Взаимность (электромагнетизм)

Эта страница посвящена теоремам взаимности в классическом электромагнетизме. См. Также теорему взаимности (разрешение неоднозначности) для несвязанных теорем взаимности и взаимность (разрешение неоднозначности) для более общих употреблений термина.

В классическом электромагнетизме , взаимность относится к различному связанным теоремам , связанным с взаимообменом временных гармонических электрических плотностей тока (источники) и полученными электромагнитными полей в уравнениях Максвелла для стационарных линейных сред при определенных ограничениях. Взаимность тесно связана с концепцией эрмитовых операторов из линейной алгебры , применяемой к электромагнетизму.

Пожалуй, самые распространенная и вообще такая теорема Лоренц взаимность (и его различные частные случаи , такие как Рэлей Carson взаимность ), названная в честь работы Лоренца в 1896 году следующий аналогичных результатов в отношении звука с помощью лорда Рэлея и светом по имени Гельмгольца (Potton, 2004) . В общих чертах он заявляет, что соотношение между колеблющимся током и результирующим электрическим полем не меняется, если поменять местами точки, где подается ток и где измеряется поле. Для конкретного случая электрической сети это иногда формулируется как утверждение, что напряжениеи токи в разных точках сети можно менять местами. С технической точки зрения , из этого следует, что взаимное сопротивление первой цепи из-за второй такой же, как взаимное сопротивление второй цепи из-за первой.

Взаимность полезна в оптике , которая (помимо квантовых эффектов) может быть выражена в терминах классического электромагнетизма, но также и в терминах радиометрии .

В электростатике также существует аналогичная теорема , известная как взаимность Грина , которая связывает обмен электрического потенциала и плотности электрического заряда .

Формы теорем взаимности используются во многих электромагнитных приложениях, таких как анализ электрических сетей и антенных систем. Например, взаимность подразумевает, что антенны работают одинаково хорошо как передатчики или приемники, и, в частности, что излучение антенны и диаграммы приема идентичны. Взаимность является также основной леммой , который используется , чтобы доказать другие теоремы о электромагнитных системах, таких как симметрия матрицы импеданса и рассеянии матрицы , симметрии функций Грина для использования в граничных элементах и перенос-матричный вычислительных методах, а также ортогональность свойства гармонических модв волноводных системах (как альтернатива доказательству этих свойств непосредственно из симметрий собственных операторов ).

Взаимность Лоренца [ править ]

В частности, предположим, что у одного есть плотность тока, которая создает электрическое поле и магнитное поле , где все три являются периодическими функциями времени с угловой частотой ω, и, в частности, они зависят от времени . Предположим, что у нас аналогично есть второй ток с той же частотой ω, который (сам по себе) создает поля и . Затем теорема взаимности Лоренца утверждает, при определенных простых условиях для материалов среды, описанных ниже, что для произвольной поверхности S, охватывающей объем V :${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H} _ {1}}$${\ Displaystyle \ ехр (-i \ omega t)}$${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {H} _ {2}}$

${\ displaystyle \ int _ {V} \ left [\ mathbf {J} _ {1} \ cdot \ mathbf {E} _ {2} - \ mathbf {E} _ {1} \ cdot \ mathbf {J} _ {2} \ right] dV = \ oint _ {S} \ left [\ mathbf {E} _ {1} \ times \ mathbf {H} _ {2} - \ mathbf {E} _ {2} \ times \ mathbf {H} _ {1} \ right] \ cdot \ mathbf {dS}.}$

Эквивалентно, в дифференциальной форме (по теореме о расходимости ):

${\displaystyle \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot \left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right].}$

Эта общая форма обычно упрощается для ряда частных случаев. В частности, обычно предполагается, что и являются локализованными (т. Е. Имеют компактную опору ), и что нет приходящих волн бесконечно далеко. В этом случае, если интегрировать по всему пространству, то члены поверхностного интеграла сокращаются (см. Ниже) и получаем:${\displaystyle \mathbf {J} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$

${\displaystyle \int \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\,dV=\int \mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\,dV.}$

Этот результат (вместе со следующими упрощениями) иногда называют теоремой взаимности Рэлея-Карсона после работы лорда Рэлея о звуковых волнах и расширения Джона Р. Карсона (1924; 1930) на приложения для радиочастотных антенн. Часто это соотношение еще больше упрощается, рассматривая точечные дипольные источники, и в этом случае интегралы исчезают, и мы просто имеем произведение электрического поля с соответствующими дипольными моментами токов. Или, для проводов пренебрежимо малой толщины, получают приложенный ток в одном проводе, умноженный на результирующее напряжение на другом, и наоборот; см. также ниже.

