Уменьшенный продукт

В модельной теории филиала математической логики , и в алгебре , то восстановленный продукт представляет собой конструкцию, обобщающую как прямое произведение и ультрапроизведение .

Пусть { S _i  | я  ∈  I } семейство структур той же сигнатуры сг индексированного множества I , и пусть U быть фильтр на I . Область приведенного произведения - это фактор декартова произведения

${\ Displaystyle \ prod _ {я \ в I} S_ {я}}$

определенным отношением эквивалентности ~: два элемента ( a _i ) и ( b _i ) декартова произведения эквивалентны, если

${\ displaystyle \ left \ {i \ in I: a_ {i} = b_ {i} \ right \} \ in U}$

Если U содержит только I в качестве элемента, отношение эквивалентности тривиально, и сокращенное произведение является просто исходным декартовым произведением. Если U представляет собой ультрафильтр , восстановленный продукт является сверхпродуктом.

Операции из σ интерпретируются на редуцированном произведении путем поточечного применения операции. Отношения интерпретируются

${\ displaystyle R ((a_ {i} ^ {1}) / {\ sim}, \ dots, (a_ {i} ^ {n}) / {\ sim}) \ iff \ {i \ in I \ mid R ^ {S_ {i}} (a_ {i} ^ {1}, \ dots, a_ {i} ^ {n}) \} \ в U.}$

Например, если каждая структура является векторным пространством , то приведенный продукт является векторным пространством с сложением, определенным как ( a  +  b ) _i  =  a _i  +  b _i, и умножением на скаляр c как ( ca ) _i =  c a _i .

Ссылки [ править ]

• Чанг, Чен Чунг ; Кейслер, Х. Джером (1990) [1973]. Теория моделей . Исследования по логике и основам математики (3-е изд.). Эльзевир. ISBN 978-0-444-88054-3., Глава 6.

Эта статья по математической логике - незавершенная . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . v т е