В математике , А радиальная функция является функцией , определенная на евклидовом пространстве R п , значение которого в каждой точке зависит только от расстояния между этой точкой и началом координат. Например, радиальная функция Φ в двух измерениях имеет вид
где φ - функция одной неотрицательной действительной переменной. Радиальные функции противопоставляются сферическим функциям , и любую подходящую функцию (например, непрерывную и быстро убывающую ) в евклидовом пространстве можно разложить на серию, состоящую из радиальной и сферической частей: сплошное сферическое гармоническое разложение.
Функция является радиальной тогда и только тогда, когда она инвариантна относительно всех вращений, оставляя начало координат фиксированным. То есть, ƒ радиальная , если и только если
для всех ρ ∈ SO ( n ) - специальная ортогональная группа в n измерениях. Эта характеристика радиальных функций позволяет также определять радиальные распределения . Это распределения S на R n такие, что
для каждой пробной функции φ и поворота ρ.
При любом (локально интегрируемой) функции ƒ , ее радиальная часть дается усреднением сфер с центром в начале координат. А именно,
где ω n −1 - площадь поверхности ( n −1) -сферы S n −1 , а r = | х | , x ′ = x / r . По существу из теоремы Фубини следует, что локально интегрируемая функция имеет точно определенную радиальную часть почти в каждом r .
Преобразование Фурье радиальной функции также является радиальным, поэтому радиальные функции играют жизненно важную роль в анализе Фурье . Кроме того, преобразование Фурье радиальной функции обычно имеет более сильное поведение затухания на бесконечности, чем нерадиальные функции: для радиальных функций, ограниченных в окрестности начала координат, преобразование Фурье затухает быстрее, чем R - ( n −1) / 2 . Эти функции Бесселя представляют собой особый класс радиальной функции , которые естественно возникают в фурье - анализе в качестве радиальных собственных функций в лапласиане ; как таковые они естественно появляются как радиальная часть преобразования Фурье.
Смотрите также
Рекомендации
- Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье евклидовых пространств , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).