Другой частный случай теоремы взаимности Лоренца применяется, когда объем V полностью содержит оба локализованных источника (или, альтернативно, если V не пересекает ни один из источников). В этом случае:

${\displaystyle \oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot \mathbf {dS} =\oint _{S}(\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot \mathbf {dS} .}$

Взаимность для электрических сетей [ править ]

Выше взаимность Лоренца была выражена в терминах внешнего источника тока и результирующего поля. Часто, особенно в электрических сетях, вместо этого предпочитают думать о внешнем напряжении и возникающих токах. Теорема взаимности Лоренца также описывает этот случай, предполагая омические материалы (т. Е. Токи, которые линейно реагируют на приложенное поле) с матрицей проводимости σ 3 × 3, которая должна быть симметричной , что подразумевается другими условиями, приведенными ниже. Чтобы правильно описать эту ситуацию, нужно тщательно различать поля, приложенные извне (от управляющих напряжений), и полные поля, которые возникают в результате (King, 1963).

Более конкретно, вышесказанное состояло только из внешних «исходных» членов, введенных в уравнения Максвелла. Теперь мы обозначим это, чтобы отличить его от полного тока, производимого как внешним источником, так и возникающими электрическими полями в материалах. Если этот внешний ток находится в материале с проводимостью σ, то он соответствует приложенному извне электрическому полю, где по определению σ:${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle \mathbf {J} ^{(e)}}$${\displaystyle \mathbf {E} ^{(e)}}$

${\displaystyle \mathbf {J} ^{(e)}=\sigma \mathbf {E} ^{(e)}.}$

Более того, указанное выше электрическое поле состоит только из реакции на этот ток и не включает «внешнее» поле . Таким образом, мы теперь обозначим поле, указанное выше, как , где полное поле определяется как .${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {E} ^{(e)}}$${\displaystyle \mathbf {E} ^{(r)}}$${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} ^{(e)}+\mathbf {E} ^{(r)}}$

Теперь уравнение в левой части теоремы взаимности Лоренца можно переписать, переместив σ из члена внешнего тока в члены поля отклика , а также добавив и вычтя член, чтобы получить внешнее поле, умноженное на общее текущий :${\displaystyle \mathbf {J} ^{(e)}}$${\displaystyle \mathbf {E} ^{(r)}}$${\displaystyle \sigma \mathbf {E} _{1}^{(e)}\mathbf {E} _{2}^{(e)}}$${\displaystyle \mathbf {J} =\sigma \mathbf {E} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}^{(e)}\cdot \mathbf {E} _{2}^{(r)}-\mathbf {E} _{1}^{(r)}\cdot \mathbf {J} _{2}^{(e)}\right]dV\\={}&\int _{V}\left[\sigma \mathbf {E} _{1}^{(e)}\cdot \left(\mathbf {E} _{2}^{(r)}+\mathbf {E} _{2}^{(e)}\right)-\left(\mathbf {E} _{1}^{(r)}+\mathbf {E} _{1}^{(e)}\right)\cdot \sigma \mathbf {E} _{2}^{(e)}\right]dV\\={}&\int _{V}\left[\mathbf {E} _{1}^{(e)}\cdot \mathbf {J} _{2}-\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}^{(e)}\right]dV.\end{aligned}}}$

Для предела тонких проводов это дает произведение приложенного извне напряжения (1), умноженное на результирующий общий ток (2), и наоборот. В частности, теорема взаимности Рэлея-Карсона превращается в простое суммирование:

${\displaystyle \sum _{n}V_{1}^{(n)}I_{2}^{(n)}=\sum _{n}V_{2}^{(n)}I_{1}^{(n)}\!}$

где V и I обозначают комплексные амплитуды этого тока применяются напряжения и результирующие тока, соответственно, в наборе элементов схемы (индексированных п ) для двух возможных наборов напряжений и .${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{2}}$

Чаще всего это дополнительно упрощается до случая, когда каждая система имеет единственный источник напряжения V , at и . Тогда теорема становится просто${\displaystyle V_{1}^{(1)}=V}$${\displaystyle V_{2}^{(2)}=V}$

${\displaystyle I_{1}^{(2)}=I_{2}^{(1)}}$

или словами:

Ток в позиции (1) от напряжения в (2) идентичен току в (2) от того же напряжения в (1).

