Неустойчивости Рэлея-Тейлор , или нестабильность RT (после Рэлея и GI Taylor ), является неустойчивостью из интерфейса между двумя жидкостями различной плотности , которая возникает , когда жидкость для зажигалок толкает тяжелее жидкость. [2] [3] [4] Примеры включают поведение воды, взвешенной над нефтью под действием силы тяжести Земли , [3] грибовидные облака, подобные тем, которые возникают в результате извержений вулканов и ядерных взрывов в атмосфере , [5] сверхновыхвзрывы, при которых расширяющийся центральный газ ускоряется до более плотной оболочки газа, [6] [7] нестабильности в термоядерных реакторах плазмы и [8] термоядерный синтез с инерционным удержанием. [9]
Вода, взвешенная на поверхности нефти, является повседневным примером нестабильности Рэлея-Тейлора, и ее можно смоделировать двумя полностью плоскопараллельными слоями несмешивающейся жидкости, более плотными поверх менее плотных, и оба они подвержены гравитации Земли. Равновесие здесь неустойчиво к каким - либо возмущений или нарушений интерфейса: если посылка более тяжелой жидкости смещается вниз с равным объемом более легкой жидкости смещается вверх, потенциальная энергия конфигурации ниже , чем исходное состояние. Таким образом, возмущение будет расти и приводить к дальнейшему высвобождению потенциальной энергии , поскольку более плотный материал движется вниз под (эффективным) гравитационным полем, а менее плотный материал далее перемещается вверх. Это была установка, которую изучил лорд Рэлей. [3] Важным открытием Дж. И. Тейлора стало его осознание того, что эта ситуация эквивалентна ситуации, когда жидкости ускоряются , когда менее плотная жидкость ускоряется в более плотную жидкость. [3] Это происходит глубоко под водой на поверхности расширяющегося пузыря и при ядерном взрыве. [10]
По мере развития RT-неустойчивости начальные возмущения переходят из фазы линейного роста в фазу нелинейного роста, в конечном итоге развивая «шлейфы», текущие вверх (в смысле гравитационной плавучести), и «шипы», падающие вниз. В линейной фазе движение жидкости можно точно описать линейными уравнениями , а амплитуда возмущений экспоненциально растет со временем. В нелинейной фазе амплитуда возмущения слишком велика для линейного приближения, и для описания движений жидкости требуются нелинейные уравнения. В общем, разница плотностей между жидкостями определяет структуру последующих нелинейных потоков RT-неустойчивости (при условии, что другие переменные, такие как поверхностное натяжение и вязкость, здесь пренебрежимо малы). Разница в плотностях жидкости, деленная на их сумму, определяется как число Атвуда , A. Для A, близкого к 0, потоки RT-неустойчивости принимают форму симметричных «пальцев» жидкости; при A, близком к 1, гораздо более легкая жидкость «ниже» более тяжелой жидкости принимает форму более крупных пузырчатых шлейфов. [2]
Этот процесс очевиден не только на многих земных примерах, от соляных куполов до погодных инверсий , но также в астрофизике и электрогидродинамике . Например, структура нестабильности RT очевидна в Крабовидной туманности , в которой расширяющаяся пульсарная туманность ветра, питаемая пульсаром в Крабовидном крае , уносит материал, выброшенный взрывом сверхновой 1000 лет назад. [11] Неустойчивость RT также недавно была обнаружена во внешней атмосфере Солнца или солнечной короне , когда относительно плотный солнечный протуберанец перекрывает менее плотный плазменный пузырь. [12] Этот последний случай напоминает магнитно-модулированные неустойчивости RT. [13] [14] [15]
Обратите внимание, что неустойчивость RT не следует путать с неустойчивостью Плато – Рэлея (также известной как неустойчивость Рэлея ) струи жидкости. Эта нестабильность, иногда называемая нестабильностью шланговых (или пожарных) шлангов, возникает из-за поверхностного натяжения, которое разбивает цилиндрическую струю на поток капель, имеющих тот же общий объем, но большую площадь поверхности.
