Гравитация Земли

Гравитация Земли, измеренная миссией НАСА GRACE , показывает отклонения от теоретической гравитации идеализированной гладкой Земли, так называемого земного эллипсоида . Красный показывает области, где сила тяжести сильнее, чем стандартное значение сглаживания, а синий показывает области, где сила тяжести слабее. ( Анимированная версия . ) ^[1]

Сила тяжести Земли , обозначаемая g , представляет собой чистое ускорение , которое передается объектам из-за комбинированного эффекта гравитации (от распределения массы внутри Земли ) и центробежной силы (от вращения Земли ). ^{[2] [3]}

В единицах СИ это ускорение измеряется в метрах на секунду в квадрате (в символах, м / с ² или м · с ⁻² ) или эквивалентно в ньютонах на килограмм (Н / кг или Н · кг ⁻¹ ). У поверхности Земли гравитационное ускорение составляет примерно 9,81 м / с ² , что означает, что, игнорируя эффекты сопротивления воздуха , скорость свободно падающего объекта будет увеличиваться примерно на 9,81 метра в секунду каждую секунду. Это количество иногда неофициально называют маленьким г(напротив, гравитационная постоянная G обозначается как большая G ).

Точная сила гравитации Земли варьируется в зависимости от местоположения. Номинальное «среднее» значение на поверхности Земли, известное как стандартная сила тяжести , по определению составляет 9,80665 м / с ² . ^[4] Эта величина обозначается по-разному как g _n , g _e (хотя иногда это означает нормальное экваториальное значение на Земле, 9,78033 м / с ² ), g ₀ , gee или просто g (которое также используется для переменной local ценить).

Вес объекта на поверхности Земли является силой вниз по этому объекту, определяется вторым законом Ньютона , или F = та ( сила = масса × ускорение ). Ускорение свободного падения вносит свой вклад в общее ускорение свободного падения, но другие факторы, такие как вращение Земли, также вносят свой вклад и, следовательно, влияют на вес объекта. Гравитация обычно не включает в себя гравитационное притяжение Луны и Солнца, которое учитывается с точки зрения приливных эффектов . Это векторная (физическая) величина, и направление ее совпадает с отвесом .

Разница в величине [ править ]

Невращающаяся совершенная сфера с однородной плотностью массы или плотность которой изменяется только с расстоянием от центра ( сферическая симметрия ) создаст гравитационное поле постоянной величины во всех точках на своей поверхности . Земля вращается и к тому же несферически симметрична; скорее, на полюсах он немного более плоский, а на экваторе выпуклый: сплюснутый сфероид . Следовательно, есть небольшие отклонения в величине силы тяжести на его поверхности.

Сила тяжести на поверхности Земли варьируется примерно на 0,7%, от 9,7639 м / с ² на горе Невадо-Уаскаран в Перу до 9,8337 м / с ² на поверхности Северного Ледовитого океана . ^[5] В крупных городах он колеблется от 9,7806 ^[6] в Куала-Лумпуре , Мехико и Сингапуре до 9,825 в Осло и Хельсинки .

Условное значение [ править ]

В 1901 году третья Генеральная конференция по мерам и весам определила стандартное ускорение  свободного падения для поверхности Земли: g _n = 9,80665 м / с ² . Он был основан на измерениях, проведенных в Павильоне де Бретей недалеко от Парижа в 1888 году, с теоретической поправкой, примененной для преобразования в широту 45 ° на уровне моря. ^[7] Это определение, таким образом, не является значением какого-либо конкретного места или тщательно разработанным средним значением, а соглашением об использовании значения, если лучшая фактическая местная ценность неизвестна или не важна. ^[8] Он также используется для определения единиц силы - килограмма и фунта силы .

Широта [ править ]

Поверхность Земли вращается, поэтому это не инерциальная система отсчета . На широтах ближе к экватору внешняя центробежная сила, создаваемая вращением Земли, больше, чем в полярных широтах. Это в небольшой степени противодействует гравитации Земли - максимум до 0,3% на экваторе - и снижает кажущееся ускорение падающих объектов вниз.

Вторая важная причина разницы в гравитации на разных широтах состоит в том, что экваториальная выпуклость Земли (сама по себе также вызванная центробежной силой вращения) заставляет объекты на экваторе находиться дальше от центра планеты, чем объекты на полюсах. Поскольку сила гравитационного притяжения между двумя телами (Землей и взвешиваемым объектом) изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния между ними, объект на экваторе испытывает более слабое гравитационное притяжение, чем объект на полюсах.

