начатой годом позже. ^[8] Точка зрения во втором подходе состоит в том, что обычное пространство-время Минковского имеет хорошее описание с помощью матриц Паули как пространство эрмитовых матриц 2 x 2. В квантовой теории групп и использовании методов скрученных моноидальных категорий существует естественная q-версия этого, определенная здесь для реальных значений как `` скрученная эрмитова матрица '' образующих и соотношений $q$

{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}^{\dagger },\quad \beta \alpha =q^{2}\alpha \beta ,\ [\alpha ,\delta ]=0,\ [\beta ,\gamma ]=(1-q^{-2})\alpha (\delta -\alpha ),\ [\delta ,\beta ]=(1-q^{-2})\alpha \beta

Эти соотношения говорят, что генераторы коммутируют, восстанавливая тем самым обычное пространство Минковского. Можно работать с более знакомыми переменными как с их линейными комбинациями. В частности, время $q\to 1$ $x,y,z,t$

t={\text{Trace}}_{q}{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}=q\delta +q^{-1}\alpha

дается естественным плетеным следом матрицы и коммутирует с другими генераторами (так что эта модель сильно отличается от модели бикроспродукта). Изображение плетеной матрицы также естественным образом приводит к количеству

{\det }_{q}{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}=\alpha \delta -q^{2}\gamma \beta

который возвращает нам обычное расстояние Минковского (это переводится в метрику в квантовой дифференциальной геометрии). Параметр or безразмерен и считается соотношением планковского масштаба и космологической длины. То есть есть указания на то, что эта модель относится к квантовой гравитации с ненулевой космологической постоянной , выбор зависит от того, положительная она или отрицательная. Мы описали здесь математически лучше понятый, но, возможно, менее физически оправданный положительный случай. $q\to 1$ $q=e^{\lambda }$ $q=e^{i\lambda }$ $\lambda$ $q$

Полное понимание этой модели требует (и одновременно с разработкой) полной теории «сплетенной линейной алгебры» для таких пространств. Импульсное пространство для теории - это еще одна копия той же алгебры, и на нем есть некая «плетеная добавка» импульса, выраженная в виде структуры плетеной алгебры Хопфа или квантовой группы в определенной плетеной моноидальной категории). Эта теория к 1993 г. предоставила соответствующую -деформированную группу Пуанкаре, порожденную такими переводами и -преобразованиями Лоренца, завершив интерпретацию как квантовое пространство-время. ^[9] $q$ $q$

В процессе было обнаружено, что группу Пуанкаре нужно не только деформировать, но и расширить, включив в нее расширения квантового пространства-времени. Чтобы такая теория была точной, нам нужно, чтобы все частицы в теории были безмассовыми, что согласуется с экспериментом, поскольку массы элементарных частиц действительно исчезающе малы по сравнению с массой Планка . Если современные взгляды в космологии верны, то эта модель более подходящая, но она значительно сложнее, и по этой причине ее физические предсказания еще предстоит выработать. ^{[ как? ]}

Нечеткая или спиновая модель пространства-времени [ править ]

В современном использовании это относится к алгебре углового момента.

[x_{1},x_{2}]=2i\lambda x_{3},\ [x_{2},x_{3}]=2i\lambda x_{1},\ [x_{3},x_{1}]=2i\lambda x_{2}

знакомы из квантовой механики, но интерпретируются в этом контексте как координаты квантового пространства или пространства-времени. Эти соотношения были предложены Роджером Пенроузом в его самой ранней теории пространства спиновых сетей . Это игрушечная модель квантовой гравитации в трех измерениях пространства-времени (не в четырех физических измерениях) с евклидовой (а не физической подпись Минковского). Это было снова предложено ^[10] в этом контексте Герардусом т Хоофтом . Дальнейшее развитие, включающее квантовое дифференциальное исчисление и действие некоторой квантовой группы «квантового двойника» как деформированной евклидовой группы движений, было дано Маджидом и Э. Батистой ^[11]

Поразительной особенностью некоммутативной геометрии здесь является то, что наименьшее ковариантное квантово-дифференциальное исчисление имеет на одно измерение больше, чем ожидалось, а именно на 4, что позволяет предположить, что вышеуказанное также можно рассматривать как пространственную часть 4-мерного квантового пространства-времени. Модель не следует путать с нечеткими сферами, которые представляют собой конечномерные матричные алгебры, которые можно представить себе как сферы в пространстве-времени модели вращения фиксированного радиуса.