Многие люди стали свидетелями нестабильности RT, глядя на лавовую лампу , хотя некоторые могут утверждать, что это более точно описано как пример конвекции Рэлея-Бенара из-за активного нагрева жидкого слоя на дне лампы.
Этапы развития и возможная эволюция в турбулентное перемешивание
Развитие RTI проходит четыре основных этапа. [2] На первом этапе амплитуды возмущений малы по сравнению с их длинами волн, уравнения движения могут быть линеаризованы, что приводит к экспоненциальному росту неустойчивости. На ранней стадии этой стадии синусоидальное начальное возмущение сохраняет свою синусоидальную форму. Однако после окончания этой первой стадии, когда начинают проявляться нелинейные эффекты, можно наблюдать начало образования повсеместных грибовидных шипов (жидкие структуры тяжелой жидкости, переходящие в легкую жидкость) и пузырьков (жидкие структуры легкая жидкость превращается в тяжелую жидкость). Рост грибовидных структур продолжается на втором этапе и может быть смоделирован с использованием моделей сопротивления плавучести, в результате чего скорость роста примерно постоянна во времени. На этом этапе нельзя больше игнорировать нелинейные члены в уравнениях движения. Затем на третьей стадии шипы и пузыри начинают взаимодействовать друг с другом. Происходит слияние пузырьков, при котором нелинейное взаимодействие связи мод объединяет более мелкие всплески и пузырьки для создания более крупных. Кроме того, имеет место конкуренция пузырей, когда всплески и пузыри с меньшей длиной волны, которые стали насыщенными, охватываются более крупными, которые еще не насыщены. В конечном итоге это перерастает в область турбулентного перемешивания, которая является четвертой и последней стадией эволюции. Обычно предполагается, что область перемешивания, которая в конечном итоге развивается, является автомодельной и турбулентной, при условии, что число Рейнольдса достаточно велико. [16]
Линейный анализ устойчивости
Невязкая двумерный Рэлея-Тейлор (РТ) нестабильность обеспечивает отличный трамплин в математическое исследование стабильности из-за простую природу основного состояния. [17] Это состояние равновесия, которое существует до того, как в систему добавлено какое-либо возмущение, и описывается полем средней скоростигде гравитационное поле Интерфейс на разделяет жидкости плотностей в верхней части, и в нижнем регионе. В этом разделе показано, что когда тяжелая жидкость находится сверху, рост небольшого возмущения на границе раздела является экспоненциальным и происходит со скоростью [3]
где - темп временного роста, - пространственное волновое число иэто число Этвуда .
Вносимое в систему возмущение описывается полем скорости бесконечно малой амплитуды: Поскольку жидкость считается несжимаемой, это поле скорости имеет представление функции тока
где нижние индексы указывают на частные производные . Более того, в изначально неподвижной несжимаемой жидкости нет завихренности, и жидкость остается безвихревой , следовательно,. В представлении функции токаДалее, из-за трансляционной инвариантности системы в x -направлении можно сделать анзац
где - пространственное волновое число. Таким образом, задача сводится к решению уравнения
Суть проблемы следующая: жидкость с меткой L обитает в области , а жидкость с меткой G живет в верхней полуплоскости . Чтобы полностью указать решение, необходимо зафиксировать условия на границах и интерфейсе. Это определяет волновую скорость c , которая, в свою очередь, определяет свойства устойчивости системы.
Первое из этих условий обеспечивается деталями на границе. Скорости возмущений должен удовлетворять условию отсутствия потока, чтобы жидкость не вытекала на границах Таким образом, на , а также на . С точки зрения функции тока это
Остальные три условия подробно описаны в интерфейсе. .
Непрерывность вертикальной скорости: при, вертикальные скорости совпадают, . Используя представление функции потока, это дает
Расширение о дает
где HOT означает «условия высшего порядка». Это уравнение является требуемым межфазным условием.