В сочетании экваториальная выпуклость и влияние поверхностной центробежной силы из-за вращения означают, что сила тяжести на уровне моря увеличивается с примерно 9,780 м / с ² на экваторе до примерно 9,832 м / с ² на полюсах, поэтому объект будет весить примерно на 0,5% больше на полюсах, чем на экваторе. ^{[2] [9]}

Высота [ править ]

Гравитация уменьшается с высотой по мере того, как человек поднимается над поверхностью Земли, потому что большая высота означает большее расстояние от центра Земли. При прочих равных, увеличение высоты от уровня моря до 9 000 метров (30 000 футов) вызывает снижение веса примерно на 0,29%. (Дополнительным фактором, влияющим на кажущийся вес, является уменьшение плотности воздуха на высоте, что снижает плавучесть объекта. ^[10] Это может увеличить видимый вес человека на высоте 9000 метров примерно на 0,08%).

Распространено заблуждение, что космонавты на орбите невесомые, потому что они пролетели достаточно высоко, чтобы избежать гравитации Земли. Фактически, на высоте 400 километров (250 миль), эквивалентной типичной орбите МКС , гравитация все еще почти на 90% сильнее, чем у поверхности Земли. Фактически невесомость возникает из-за того, что вращающиеся объекты находятся в свободном падении . ^[11]

Эффект от возвышения грунта зависит от плотности грунта (см. Раздел « Коррекция перекрытия »). Человек, летящий на высоте 9 100 м (30 000 футов) над уровнем моря над горами, будет чувствовать большую гравитацию, чем кто-либо, находящийся на той же высоте, но над морем. Однако человек, стоящий на поверхности Земли, чувствует меньшую гравитацию, когда высота над уровнем моря выше.

Следующая формула аппроксимирует изменение силы тяжести Земли с высотой:

${\ displaystyle g_ {h} = g_ {0} \ left ({\ frac {R _ {\ mathrm {e}}} {R _ {\ mathrm {e}} + h}} \ right) ^ {2}}$

Где

• g _h - ускорение свободного падения на высоте h над уровнем моря.
• R _e - средний радиус Земли .
• g ₀ - стандартное ускорение свободного падения .

Формула рассматривает Землю как идеальную сферу с радиально-симметричным распределением массы; более точная математическая обработка обсуждается ниже.

Глубина [ править ]

Приблизительное значение силы тяжести на расстоянии r от центра Земли можно получить, предположив, что плотность Земли сферически симметрична. Гравитация зависит только от массы внутри сферы радиуса r . Все вклады извне уравновешиваются вследствие закона тяготения обратных квадратов . Другое следствие - гравитация такая же, как если бы вся масса была сосредоточена в центре. Таким образом, гравитационное ускорение на этом радиусе равно ^[13]

${\displaystyle g(r)=-{\frac {GM(r)}{r^{2}}}.}$

где G - гравитационная постоянная, а M ( r ) - полная масса, заключенная в радиусе r . Если бы у Земли была постоянная плотность ρ , масса была бы M ( r ) = (4/3) π ρr ^3, а зависимость силы тяжести от глубины была бы

${\displaystyle g(r)={\frac {4\pi }{3}}G\rho r.}$

Сила тяжести g ' на глубине d определяется выражением g' = g (1- d / R ), где g - ускорение силы тяжести на поверхности Земли, d - глубина, а R - радиус Земли . Если плотность уменьшается линейно с увеличением радиуса от плотности ρ ₀ в центре до ρ ₁ у поверхности, то ρ ( r ) = ρ ₀ - ( ρ ₀ - ρ ₁ ) r/ r _e , и зависимость будет

${\displaystyle g(r)={\frac {4\pi }{3}}G\rho _{0}r-\pi G\left(\rho _{0}-\rho _{1}\right){\frac {r^{2}}{r_{\mathrm {e} }}}.}$

Фактическая зависимость плотности и силы тяжести от глубины, полученная из времен прохождения сейсмических волн (см. Уравнение Адамса – Вильямсона ), показана на графиках ниже.