Условия и доказательство лоренц-взаимности [ править ]

Теорема взаимности Лоренца - это просто отражение того факта, что линейный оператор, связывающий и с фиксированной частотой (в линейных средах):${\displaystyle {\hat {O}}}$${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {1}{i\omega }}\left[{\frac {1}{\mu }}\left(\nabla \times \nabla \times \right)-\;\omega ^{2}\varepsilon \right]\mathbf {E} \equiv {\hat {O}}\mathbf {E} }$

обычно является симметричным оператором под « внутренним произведением » для векторных полей и . (Технически эта неконъюгированная форма не является истинным внутренним продуктом, потому что она не является действительной для комплекснозначных полей, но это не проблема здесь. В этом смысле оператор не является истинно эрмитовым, а скорее комплексно-симметричным. ) Это верно, если диэлектрическая проницаемость ε и магнитная проницаемость μ при данном ω являются симметричными матрицами 3 × 3 (симметричными тензорами ранга 2) - это включает в себя общий случай, когда они являются скалярами (для изотропных сред), конечно . Им не нужно${\displaystyle (\mathbf {F} ,\mathbf {G} )=\int \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \,dV}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {G} }$быть действительным - комплексные значения соответствуют материалам с потерями, таким как проводники с конечной проводимостью σ (которая включена в ε через ) - и поэтому теорема взаимности не требует инвариантности относительно обращения времени . Условие симметричности матриц ε и μ почти всегда выполняется; см. исключение ниже.${\displaystyle \varepsilon \rightarrow \varepsilon +i\sigma /\omega }$

Для любого эрмитова оператора под внутренним произведением мы имеем по определению, и теорема взаимности Рэлея-Карсона является просто векторной версией этого утверждения для этого конкретного оператора : то есть . Здесь эрмитовость оператора может быть получена интегрированием по частям . Для конечного объема интегрирования поверхностные члены из этого интегрирования по частям дают более общую теорему об интеграле поверхности, приведенную выше. В частности, ключевым фактом является то, что для векторных полей и интегрирование по частям (или теорема о расходимости ) по объему V, ограниченному поверхностью S, дает тождество:${\displaystyle {\hat {O}}}$${\displaystyle (f,g)\!}$${\displaystyle (f,{\hat {O}}g)=({\hat {O}}f,g)}$${\displaystyle \mathbf {J} ={\hat {O}}\mathbf {E} }$${\displaystyle (\mathbf {E} _{1},{\hat {O}}\mathbf {E} _{2})=({\hat {O}}\mathbf {E} _{1},\mathbf {E} _{2})}$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {G} }$

${\displaystyle \int _{V}\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} )\,dV\equiv \int _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} \,dV-\oint _{S}(\mathbf {F} \times \mathbf {G} )\cdot \mathbf {dA} .}$

Затем это тождество применяется дважды, чтобы получить плюс поверхностный член, что дает соотношение взаимности Лоренца.${\displaystyle (\mathbf {E} _{1},{\hat {O}}\mathbf {E} _{2})}$${\displaystyle ({\hat {O}}\mathbf {E} _{1},\mathbf {E} _{2})}$

Условия и доказательство лоренцевой взаимности с использованием уравнений Максвелла и векторных операций ^[1]

Мы докажем общую форму электромагнитной теоремы взаимности Лоренца, которая утверждает, что поля и, генерируемые двумя разными плотностями синусоидального тока соответственно и одной и той же частоты, удовлетворяют условию ${\displaystyle \mathbf {E} _{1},\mathbf {H} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {E} _{2},\mathbf {H} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {J} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$${\displaystyle \int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right]dV=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\cdot \mathbf {dS} .}$

Возьмем область, в которой диэлектрическая проницаемость и проницаемость могут зависеть от положения, но не от времени. Уравнения Максвелла, записанные в терминах полных полей, токов и зарядов области, описывают электромагнитное поведение области. Два уравнения ротора:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\nabla \times \mathbf {E} &=&-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},\\\nabla \times \mathbf {H} &=&\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}.\end{array}}}$

