В области математики , известная как алгебраическая топология , то последовательность Гизина является длинным точной последовательностью , которая связывает классы когомологий на базовое пространстве , волокно и общего пространство в виде сферического расслоения . Последовательность Гизина - полезный инструмент для вычисления колец когомологий с учетом класса Эйлера расслоения сфер и наоборот. Он был введен Гайсиным ( 1942 ) и обобщен спектральной последовательностью Серра .
Определение [ править ]
Рассмотрим расслоение сфер, ориентированное на слои, с полным пространством E , базовым пространством M , слоем S k и отображением проекции :
Любое такое расслоение определяет класс когомологий e степени k + 1, называемый классом Эйлера расслоения.
Когомологии де Рама [ править ]
Обсуждение последовательности наиболее ясно в когомологиях де Рама . Там классы когомологий представлены дифференциальными формами , так что e можно представить ( k + 1) -формой.
Отображение проекции индуцирует отображение в когомологиях, называемое обратным возвратом.
В случае пучка волокон можно также определить прямую карту
который действует путем послойного интегрирования дифференциальных форм на ориентированной сфере - обратите внимание, что это отображение идет «неправильным путем» : это ковариантное отображение между объектами, связанными с контравариантным функтором.
Гайсин доказал, что следующая длинная точная последовательность
где - клиновидное произведение дифференциальной формы с классом Эйлера e .
Интегральные когомологии [ править ]
Последовательность Гизина - это длинная точная последовательность не только для когомологий де Рама дифференциальных форм, но и для когомологий с целыми коэффициентами. В интегральном случае нужно заменить произведение клина классом Эйлера на произведение чашки , и карта прямого продвижения больше не соответствует интегрированию.
Гомоморфизм Гизина в алгебраической геометрии [ править ]
Пусть i : X → Y - (замкнутое) регулярное вложение коразмерности d , Y ' → Y - морфизм и i ' : X ' = X × Y Y ' → Y ' - индуцированное отображение. Пусть N - возврат нормального расслоения i к X ' . Тогда уточненный гомоморфизм Гизина i ! относится к составу
где
- σ - гомоморфизм специализации ; который посылает K - мерное подмногообразие V к нормальному конусу к пересечению V и X ' в V . Результат лежит через N через .
- Второе отображение - это (обычный) гомоморфизм Гизина, индуцированный вложением нулевого сечения .
Гомоморфизм i ! кодирует пересечение продукт в теории пересечений в том , что один либо шоу или определяет пересечение произведение X и V , как: [1]
Пример : Учитывая векторное расслоение Е , пусть S : X → E будет раздел Е . Затем, когда с является регулярным раздела , является классом нулевого локуса с , где [ X ] является фундаментальным классом из X . [2]
См. Также [ править ]
- Логарифмическая форма
- Последовательность Ванга
Заметки [ править ]
- ^ Fulton 1998 , Пример 6.2.1 ..
- Перейти ↑ Fulton 1998 , Proposition 14.1. (c).
Источники [ править ]
- Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Тексты для выпускников по математике, Springer-Verlag, ISBN 978-038790613-3
- Фултон, Уильям (1998), теория пересечений , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-1700-8 , ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323
- Гайсин, Вернер (1942), "Zur Homologietheorie der Abbildungen und Faserungen von Mannigfaltigkeiten" , Commentarii Mathematici Helvetici , 14 : 61–122, doi : 10.1007 / bf02565612 , ISSN 0010-2571 , MR 0006511