Местная топография и геология [ править ]

Местные различия в топографии (например, наличие гор), геологии (например, плотность горных пород в окрестностях) и более глубокая тектоническая структура вызывают локальные и региональные различия в гравитационном поле Земли, известные как гравитационные аномалии . ^[14] Некоторые из этих аномалий могут быть очень обширными, приводя к вздутию уровня моря и нарушению синхронизации маятниковых часов.

Изучение этих аномалий составляет основу гравитационной геофизики . Колебания измеряются высокочувствительными гравиметрами , влияние топографии и других известных факторов вычитается, и на основе полученных данных делаются выводы. Такие методы сейчас используются изыскателями для поиска месторождений нефти и полезных ископаемых . Более плотные породы (часто содержащие минеральные руды ) вызывают более сильные, чем обычно, местные гравитационные поля на поверхности Земли. Менее плотные осадочные породы вызывают обратное.

Другие факторы [ править ]

В воздухе или в воде объекты испытывают поддерживающую силу плавучести, которая снижает кажущуюся силу тяжести (измеряемую по весу объекта). Величина эффекта зависит от плотности воздуха (и, следовательно, давления воздуха) или плотности воды соответственно; подробности см. в разделе « Видимый вес» .

Гравитационные эффекты Луны и Солнца (также являющиеся причиной приливов ) имеют очень небольшое влияние на кажущуюся силу гравитации Земли, в зависимости от их относительного положения; типичные отклонения составляют 2 мкм / с ² (0,2 мГал ) в течение дня.

Направление [ править ]

Ускорение силы тяжести является векторной величиной , с направлением в дополнении к величине . На сферически-симметричной Земле гравитация будет указывать прямо на центр сферы. Поскольку фигура Земли немного более плоская, есть, следовательно, значительные отклонения в направлении силы тяжести: по сути, разница между геодезической широтой и геоцентрической широтой . Меньшие отклонения, называемые вертикальным отклонением , вызваны локальными массовыми аномалиями, такими как горы.

Сравнительные значения по всему миру [ править ]

Существуют инструменты для расчета силы тяжести в разных городах по всему миру. ^[15] Влияние широты хорошо видно на примере гравитации в высокоширотных городах: Анкоридже (9,826 м / с ² ), Хельсинки (9,825 м / с ² ), что примерно на 0,5% больше, чем в городах вблизи экватора: Куала-Лумпур (9,776 м / с ² ), Манила (9,780 м / с ² ). Влияние высоты можно увидеть в Мехико (9,776 м / с ² ; высота 2240 метров (7350 футов)) и сравнив Денвер (9,798 м / с ² ; 1616 метров (5 302 фута)) с Вашингтоном, округ Колумбия (9,801 фута). м / с ²; 30 метров (98 футов)), оба из которых находятся около 39 ° северной широты. Измеренные значения могут быть получены из физико-математических таблиц Т.М. Ярвуда и Ф. Кастла, Macmillan, исправленное издание 1970 г. ^[16]

Математические модели [ править ]

Модель широты [ править ]

Если местность находится на уровне моря, мы можем оценить ускорение на широте :${\displaystyle g\{\phi \}}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}g\{\phi \}&=9.780327\,\,\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1+0.0053024\,\sin ^{2}\phi -0.0000058\,\sin ^{2}2\phi \right),\\&=9.780327\,\,\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1+0.0052792\,\sin ^{2}\phi +0.0000232\,\sin ^{4}\phi \right),\\&=9.780327\,\,\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1.0053024-0.0053256\,\cos ^{2}\phi +0.0000232\,\cos ^{4}\phi \right),\\&=9.780327\,\,\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1.0026454-0.0026512\,\cos 2\phi +0.0000058\,\cos ^{2}2\phi \right)\end{aligned}}}$.

Это Международная формула гравитации 1967 года, формула геодезической системы отсчета 1967 года, уравнение Гельмерта или формула Клеро. ^[17]

Альтернативной формулой для g как функции широты является формула эллипсоидальной гравитации WGS ( Всемирная геодезическая система ) 84 : ^[18]

${\displaystyle g\{\phi \}=\mathbb {G} _{e}\left[{\frac {1+k\sin ^{2}\phi }{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}\right],\,\!}$