Пространственно-временная модель Гейзенберга [ править ]

Квантовое пространство-время Хартланда Снайдера предполагает, что

[x_{\mu },x_{\nu }]=iM_{\mu \nu }

где порождают группу Лоренца. Это квантовое пространство-время и пространство Ч. Н. Янга влекут за собой радикальное объединение пространства-времени, энергии-импульса и углового момента. $M_{\mu \nu }$

Эта идея была возрождена в современном контексте Серджио Доплихером , Клаусом Фреденхагеном и Джоном Робертсом в 1995 году ^[12] , позволив просто рассматривать их как некоторую функцию, как определено вышеупомянутым отношением, а любые связанные с ним отношения рассматривать как отношения высшего порядка между . Симметрия Лоренца устроена так, чтобы индексы преобразовывались обычным образом и без деформации. $M_{\mu \nu }$ $x_{\mu }$ $x_{\mu }$

Еще более простой вариант этой модели состоит в том, чтобы позволить здесь быть числовым антисимметричным тензором, в каком контексте он обычно обозначается , так что отношения . В четных измерениях любая такая невырожденная тэта может быть преобразована в нормальную форму, в которой это действительно просто алгебра Гейзенберга, но с той разницей, что переменные предлагаются как переменные пространства-времени. Это предложение было какое-то время довольно популярно из-за его знакомой формы отношений и потому, что утверждалось ^[13], что оно вытекает из теории открытых струн, приземляющихся на D-браны, см. Некоммутативную квантовую теорию поля и плоскость Мойала. $M$ $\theta$ $[x_{\mu },x_{\nu }]=i\theta _{\mu \nu }$ $D$ . Однако следует понимать, что эта D-брана живет в некоторых из высших пространственно-временных измерений в теории и, следовательно, не наше физическое пространство-время, которое теория струн предлагает таким образом быть эффективно квантовым. Вы также должны подписаться на D-браны как на подход к квантовой гравитации. Даже если представить себе квантовое пространство-время, трудно получить физические предсказания, и одна из причин этого состоит в том, что если это тензор, то при размерном анализе он должен иметь размерность длины , и если эта длина предположительно равна планковской длине, то эффекты будут быть даже труднее обнаружить, чем для других моделей. $\theta$ ${}^{2}$

Некоммутативные расширения пространства-времени [ править ]

Хотя это и не является квантовым пространством-временем в указанном выше смысле, другое использование некоммутативной геометрии состоит в том, чтобы использовать «некоммутативные дополнительные измерения» в каждой точке обычного пространства-времени. Вместо невидимых, свернутых клубком дополнительных измерений, как в теории струн, Ален Конн и его коллеги утверждали, что координатную алгебру этой дополнительной части следует заменить конечномерной некоммутативной алгеброй. При определенном разумном выборе этой алгебры, ее представления и расширенного оператора Дирака можно восстановить Стандартную модель элементарных частиц. С этой точки зрения различные виды частиц материи являются проявлениями геометрии в этих дополнительных некоммутативных направлениях. Первые работы Конна датируются 1989 годом ^[14].но с тех пор был значительно развит. Такой подход теоретически может быть объединен с квантовым пространством-временем, как указано выше.

См. Также [ править ]

Квантовая группа
Квантовая геометрия
Некоммутативная геометрия
Квантовая гравитация
Анабелева топология

Ссылки [ править ]