В условиях постоянной постоянной частоты мы получаем из двух уравнений ротора уравнения Максвелла для периодического по времени случая:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\nabla \times \mathbf {E} &=&-j\omega \mathbf {B} ,\\\nabla \times \mathbf {H} &=&\mathbf {J} +j\omega \mathbf {D} .\end{array}}}$

Следует понимать, что символы в уравнениях в этой статье представляют комплексные множители , дающие синфазную и не синфазную части по отношению к выбранному эталону. Комплексные векторные умножители могут быть названы векторными фазорами по аналогии с комплексными скалярными величинами, которые обычно называются фазорами .${\displaystyle e^{j\omega t}}$${\displaystyle e^{j\omega t}}$

Эквивалентность векторных операций показывает, что

${\displaystyle \mathbf {H} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )-\mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )=\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )}$для всех векторов и .${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {H} }$

Если мы применим эту эквивалентность и получим:${\displaystyle \mathbf {E} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {H} _{2}}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{2}\cdot (\nabla \times \mathbf {E} _{1})-\mathbf {E} _{1}\cdot (\nabla \times \mathbf {H} _{2})=\nabla \cdot (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})}$.

Если продукты в периодических уравнениях взяты, как указано в этой последней эквивалентности, и добавлены,

${\displaystyle -\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mathbf {B} _{1}-\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \mathbf {D} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})}$.

Теперь это можно интегрировать в объем проблемных товаров,

${\displaystyle \int _{V}(\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mathbf {B} _{1}+\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \mathbf {D} _{2}+\mathbf {E} _{1}\mathbf {J} _{2})dV=-\int _{V}\nabla \cdot (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})dV}$.

Из теоремы о расходимости объемный интеграл от равен поверхностному интегралу от по границе.${\displaystyle div(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})}$${\displaystyle \mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}}$

${\displaystyle \int _{V}(\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mathbf {B} _{1}+\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \mathbf {D} _{2}+\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2})dV=-\oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot {\widehat {dS}}}$.

Эта форма действительна для обычных сред, но в общем случае линейных, изотропных, не зависящих от времени материалов является скаляром, не зависящим от времени. Тогда вообще как физические величины и .${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} }$

Последнее уравнение становится

${\displaystyle \int _{V}(\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mu \mathbf {H} _{1}+\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \epsilon \mathbf {E} _{2}+\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2})dV=-\oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot {\widehat {dS}}}$.

Точно аналогичным образом получаем для векторов и следующее выражение:${\displaystyle \mathbf {E} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {H} _{1}}$

${\displaystyle \int _{V}(\mathbf {H} _{1}\cdot j\omega \mu \mathbf {H} _{2}+\mathbf {E} _{2}\cdot j\omega \epsilon \mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {J} _{1})dV=-\oint _{S}(\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot {\widehat {dS}}}$.

Вычитая два последних уравнения по членам, получаем

${\displaystyle \int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right]dV=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\cdot \mathbf {dS} .}$

и эквивалентно в дифференциальной форме

${\displaystyle \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot \left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]}$ qed

Поверхностное аннулирование [ править ]

Сокращение поверхностных членов в правой части теоремы взаимности Лоренца для интегрирования по всему пространству не совсем очевидно, но может быть получено несколькими способами.

Другой простой аргумент заключается в том, что поля стремятся к нулю на бесконечности для локализованного источника, но этот аргумент неверен в случае среды без потерь: в отсутствие поглощения излучаемые поля затухают обратно пропорционально расстоянию, но площадь поверхности интеграла увеличивается с квадратом расстояния, поэтому две ставки уравновешивают друг друга в интеграле.

Вместо этого обычно (например, King, 1963) предполагается, что среда однородна и изотропна на достаточно большом расстоянии. В этом случае излучаемое поле асимптотически принимает форму плоских волн, распространяющихся радиально наружу (в направлении) с и где Z - полное сопротивление окружающей среды. Затем следует то , что с помощью простого векторного тождества равно . Точно так же и два условия отменяют друг друга.${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {E} =0}$${\displaystyle \mathbf {H} ={\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {E} /Z}$ ${\displaystyle {\sqrt {\mu /\epsilon }}}$${\displaystyle \mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}=\mathbf {E} _{1}\times {\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {E} _{2}/Z}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}(\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2})/Z}$${\displaystyle \mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}={\hat {\mathbf {r} }}(\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {E} _{1})/Z}$