куда,

• ${\displaystyle a,\,b}$ - экваториальная и полярная полуоси соответственно;
• ${\displaystyle e^{2}=1-(b/a)^{2}}$- эксцентриситет сфероида в квадрате;
• ${\displaystyle \mathbb {G} _{e},\,\mathbb {G} _{p}\,}$ - заданная сила тяжести на экваторе и полюсах соответственно;
• ${\displaystyle k={\frac {b\,\mathbb {G} _{p}-a\,\mathbb {G} _{e}}{a\,\mathbb {G} _{e}}}}$ (постоянная формула);

тогда, где , ^[18]${\displaystyle \mathbb {G} _{p}=9.8321849378\,\,\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}}$

${\displaystyle g\{\phi \}=9.7803253359\,\,\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}\left[{\frac {1+0.001931850400\,\sin ^{2}\phi }{\sqrt {1-0.006694384442\,\sin ^{2}\phi }}}\right]}$.

где полуоси земли:

${\displaystyle a=6378137.0\,\,{\mbox{m}}}$

${\displaystyle b=6356752.3\,\,{\mbox{m}}}$

Разница между формулой WGS-84 и уравнением Гельмерта составляет менее 0,68 мкм · с ⁻² .

Поправка на свободный воздух [ править ]

Первая поправка, применяемая к модели, - это поправка на свободный воздух (FAC), которая учитывает высоту над уровнем моря. Вблизи поверхности Земли (уровень моря) гравитация уменьшается с высотой, так что линейная экстраполяция дала бы невесомость на высоте, равной половине радиуса Земли - (9,8 м · с ⁻² на 3200 км) ^[19].

Используя массу и радиус Земли :

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\mathrm {Earth} }&=6.371\cdot 10^{6}\,\mathrm {m} \\m_{\mathrm {Earth} }&=5.9722\cdot 10^{24}\,\mathrm {kg} \end{aligned}}}$

Поправочный коэффициент FAC (Δ g ) может быть получен из определения ускорения свободного падения через G, гравитационную постоянную (см. Оценку g из закона всемирного тяготения ниже):

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{0}&={\frac {G\,M_{\mathrm {e} }}{R_{\mathrm {e} }^{2}}}=9.81998\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\\G&=6.67408\cdot 10^{-11}\,{\frac {\mathrm {m} ^{3}}{\mathrm {kg} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}.\end{aligned}}}$

На высоте h над номинальной поверхностью Земли g _h определяется по формуле:

${\displaystyle g_{h}={\frac {G\,M_{\mathrm {e} }}{\left(R_{\mathrm {e} }+h\right)^{2}}}}$

Таким образом, FAC для высоты h выше номинального радиуса Земли можно выразить:

${\displaystyle \Delta g_{h}=\left[{\frac {G\,M_{\mathrm {e} }}{\left(R_{\mathrm {e} }+h\right)^{2}}}\right]-\left[{\frac {G\,M_{\mathrm {e} }}{R_{\mathrm {e} }^{2}}}\right]}$

Это выражение можно легко использовать для программирования или включения в электронную таблицу. Собирая члены, упрощая и пренебрегая малыми членами ( ч « г _Земли ), однако дает хорошее приближение:

${\displaystyle \Delta g_{h}\approx -\,{\frac {G\,M_{\mathrm {e} }}{R_{\mathrm {e} }^{2}}}\cdot {\frac {2\,h}{R_{\mathrm {e} }}}}$

Используя числовые значения выше и для высоты h в метрах:

${\displaystyle \Delta g_{h}\approx -3.086\cdot 10^{-6}\,h}$

Группируя факторы широты и высоты FAC, в литературе чаще всего встречается выражение:

${\displaystyle g\{\phi ,h\}=g\{\phi \}-3.086\cdot 10^{-6}h}$

где - ускорение в м · с ⁻² на широте и высоте h в метрах.${\displaystyle g\{\phi ,h\}}$${\displaystyle \ \phi }$

Исправление перекрытия [ править ]

Примечание. В этом разделе используется галилео (символ: «Гал»), которое представляет собой единицу cgs для ускорения 1 сантиметр в секунду ² .