^ Снайдер, Х. (1947), «Квантованное пространство-время», Physical Review , 67 (1): 38–41, Bibcode : 1947PhRv ... 71 ... 38S , doi : 10.1103 / PhysRev.71.38
^ Ян, IE Сегал 1947
^ Маджид, S .; Ruegg, H. (1994), "Структура бикроспроизведения группы -Пуанкаре и некоммутативная геометрия", Physics Letters B , 334 (3–4): 348–354, arXiv : hep-th / 9405107 , Bibcode : 1994PhLB..334 ..348M , DOI : 10,1016 / 0370-2693 (94) 90699-8 $\kappa$
^ Маджид, Шан (1988), "Алгебры Хопфа для физики в масштабе Планка", Классическая и квантовая гравитация , 5 (12): 1587–1607, Bibcode : 1988CQGra ... 5.1587M , CiteSeerX 10.1.1.125.6178 , doi : 10.1088 / 0264-9381 / 5/12/010
^ Амелино-Камелия, G .; Маджид, С. (2000), "Волны в некоммутативном пространстве-времени и гамма-всплески", Международный журнал современной физики A , 15 (27): 4301–4323, arXiv : hep-th / 9907110 , Bibcode : 2000IJMPA..15.4301 , DOI : 10,1142 / s0217751x00002779
^ Lukierski, J; Новицки, А; Ruegg, H; Толстой, В. Н. (1991), " -деформируется Пуанкаре алгебр", Physics Letters B , 264 (3-4): 331-338, Bibcode : 1991PhLB..264..331L , DOI : 10.1016 / 0370-2693 (91) 90358-w $q$
^ Carow-Watamura, U .; Schlieker, M .; Scholl, M .; Watamura, С. (1990), "Тензор представление квантовой группы и пространства квантовой Минковского", Zeitschrift für Physik C , 48 (1): 159, DOI : 10.1007 / BF01565619 $SL_{q}(2,\mathbb {C} )$
^ Маджид, С. (1991), "Примеры плетеных групп и плетеный матриц", Журнал математической физики , 32 (12): 3246-3253, Bibcode : 1991JMP .... 32.3246M , DOI : 10,1063 / 1,529485
^ Маджид, С. (1993), «Плетеный импульс в группе q-Пуанкаре», Журнал математической физики , 34 (5): 2045–2058, arXiv : hep-th / 9210141 , Bibcode : 1993JMP .... 34.2045 M , DOI : 10,1063 / 1,530154
^ 'т Хоофт, Г. (1996), "Квантование точечных частиц в (2 + 1) -мерной гравитации и дискретность пространства-времени", Classical and Quantum Gravity , 13 (5): 1023–1039, arXiv : gr-qc / 9601014 , Bibcode : 1996CQGra..13.1023T , DOI : 10,1088 / 0264-9381 / 13/5/018
^ Batista, E .; Маджид, С. (2003), "Некоммутативная геометрия пространства углового момента U (su_2)", Журнал математической физики , 44 (1): 107–137, arXiv : hep-th / 0205128 , Bibcode : 2003JMP .... 44..107B , DOI : 10,1063 / 1,1517395
^ Doplicher, S .; Fredenhagen, K .; Робертс, Дж. Э. (1995), "Квантовая структура пространства-времени в масштабе Планка и квантовые поля", Сообщения по математической физике , 172 (1): 187–220, arXiv : hep-th / 0303037 , Bibcode : 1995CMaPh.172. .187D , DOI : 10.1007 / BF02104515
^ Seiberg, N .; Виттен, Э. (1999), "Теория струн и некоммутативная геометрия", Журнал физики высоких энергий , 1999 (9): 9909, 032, arXiv : hep-th / 9908142 , Bibcode : 1999JHEP ... 09..032S , DOI : 10,1088 / 1126-6708 / 1999/09/ 032
^ Конн, А .; Лотт, Дж. (1989), "Модели частиц и некоммутативная геометрия" (PDF) , Nuclear Physics B: Proceedings Supplements , 18 (2): 29, Bibcode : 1991NuPhS..18 ... 29C , doi : 10.1016 / 0920- 5632 (91) 90120-4

Дальнейшее чтение [ править ]

Маджид, С. (1995), Основы квантовой теории групп , Cambridge University Press
Д. Орити, изд. (2009), Подходы к квантовой гравитации , Cambridge University Press
Конн, А .; Марколли М. (2007), Некоммутативная геометрия, Квантовые поля и мотивы , Публикации коллоквиума
Majid, S .; Schroers, BJ (2009), « -Деформация и полуодуализация в трехмерной квантовой гравитации», Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical , 42 (42): 425402 (40pp), Bibcode : 2009JPhA ... 42P5402M , doi : 10.1088 / 1751 -8113/42/42/425402 $q$
Р.П. Гримальди, Дискретная и комбинаторная математика: прикладное введение, 4-е изд. Аддисон-Уэсли 1999.
Дж. Матушек, Дж. Несетрил, Приглашение к дискретной математике. Издательство Оксфордского университета 1998.
Тейлор Э. Ф., Джон А. Уиллер, Физика пространства-времени, издательство WH Freeman, 1963.
Хошбин-э-Хошназар, MR (2013). «Связующая энергия очень ранней Вселенной: отказ от Эйнштейна ради дискретного набора с тремя торами. Предложение о происхождении темной энергии». Гравитация и космология . 19 (2): 106–113. Bibcode : 2013GrCo ... 19..106K . DOI : 10.1134 / s0202289313020059 .