Состояние свободной поверхности: На свободной поверхности, выполняется кинематическое условие:
Линеаризация, это просто
где скорость линеаризуется на поверхности . Используя представления нормального режима и функции потока, это условие, второе межфазное состояние.
Отношение давления на границе раздела: для случая с поверхностным натяжением перепад давления на границе разделадается уравнением Юнга – Лапласа :
где σ - поверхностное натяжение, а κ - кривизна границы раздела, которая в линейном приближении равна
Таким образом,
Однако это условие относится к общему давлению (базовое + возмущенное), поэтому
(Как обычно, возмущенные величины могут быть линеаризованы на поверхности z = 0. ) Используя гидростатический баланс , в виде
это становится
Возмущенные давления оцениваются в терминах функций тока, используя уравнение горизонтального импульса линеаризованных уравнений Эйлера для возмущений,
- с участием
уступить
Положив это последнее уравнение и условие скачка на все вместе,
Подставляя второе граничное условие и, используя представление нормального режима, это соотношение становится
где нет необходимости маркировать (только его производные), потому что в
- Решение
Теперь, когда модель стратифицированного потока создана, решение есть. Уравнение функции тока с граничными условиями есть решение
Первое межфазное условие гласит, что в , что заставляет Третье граничное условие гласит, что
Подставляя решение в это уравнение, получаем соотношение
Отменяет с обеих сторон , и мы остались с
Чтобы полностью понять значение этого результата, полезно рассмотреть случай нулевого поверхностного натяжения. Потом,
и ясно
- Если , и c реально. Это происходит, когда
жидкость для зажигалок сидит сверху;
- Если , и c чисто мнимый. Это случилось
когда более тяжелая жидкость находится сверху.
Теперь, когда более тяжелая жидкость находится сверху, , а также
где это число Этвуда . Взяв положительное решение, мы видим, что решение имеет вид
и это связано с положением границы раздела η следующим образом: Теперь определим
Временная эволюция возвышения свободного интерфейса первоначально в дан кем-то:
который со временем растет экспоненциально. Здесь B - амплитуда начального возмущения, аобозначает действительную часть этого сложного ценного выражения в скобках.
В общем, условие линейной неустойчивости состоит в том, что мнимая часть «волновой скорости» c положительна. Наконец, восстановление поверхностного натяжения делает c 2 менее отрицательным и, следовательно, стабилизируется. Действительно, существует диапазон коротких волн, для которых поверхностное натяжение стабилизирует систему и предотвращает образование нестабильности.
Когда двум слоям жидкости позволяют иметь относительную скорость, неустойчивость обобщается до неустойчивости Кельвина-Гельмгольца-Рэлея-Тейлора, которая включает как неустойчивость Кельвина-Гельмгольца, так и неустойчивость Рэлея-Тейлора в качестве частных случаев. Недавно было обнаружено, что уравнения жидкости, управляющие линейной динамикой системы, допускают симметрию с четностью и временем , а неустойчивость Кельвина-Гельмгольца-Рэлея-Тейлора возникает тогда и только тогда, когда симметрия с четностью времени спонтанно нарушается. [18]
Объяснение завихренности
Нестабильность RT можно рассматривать как результат бароклинного момента, создаваемого несовпадением градиентов давления и плотности на возмущенной границе раздела, как описано двумерным уравнением невязкой завихренности :, где ω - завихренность, ρ - плотность, p - давление. В этом случае преобладающий градиент давления является гидростатическим , возникающим в результате ускорения.