Для равнинной местности над уровнем моря добавляется второй член для гравитации из-за дополнительной массы; для этой цели дополнительную массу можно аппроксимировать бесконечной горизонтальной плитой, и мы получаем 2π G, умноженную на массу на единицу площади, то есть 4,2 × 10 ⁻¹⁰  м ³ · с ⁻² · кг ⁻¹ (0,042 мкГал · кг ⁻¹ · М ² ) (поправка Бугера). Для средней плотности породы 2,67 г · см ⁻³ это дает 1,1 × 10 ⁻⁶  с ⁻² (0,11 мГал · м ⁻¹ ). В сочетании с поправкой на свободный воздух это означает уменьшение силы тяжести на поверхности прибл. 2 мкм · с ⁻²(0,20 мГал) на каждый метр высоты местности. (Эти два эффекта компенсируются при плотности горных пород на поверхности, в 4/3 раза превышающей среднюю плотность всей Земли. Плотность всей Земли составляет 5,515 г · см ^-3 , поэтому, стоя на плите из чего-то вроде железа, плотность которого равна более 7,35 г · см ⁻³ увеличит вес.)

Для гравитации под поверхностью мы должны применить поправку на свободный воздух, а также двойную поправку Бугера. В модели бесконечной плиты это происходит потому, что перемещение точки наблюдения ниже плиты меняет гравитацию на противоположную. В качестве альтернативы, мы можем рассмотреть сферически симметричную Землю и вычесть из массы Земли массу оболочки за пределами точки наблюдения, потому что это не вызывает гравитации внутри. Это дает тот же результат.

Оценка g по закону всемирного тяготения [ править ]

Из закона всемирного тяготения , сила , действующая на тело воздействуют силы тяжести Земли дается

${\displaystyle F=G\,{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}=\left(G\,{\frac {m_{1}}{r^{2}}}\right)m_{2}}$

где r - расстояние между центром Земли и телом (см. ниже), и здесь мы принимаем m ₁ за массу Земли, а m ₂ за массу тела.

Кроме того, второй закон Ньютона , F = та , где т есть масса и является ускорение, здесь говорит нам , что

${\displaystyle F=m_{2}\,g\,}$

Сравнивая две формулы, видно, что:

${\displaystyle g=G\,{\frac {m_{1}}{r^{2}}}}$

Так, чтобы найти ускорение силы тяжести на уровне моря, подставить значения из гравитационной постоянной , G , Земли масса (в кг), м ₁ , а Земли радиус (в метрах), г , чтобы получить значение г :

${\displaystyle g=G\,{\frac {m_{1}}{r^{2}}}=6.67408\cdot 10^{-11}\,\mathrm {m} ^{3}\cdot \mathrm {kg} ^{-1}\cdot \mathrm {s} ^{-2}\,\,\,{\frac {5.9722\cdot 10^{24}\,\mathrm {kg} }{\left(6.371\cdot 10^{6}\,\mathrm {m} \right)^{2}}}=9.81998\,\,{\mbox{m}}\cdot {\mbox{s}}^{-2}}$

Эта формула работает только из-за того математического факта, что сила тяжести однородного сферического тела, измеренная на его поверхности или над ней, такая же, как если бы вся его масса была сосредоточена в точке в его центре. Это то, что позволяет нам использовать радиус Земли для r .

Полученное значение примерно соответствует измеренному значению g . Разницу можно объяснить несколькими факторами, упомянутыми выше в разделе «Варианты»:

• Земля не однородна
• Земля не является идеальной сферой, и для ее радиуса необходимо использовать среднее значение.
• Это вычисленное значение g включает только истинную силу тяжести. Это не включает уменьшение сдерживающей силы, которое мы воспринимаем как уменьшение силы тяжести из-за вращения Земли, и некоторую часть силы тяжести, которой противодействует центробежная сила.

Существуют значительные погрешности в значениях r и m _1, используемых в этом расчете, и значение G также довольно сложно точно измерить.

Если G , g и r известны, то обратный расчет даст оценку массы Земли. Этот метод использовал Генри Кавендиш .

Измерение [ править ]

Измерение силы тяжести Земли называется гравиметрией .

Спутниковые методы [ править ]

В настоящее время статические и изменяющиеся во времени параметры гравитационного поля Земли определяются с помощью современных спутниковых программ, таких как GOCE , CHAMP , Swarm , GRACE и GRACE-FO . ^{[20] [21]} Параметры самой низкой степени, включая сжатие Земли и движение геоцентра, лучше всего определяются с помощью спутниковой лазерной локации . ^[22]

См. Также [ править ]

 Портал наук о Земле

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Калькулятор высоты и силы тяжести
• GRACE - Восстановление силы тяжести и климатический эксперимент
• Данные высокого разрешения GGMplus (2013 г.)
• Геоид 2011 модель Potsdam Gravity Potato