Квантовый т-дизайн

Квантовая т-дизайн является распределением вероятностей над либо чистыми квантовыми состояниями или унитарными операторами , которые могут дублировать свойство распределения вероятности по мере Хаара для многочленов степени т или менее. В частности, среднее значение любой полиномиальной функции степени t по плану точно такое же, как среднее по мере Хаара. Здесь мера Хаара - это равномерное распределение вероятностей по всем квантовым состояниям или по всем унитарным операторам. Квантовые t-планы называются так, потому что они аналогичны t-планам в классической статистике, которые исторически возникли в связи с проблемой планирования экспериментов.. Два особенно важных типа t-планов в квантовой механике - это проективные и унитарные t-планы. ^[1]

Сферическая конструкция представляет собой набор точек на единичной сфере , для которых многочлены ограниченной степени могут быть усреднены , чтобы получить ту же самую величину , что интегрирование по поверхности меры на сфере дает. Сферический и проективный t-дизайн получили свои названия из работ Дельсарта, Гетальса и Зайделя в конце 1970-х годов, но эти объекты ранее играли роль в нескольких разделах математики, включая численное интегрирование и теорию чисел. Конкретные примеры этих объектов нашли применение в квантовой теории информации , ^[2] квантовой криптографии и других смежных областях.

Унитарные t-планы аналогичны сферическим планам в том, что они воспроизводят всю унитарную группу через конечный набор унитарных матриц . ^[1] Теория унитарных 2-схем была разработана в 2006 году ^[1] специально для создания практических средств эффективного и масштабируемого рандомизированного тестирования ^[3] для оценки ошибок в операциях квантовых вычислений, называемых вентилями. С тех пор унитарные t-планы оказались полезными в других областях квантовых вычислений и в более широком смысле в квантовой теории информации и были применены к таким далеко идущим проблемам, как информационный парадокс черной дыры. ^[4] Унитарные t-планы особенно важны для задач рандомизации в квантовых вычислениях, поскольку идеальные операции обычно представлены унитарными операторами.

Мотивация [ править ]

В d-мерном гильбертовом пространстве при усреднении по всем квантовым чистым состояниям естественной группой является SU (d), специальная унитарная группа размерности d. Мера Хаара по определению является уникальной инвариантной для группы мерой, поэтому она используется для усреднения свойств, которые не являются унитарно-инвариантными по всем состояниям или по всем унитарным параметрам.

Особенно широко используемым примером этого является система вращения . Для этой системы соответствующая группа - это SU (2), которая является группой всех унитарных операторов 2x2. Поскольку каждый унитарный оператор 2x2 является вращением сферы Блоха , мера Хаара для частиц со спином 1/2 инвариантна относительно всех вращений сферы Блоха. Это означает , что мера Хаара вращательно инвариантной мерой на сфере Блоха, который можно рассматривать как постоянное распределение плотности по поверхности сферы.${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$

Важным классом сложных проективных t- планов являются симметричные информационно полные положительные операторнозначные меры POVM , которые представляют собой сложный проективный 2-дизайн. Поскольку такие 2-схемы должны иметь по крайней мере элементы, SIC-POVM представляет собой комплексные проективные 2-схемы минимального размера.${\ displaystyle d ^ {2}}$

Сферические Т-образные конструкции [ править ]

Сложные проективные t-планы изучались в квантовой теории информации как квантовые t-планы. Они тесно связаны со сферическими 2t-схемами векторов в единичной сфере, в которые при естественном встраивании возникают сложные проективные t-планы.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {d}}$

Формально, мы определяем распределение вероятностей по квантовым состояниям как ^[5] комплексный проективный t-план, если${\ displaystyle (p_ {i}, | \ phi _ {i} \ rangle)}$

${\ displaystyle \ sum _ {i} p_ {i} (| \ phi _ {i} \ rangle \ langle \ phi _ {i} |) ^ {\ otimes t} = \ int _ {\ psi} (| \ psi \ rangle \ langle \ psi |) ^ {\ otimes t} d \ psi}$

Здесь интеграл по состояниям берется по мере Хаара на единичной сфере в ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {d}}$

Точные t-планы по квантовым состояниям нельзя отличить от равномерного распределения вероятностей по всем состояниям при использовании t копий состояния из распределения вероятностей. Однако на практике даже t-планы могут быть трудными для вычисления. По этой причине полезны приблизительные t-планы.

Приближенные t-планы наиболее полезны из-за их способности эффективно реализовывать. т.е. можно сгенерировать квантовое состояние, распределенное согласно распределению вероятностей во времени. Эта эффективная конструкция также подразумевает, что POVM операторов может быть реализован вовремя.${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle p_{i}|\phi _{i}\rangle }$${\displaystyle O(\log ^{c}d)}$${\displaystyle Np_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}$${\displaystyle O(\log ^{c}d)}$

Техническое определение приблизительного Т-образного дизайна:

Если ${\displaystyle \sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|=\int _{\psi }|\psi \rangle \langle \psi |d\psi }$

и ${\displaystyle (1-\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi \leq \sum _{i}p_{i}(|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}\leq (1+\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi }$

тогда - приблизительный t-дизайн.${\displaystyle (p_{i},|\phi _{i}\rangle )}$${\displaystyle \epsilon }$

Возможно, хотя и неэффективно, найти приближенный t-план, состоящий из квантовых чистых состояний при фиксированном t.${\displaystyle \epsilon }$

Строительство [ править ]

Для удобства предполагается, что d является степенью двойки.