В нестабильной конфигурации для определенной гармонической составляющей начального возмущения крутящий момент на границе раздела создает завихренность, которая будет иметь тенденцию к увеличению несовпадения векторов градиента . Это, в свою очередь, создает дополнительную завихренность, приводящую к дальнейшему рассогласованию. Эта концепция изображена на рисунке, где видно, что два вращающихся в противоположных направлениях вихря имеют поля скоростей, которые суммируются на пике и впадине возмущенной границы раздела. В стабильной конфигурации завихренность и, следовательно, индуцированное поле скорости будут иметь направление, которое уменьшает рассогласование и, следовательно, стабилизирует систему. [16] [19]
Позднее поведение
Анализ в предыдущем разделе не работает, когда амплитуда возмущения велика. Затем рост становится нелинейным, поскольку шипы и пузыри нестабильности запутываются и сворачиваются в вихри. Затем, как показано на рисунке, для описания системы требуется численное моделирование всей задачи.
Смотрите также
- Неустойчивость Саффмана – Тейлора
- Неустойчивость Рихтмайера – Мешкова.
- Неустойчивость Кельвина – Гельмгольца.
- Грибное облако
- Неустойчивость Плато – Рэлея.
- Солёная аппликатура
- Гидродинамическая устойчивость
- Карман вихревая улица
- Обрыв жидкой нити
Заметки
- ^ Ли, Шэнтай и Хуэй Ли. «Параллельный код AMR для сжимаемых уравнений MHD или HD» . Лос-Аламосская национальная лаборатория . Проверено 5 сентября 2006 .
- ^ а б в Шарп, Д.Х. (1984). «Обзор неустойчивости Рэлея-Тейлора» . Physica D . 12 (1): 3–18. Bibcode : 1984PhyD ... 12 .... 3S . DOI : 10.1016 / 0167-2789 (84) 90510-4 .
- ^ а б в г д Дразин (2002) стр. 50–51.
- ^ Дэвид Янгс (ред.). «Неустойчивость и перемешивание Рэлея – Тейлора» . Scholarpedia .
- ^ https://gizmodo.com/why-nuclear-bombs-create-mushroom-clouds-1468107869
- ^ Ван, С.-Й. И Шевалье Р.А. (2000). «Неустойчивости и слипание в остатках сверхновых типа Ia». Астрофизический журнал . 549 (2): 1119–1134. arXiv : astro-ph / 0005105v1 . Bibcode : 2001ApJ ... 549.1119W . DOI : 10.1086 / 319439 . S2CID 15244583 .
- ^ Hillebrandt, W .; Хёфлих, П. (1992). «Сверхновая 1987a в Большом Магеллановом Облаке». В Р. Дж. Тайлер (ред.). Звездная астрофизика . CRC Press . С. 249–302. ISBN 978-0-7503-0200-5.. См. Страницу 274.
- ^ Чен, HB; Хилько, Б .; Панарелла, Э. (1994). «Неустойчивость Рэлея – Тейлора в сферическом пинче». Журнал термоядерной энергии . 13 (4): 275–280. Bibcode : 1994JFuE ... 13..275C . DOI : 10.1007 / BF02215847 . S2CID 122223176 .
- ^ Betti, R .; Гончаров, В.Н. МакКрори, Р.Л .; Вердон, CP (1998). "Темпы роста абляционной неустойчивости Рэлея-Тейлора в термоядерном синтезе с инерционным удержанием". Физика плазмы . 5 (5): 1446–1454. Bibcode : 1998PhPl .... 5.1446B . DOI : 10.1063 / 1.872802 .
- ^ Джон Притчетт (1971). «ОЦЕНКА РАЗЛИЧНЫХ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПОДВОДНОГО ВЗРЫВА» (PDF) . Правительство США. п. 86 . Проверено 9 октября 2012 года .
- ^ Хестер, Дж. Джефф (2008). «Крабовидная туманность: астрофизическая химера». Ежегодный обзор астрономии и астрофизики . 46 : 127–155. Bibcode : 2008ARA & A..46..127H . DOI : 10.1146 / annurev.astro.45.051806.110608 .