Приведенный выше аргумент явно показывает, почему поверхностные члены могут сокращаться, но не имеет общности. В качестве альтернативы можно рассматривать случай окружающей среды без потерь, взяв предел, когда потери (мнимая часть ε) стремятся к нулю. При любых ненулевых потерях поля экспоненциально затухают с расстоянием, и поверхностный интеграл обращается в нуль, независимо от того, является ли среда однородной. Поскольку левая часть теоремы взаимности Лоренца обращается в нуль при интегрировании по всему пространству с любыми ненулевыми потерями, она также должна исчезнуть в пределе, когда потери стремятся к нулю. (Обратите внимание, что мы неявно приняли стандартное граничное условие нулевых волн, приходящих из бесконечности, потому что в противном случае даже бесконечно малые потери исключили бы приходящие волны, а предел не дал бы решения без потерь.)

Взаимность и функция Грина [ править ]

Оператор, обратный оператору , то есть in (который требует указания граничных условий на бесконечности в системе без потерь), имеет ту же симметрию, что и свертка функции Грина, и по сути является сверткой . Итак, другая точка зрения на лоренцеву взаимность заключается в том, что она отражает тот факт, что свертка с электромагнитной функцией Грина является комплексно-симметричной (или антиэрмитовой, ниже) линейной операцией при соответствующих условиях на ε и μ. Более конкретно, функция Грина может быть записана как дающая n -й компонент at от точечного дипольного тока в m -м направлении при (по существу, дает матричные элементы${\displaystyle {\hat {O}}}$${\displaystyle \mathbf {E} ={\hat {O}}^{-1}\mathbf {J} }$${\displaystyle {\hat {O}}}$ ${\displaystyle G_{nm}(\mathbf {x} ',\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {x} '}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\hat {O}}^{-1}}$), а взаимность Рэлея-Карсона эквивалентна утверждению, что . В отличие от этого , как правило, невозможно дать явную формулу для функции Грина (за исключением особых случаев, таких как однородные среды), но она обычно вычисляется численными методами.${\displaystyle G_{nm}(\mathbf {x} ',\mathbf {x} )=G_{mn}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')}$${\displaystyle {\hat {O}}}$

Магнитооптические материалы без потерь [ править ]

Один случай, когда ε не является симметричной матрицей, относится к магнитооптическим материалам, и в этом случае обычное утверждение о лоренцевой взаимности не выполняется (однако см. Обобщение ниже). Если мы допустим магнитооптические материалы, но ограничимся ситуацией, когда материальное поглощение пренебрежимо мало , то ε и μ, как правило, представляют собой комплексные эрмитовы матрицы 3 × 3 . В этом случае оператор эрмиты под конъюгированным скалярным произведением , и вариант теоремы взаимности ^{[ править ]} по- прежнему имеет место:${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}\left(\nabla \times \nabla \times \right)-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon }$${\displaystyle (\mathbf {F} ,\mathbf {G} )=\int \mathbf {F} ^{*}\cdot \mathbf {G} \,dV}$

${\displaystyle -\int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}^{*}\cdot \mathbf {E} _{2}+\mathbf {E} _{1}^{*}\cdot \mathbf {J} _{2}\right]dV=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}^{*}\times \mathbf {H} _{2}+\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}^{*}\right]\cdot \mathbf {dA} }$

где изменение знака происходит от в приведенном выше уравнении, что делает оператор антиэрмитовым (без учета поверхностных членов). Для особого случая это дает переформулировку теоремы сохранения энергии или теоремы Пойнтинга (поскольку здесь мы приняли материалы без потерь, в отличие от вышеупомянутого): средняя по времени скорость работы, выполняемой током (заданная действительной частью ) равен среднему по времени внешнему потоку мощности (интегралу вектора Пойнтинга ). К тому же, однако, поверхностные члены в общем случае не обращаются в нуль, если интегрировать по всему пространству для этого варианта взаимности, поэтому форма Рэлея-Карсона не выполняется без дополнительных предположений.${\displaystyle 1/i\omega }$${\displaystyle {\hat {O}}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}=\mathbf {J} _{2}}$${\displaystyle -\mathbf {J} ^{*}\cdot \mathbf {E} }$

Тот факт, что магнитооптические материалы нарушают взаимность Рэлея-Карсона, является ключом к таким устройствам, как изоляторы Фарадея и циркуляторы . Ток на одной стороне изолятора Фарадея создает поле на другой стороне, но не наоборот.