Используя тот факт, что для любого d существует набор функций {0, ..., d-1} {0, ..., d-1} такой, что для любых различных {0, ..., d-1 } изображение под f, где f выбирается случайным образом из S, является в точности равномерным распределением по кортежам из N элементов {0, ..., d-1}.${\displaystyle N^{d}}$${\displaystyle \rightarrow }$${\displaystyle k_{1},...,k_{N}\in }$

Позвольте быть взяты из меры Хаара. Позвольте быть вероятностным распределением и пусть . Наконец, позвольте быть извлеченным из P. Если мы определим с вероятностью и с вероятностью, то: для нечетных j и для четных j.${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i=1}^{d}\alpha _{i}|i\rangle }$${\displaystyle P_{d}}$${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle P=\lim _{d\rightarrow \infty }{\sqrt {d}}P_{d}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle X=|\alpha |}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle X=-|\alpha |}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle E[X^{j}]=0}$${\displaystyle E[X^{j}]=({\tfrac {j}{2}})!}$

Используя это и Gaussian квадратуре можно построить так , что является приближенным т-дизайн.${\displaystyle p_{f,g}={\frac {\sum _{i=1}^{d}a_{f,i}^{2}}{|S_{1}||S_{2}|}}}$${\displaystyle p_{f,g}|\psi _{f,g}\rangle }$

Унитарные t-конструкции [ править ]

Унитарные t-планы аналогичны сферическим планам в том, что они воспроизводят всю унитарную группу через конечный набор унитарных матриц . ^[1] Теория унитарных 2-схем была разработана в 2006 году ^[1] специально для создания практических средств эффективного и масштабируемого рандомизированного тестирования ^[3] для оценки ошибок в операциях квантовых вычислений, называемых вентилями. С тех пор унитарные t-планы оказались полезными в других областях квантовых вычислений и, в более широком смысле, в квантовой теории информации и в таких далеко идущих областях, как физика черных дыр. ^[4] Унитарные t-планы особенно важны для задач рандомизации в квантовых вычислениях, поскольку идеальные операции обычно представлены унитарными операторами.

Элементами унитарного t-плана являются элементы унитарной группы U (d), группы унитарных матриц. T-дизайн унитарных операторов будет генерировать t-дизайн состояний.${\displaystyle d\times d}$

Предположим , это унитарный t-план (т.е. набор унитарных операторов). Тогда для любого чистого состояния пусть . Тогда всегда будет т-дизайн для состояний.${\displaystyle {U_{k}}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi _{k}\rangle =U_{k}|\psi \rangle }$${\displaystyle {|\psi _{k}\rangle }}$

Формально определить ^[6] унитарный т-дизайн , Х, если

${\displaystyle {\frac {1}{|X|}}\sum _{U\in X}U^{\otimes t}\otimes (U^{*})^{\otimes t}=\int _{U(d)}U^{\otimes t}\otimes (U^{*})^{\otimes t}dU}$

Обратите внимание, что пространство, линейно натянутое на матрицы по всем вариантам U, идентично ограничению, и это наблюдение приводит к выводу о двойственности между унитарными планами и унитарными кодами.${\displaystyle U^{\otimes r}\otimes (U^{*})^{\otimes s}dU}$${\displaystyle U\in X}$${\displaystyle r+s=t}$

Используя карты перестановок, можно ^[5] напрямую проверить, что набор унитарных матриц образует t-план. ^[7]

Одним из прямых результатов этого является то, что для любого конечного ${\displaystyle X\subseteq U(d)}$

${\displaystyle {\frac {1}{|X|^{2}}}\sum _{U,V\in X}|tr(U*V)|^{2t}\geq \int _{U(d)}|tr(U*V)|^{2t}dU}$

С равенством тогда и только тогда, когда X - t-план.

1 и 2-планы были исследованы довольно подробно, и были получены абсолютные границы для размерности X, | X |. ^[8]

Границы для унитарных планов [ править ]

Определим как набор функций, однородных степени t in и однородных степени t in , то если для каждого :${\displaystyle Hom(U(d),t,t)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U^{*}}$${\displaystyle f\in Hom(U(d),t,t)}$

${\displaystyle {\frac {1}{|X|}}\sum _{U\in X}f(U)=\int _{U(d)}f(U)dU}$

тогда X - унитарный t-план.

Кроме того , мы определим скалярное произведение для функций и на качестве среднего значения , как:${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle U(d)}$${\displaystyle {\bar {f}}g}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{U(d)}{\bar {f(U)}}g(U)dX}$

и как среднее значение по любому конечному подмножеству .${\displaystyle \langle f,g\rangle _{X}}$${\displaystyle {\bar {f}}g}$${\displaystyle X\subset U(d)}$

отсюда следует, что X - унитарный t-план тогда и только тогда, когда .${\displaystyle \langle 1,f\rangle _{X}=\langle 1,f\rangle \quad \forall f}$

Из вышеизложенного видно, что если X является t-схемой, то это абсолютная граница для конструкции. Это накладывает верхнюю границу на размер унитарного проекта. Эта граница является абсолютной, что означает, что она зависит только от силы конструкции или степени кода, а не от расстояний в подмножестве X.${\displaystyle |X|\geq dim(Hom(U(d),\left\lceil {\tfrac {t}{2}}\right\rceil ,\left\lfloor {\tfrac {t}{2}}\right\rfloor ))}$

Унитарный код - это конечное подмножество унитарной группы, в которой между элементами встречается несколько значений внутреннего продукта. В частности, унитарный код определяется как конечное подмножество, если для всех в X принимает только различные значения.${\displaystyle X\subset U(d)}$${\displaystyle U\neq M}$${\displaystyle |tr(U^{*}M)|^{2}}$

Отсюда следует, что и если U и M ортогональны:${\displaystyle |X|\leq dim(Hom(U(d),s,s))}$${\displaystyle |X|\leq dim(Hom(U(d),s,s-1))}$

Заметки [ править ]