- ^ Бергер, Томас Э .; Слейтер, Грегори; Херлберт, Нил; Сияй, Ричард; и другие. (2010). "Динамика покоящегося выступа, наблюдаемая с помощью солнечного оптического телескопа Hinode. I. Турбулентные плюмы восходящего потока" . Астрофизический журнал . 716 (2): 1288–1307. Bibcode : 2010ApJ ... 716.1288B . DOI : 10.1088 / 0004-637X / 716/2/1288 .
- ^ а б Чандрасекхар, С. (1981). Гидродинамическая и гидромагнитная устойчивость . Дувр. ISBN 978-0-486-64071-6.. См. Гл. ИКС.
- ^ Hillier, A .; Бергер, Томас; Исобе, Хироаки; Шибата, Казунари (2012). "Численное моделирование магнитной неустойчивости Рэлея-Тейлора в модели протуберанца Киппенхана-Шлютера. I. Формирование восходящих потоков » . Астрофизический журнал . 716 (2): 120–133. Bibcode : 2012ApJ ... 746..120H . Doi : 10.1088 / 0004-637X / 746/2/120 .
- ^ Сингх, Чамкор; Das, Arup K .; Дас, Прасант К. (2016), "Одномодовая неустойчивость интерфейса феррожидкости-ртути при неоднородном магнитном поле", Physical Review E , 94 (1): 012803, DOI : 10,1103 / PhysRevE.94.012803 , PMID 27575198
- ^ а б Робертс, MS; Джейкобс, JW (2015). «Влияние вынужденных низковолновых начальных возмущений с конечной полосой пропускания и смешиваемости на турбулентную неустойчивость Рэлея-Тейлора». Журнал гидромеханики . 787 : 50–83. Bibcode : 2016JFM ... 787 ... 50R . DOI : 10,1017 / jfm.2015.599 . ОСТИ 1436483 .
- ^ a b Дразин (2002), стр. 48–52.
- ^ Цинь, H .; и другие. (2019). «Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца является результатом нарушения симметрии четности времени». Физика плазмы . 26 (3): 032102. arXiv : 1810.11460 . DOI : 10.1063 / 1.5088498 . S2CID 53658729 .
- ^ Робертс, MS (2012). "Эксперименты и моделирование несжимаемой неустойчивости Рэлея-Тейлора с малыми длинами волн начальных возмущений" . Диссертации Университета Аризоны.
Рекомендации
Оригинальные научные статьи
- Рэйли, лорд (Джон Уильям Струтт) (1883). «Исследование характера равновесия несжимаемой тяжелой жидкости переменной плотности» . Труды Лондонского математического общества . 14 : 170–177. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s1-14.1.170 .(Исходный документ доступен по адресу: https://www.irphe.fr/~clanet/otherpaperfile/articles/Rayleigh/rayleigh1883.pdf .)
- Тейлор, сэр Джеффри Ингрэм (1950). «Неустойчивость жидких поверхностей при ускорении в направлении, перпендикулярном их плоскостям». Труды Лондонского королевского общества. Серия А, Математические и физические науки . 201 (1065): 192–196. Bibcode : 1950RSPSA.201..192T . DOI : 10.1098 / RSPA.1950.0052 . S2CID 98831861 .
Другой
- Чандрасекар, Субраманян (1981). Гидродинамическая и гидромагнитная устойчивость . Dover Publications . ISBN 978-0-486-64071-6.
- Дразин, П.Г. (2002). Введение в гидродинамическую устойчивость . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-00965-2. xvii + 238 стр.
- Дразин П.Г .; Рид, WH (2004). Гидродинамическая устойчивость (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-52541-1. 626 страниц.
Внешние ссылки
- Демонстрация на Java нестабильности RT в жидкостях
- Актуальные изображения и видео пальцев RT
- Эксперименты по неустойчивости Рэлея-Тейлора в Университете Аризоны
- плазменный эксперимент по неустойчивости Рэлея-Тейлора в Калифорнийском технологическом институте