Обобщение на несимметричные материалы [ править ]

Для комбинации материалов с потерями и магнитооптических материалов и вообще, когда тензоры ε и μ не являются ни симметричными, ни эрмитовыми матрицами, можно получить обобщенную версию лоренцевой взаимности, рассматривая и существуя в разных системах.${\displaystyle (\mathbf {J} _{1},\mathbf {E} _{1})}$${\displaystyle (\mathbf {J} _{2},\mathbf {E} _{2})}$

В частности, если удовлетворяют уравнениям Максвелла в ω для системы с материалами и удовлетворяют уравнениям Максвелла в ω для системы с материалами , где T обозначает транспонирование , то уравнение лоренцевой взаимности выполняется. В дальнейшем это можно обобщить на бианизотропные материалы путем транспонирования полного тензора восприимчивости 6 × 6. ^[2]${\displaystyle (\mathbf {J} _{1},\mathbf {E} _{1})}$${\displaystyle (\varepsilon _{1},\mu _{1})}$${\displaystyle (\mathbf {J} _{2},\mathbf {E} _{2})}$${\displaystyle \left(\varepsilon _{1}^{T},\mu _{1}^{T}\right)}$

Исключения из взаимности [ править ]

Для нелинейных сред обычно не выполняется теорема взаимности. Взаимность также обычно не применяется к изменяющимся во времени («активным») средам; например, когда ε модулируется во времени каким-то внешним процессом. (В обоих случаях частота ω обычно не сохраняется.)

Взаимность Фельда-Тай [ править ]

Теорема тесно связана взаимность была сформулирована независимо друг от друга YA Feld и CT Tai в 1992 году и известна как Фелд-Tai взаимность или Фелд-Tai лемма . Он связывает два локализованных источника тока с гармоникой во времени и результирующие магнитные поля :

${\displaystyle \int \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {H} _{2}\,dV=\int \mathbf {H} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\,dV.}$

Однако лемма Фельда-Тая верна только при гораздо более ограничительных условиях, чем лоренцевская взаимность. Обычно для этого требуются постоянные во времени линейные среды с изотропным однородным импедансом , т. Е. Постоянным скалярным отношением μ / ε, за возможным исключением областей из идеально проводящего материала.

Точнее, взаимность Фельда-Тай требует эрмитовой (или, скорее, комплексно-симметричной) симметрии электромагнитных операторов, как указано выше, но также полагается на предположение, что оператор, связывающий и является постоянным скалярным кратным оператору, связывающему и , который истинно, когда ε является постоянным скалярным кратным μ (два оператора обычно отличаются заменой ε и μ). Как и выше, можно также построить более общую формулировку интегралов по конечному объему.${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle i\omega \mathbf {J} }$${\displaystyle \mathbf {H} }$${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {J} /\varepsilon )}$

Оптическая взаимность в радиометрических терминах [ править ]

Помимо квантовых эффектов, классическая теория охватывает электрические и магнитные явления ближнего, среднего и дальнего полей с произвольным течением времени. Оптика относится к почти синусоидальным колебательным электромагнитным эффектам в дальней зоне. Вместо парных электрических и магнитных переменных, оптика, включая оптическую взаимность, может быть выражена в парных поляризационных радиометрических переменных, таких как спектральная яркость , традиционно называемая удельной интенсивностью .

В 1856 году Герман фон Гельмгольц писал:

«Луч света, исходящий из точки А, достигает точки В после любого количества преломлений, отражений и т. Д. В точке А пусть любые две перпендикулярные плоскости а ₁ , а ₂ будут взяты в направлении луча; и пусть колебания луча можно разделить на две части, по одной в каждой из этих плоскостей. Возьмем аналогичные плоскости b ₁ , b ₂ в луче в точке B ; тогда может быть продемонстрировано следующее утверждение. Если когда количество света J поляризовано в плоскости a ₁ исходит из Aв направлении данного луча, что часть К их света , поляризованного в б ₁ поступает на B , то, наоборот, если количество света J поляризован в б ₁ выручки от B , то же самое количество света K поляризован в ₁ прибудет в A. " ^[3]

Иногда это называют принципом взаимности (или реверсии) Гельмгольца . ^{[4] [5] [6] [7] [8] [9]} Когда волна распространяется через материал, на который действует приложенное магнитное поле, взаимность может быть нарушена, поэтому этот принцип неприменим. ^[3] Точно так же, когда на пути луча есть движущиеся объекты, этот принцип может быть совершенно неприменим. Исторически сложилось так, что в 1849 году сэр Джордж Стоукс сформулировал свой принцип оптической реверсии, не обращая внимания на поляризацию. ^{[10] [11] [12]}