Внешние ссылки [ править ]

Статья Марианны Фрейбергер о квантовой геометрии в журнале Plus Magazine
С. Маджид, изд. (2008), о пространстве и времени , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-64168-6

[1] Снайдер, Х. (1947), «Квантованное пространство-время», Physical Review , 67 (1): 38–41, Bibcode : 1947PhRv ... 71 ... 38S , doi : 10.1103 / PhysRev.71.38

[2] Ян, IE Сегал 1947

[3] Маджид, S .; Ruegg, H. (1994), "Структура бикроспроизведения группы -Пуанкаре и некоммутативная геометрия", Physics Letters B , 334 (3–4): 348–354, arXiv : hep-th / 9405107 , Bibcode : 1994PhLB..334 ..348M , DOI : 10,1016 / 0370-2693 (94) 90699-8 $\kappa$

[4] Маджид, Шан (1988), "Алгебры Хопфа для физики в масштабе Планка", Классическая и квантовая гравитация , 5 (12): 1587–1607, Bibcode : 1988CQGra ... 5.1587M , CiteSeerX 10.1.1.125.6178 , doi : 10.1088 / 0264-9381 / 5/12/010

[5] Амелино-Камелия, G .; Маджид, С. (2000), "Волны в некоммутативном пространстве-времени и гамма-всплески", Международный журнал современной физики A , 15 (27): 4301–4323, arXiv : hep-th / 9907110 , Bibcode : 2000IJMPA..15.4301 , DOI : 10,1142 / s0217751x00002779

[6] Lukierski, J; Новицки, А; Ruegg, H; Толстой, В. Н. (1991), " -деформируется Пуанкаре алгебр", Physics Letters B , 264 (3-4): 331-338, Bibcode : 1991PhLB..264..331L , DOI : 10.1016 / 0370-2693 (91) 90358-w $q$

[7] Carow-Watamura, U .; Schlieker, M .; Scholl, M .; Watamura, С. (1990), "Тензор представление квантовой группы и пространства квантовой Минковского", Zeitschrift für Physik C , 48 (1): 159, DOI : 10.1007 / BF01565619 $SL_{q}(2,\mathbb {C} )$

[8] Маджид, С. (1991), "Примеры плетеных групп и плетеный матриц", Журнал математической физики , 32 (12): 3246-3253, Bibcode : 1991JMP .... 32.3246M , DOI : 10,1063 / 1,529485

[9] Маджид, С. (1993), «Плетеный импульс в группе q-Пуанкаре», Журнал математической физики , 34 (5): 2045–2058, arXiv : hep-th / 9210141 , Bibcode : 1993JMP .... 34.2045 M , DOI : 10,1063 / 1,530154

[10] 'т Хоофт, Г. (1996), "Квантование точечных частиц в (2 + 1) -мерной гравитации и дискретность пространства-времени", Classical and Quantum Gravity , 13 (5): 1023–1039, arXiv : gr-qc / 9601014 , Bibcode : 1996CQGra..13.1023T , DOI : 10,1088 / 0264-9381 / 13/5/018

[11] Batista, E .; Маджид, С. (2003), "Некоммутативная геометрия пространства углового момента U (su_2)", Журнал математической физики , 44 (1): 107–137, arXiv : hep-th / 0205128 , Bibcode : 2003JMP .... 44..107B , DOI : 10,1063 / 1,1517395

[12] Doplicher, S .; Fredenhagen, K .; Робертс, Дж. Э. (1995), "Квантовая структура пространства-времени в масштабе Планка и квантовые поля", Сообщения по математической физике , 172 (1): 187–220, arXiv : hep-th / 0303037 , Bibcode : 1995CMaPh.172. .187D , DOI : 10.1007 / BF02104515

[13] Seiberg, N .; Виттен, Э. (1999), "Теория струн и некоммутативная геометрия", Журнал физики высоких энергий , 1999 (9): 9909, 032, arXiv : hep-th / 9908142 , Bibcode : 1999JHEP ... 09..032S , DOI : 10,1088 / 1126-6708 / 1999/09/ 032

[14] Конн, А .; Лотт, Дж. (1989), "Модели частиц и некоммутативная геометрия" (PDF) , Nuclear Physics B: Proceedings Supplements , 18 (2): 29, Bibcode : 1991NuPhS..18 ... 29C , doi : 10.1016 / 0920- 5632 (91) 90120-4

[1]