Подобно принципам термодинамики, этот принцип достаточно надежен, чтобы использовать его для проверки правильности проведения экспериментов, в отличие от обычной ситуации, в которой эксперименты являются проверкой предложенного закона. ^{[13] [14]}

Самая простая формулировка этого принципа - «если я тебя вижу, то и ты меня видишь». Этот принцип был использован Густавом Кирхгофом при выводе закона теплового излучения и Максом Планком при анализе своего закона теплового излучения .

Для алгоритмов глобального освещения с отслеживанием лучей входящий и исходящий свет можно рассматривать как инверсию друг друга, не влияя на результат функции двунаправленного распределения отражательной способности (BRDF). ^[14]

Взаимность Грина [ править ]

В то время как вышеупомянутые теоремы взаимности были для осциллирующих полей, взаимность Грина является аналогичной теоремой для электростатики с фиксированным распределением электрического заряда (Panofsky and Phillips, 1962).

В частности, пусть обозначает электрический потенциал, возникающий в результате общей плотности заряда . Электрический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона , где это вакуумная диэлектрическая проницаемость . Аналогично, пусть обозначает электрический потенциал, возникающий в результате общей плотности заряда , удовлетворяющей . В обоих случаях мы предполагаем, что распределения заряда локализованы, так что потенциалы могут быть выбраны так, чтобы они уходили в нуль на бесконечности. Затем теорема взаимности Грина утверждает, что для интегралов по всему пространству:${\displaystyle \phi _{1}}$${\displaystyle \rho _{1}}$${\displaystyle -\nabla ^{2}\phi _{1}=\rho _{1}/\varepsilon _{0}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle \phi _{2}}$${\displaystyle \rho _{2}}$${\displaystyle -\nabla ^{2}\phi _{2}=\rho _{2}/\varepsilon _{0}}$

${\displaystyle \int \rho _{1}\phi _{2}dV=\int \rho _{2}\phi _{1}dV.}$

Эта теорема легко доказывается из второго тождества Грина . Эквивалентно, это утверждение , то есть это эрмитов оператор (следующим образом путем двукратного интегрирования по частям).${\displaystyle \int \phi _{2}(\nabla ^{2}\phi _{1})dV=\int \phi _{1}(\nabla ^{2}\phi _{2})dV}$${\displaystyle \nabla ^{2}}$

Ссылки [ править ]

• Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред (Аддисон-Уэсли: Ридинг, Массачусетс, 1960). §89.
• Ронольд В.П. Кинг , Фундаментальная электромагнитная теория (Довер: Нью-Йорк, 1963). §IV.21.
• К. Альтман и К. Сой. Взаимность, пространственное отображение и обращение времени в электромагнетизме (Kluwer: Dordrecht, 1991).
• HA Lorentz, «Теорема Пойнтинга об энергии в электромагнитном поле и два общих положения относительно распространения света», ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} Amsterdammer Akademie der Wetenschappen 4 стр. 176 (1896 г.).
• Р. Дж. Поттон, "Взаимность в оптике", Reports on Progress in Physics 67 , 717-754 (2004). (Обзорная статья по истории этой темы.)
• Дж. Р. Карсон, "Обобщение теоремы взаимности", Bell System Technical Journal 3 (3), 393-399 (1924). Также Дж. Р. Карсон, «Теорема взаимной энергии», там же . 9 (4), 325-331 (1930).
• Я. Фельд Н. О квадратичной лемме в электродинамике // Докл. Phys — Докл. 37 , 235-236 (1992).
• К.-Т. Тай, "Дополнительные теоремы взаимности в теории электромагнетизма", IEEE Trans. Антенны Проп. 40 (6), 675-681 (1992).
• Вольфганг К. Х. Панофски и Мельба Филлипс, Классическое электричество и магнетизм (Addison-Wesley: Reading, MA, 1962).
• Виктор Асадчий, Мохаммад С. Мирмуза, Ана Диас-Рубио, Шанхуэй Фан, Сергей А. Третьяков, Учебное пособие по электромагнитной невзаимности и ее происхождению, arXiv: 2001.04848 (2020).

Цитаты [ править ]