Рефлексивное пространство

В области математики, известной как функциональный анализ , рефлексивное пространство - это локально выпуклое топологическое векторное пространство (TVS), такое что каноническое отображение оценки из X в его двузначное (которое является сильным двойником сильного двойственного X ) является изоморфизмом. ТВС. Поскольку нормируемым ТВС рефлексивно тогда и только тогда , когда это пол-рефлексивное , каждое нормированное пространство (и так , в частности, каждое банахово пространство ) X рефлексивно тогда и только тогда , когда каноническое отображение оценки из X в его бидуальный являетсясюръективный ; в этом случае нормированное пространство обязательно также является банаховым пространством. Следует отметить , что в 1951 году RC Джеймс обнаружил нон -reflexive банахово пространство, которое изометрически изоморфно своему бидуальных (любой такой изоморфизм является , таким образом , обязательно не каноническое отображение оценки).

Рефлексивные пространства играют важную роль в общей теории локально выпуклых ТВП и в теории банаховых пространств в частности. Гильбертовы пространства являются яркими примерами рефлексивных банаховых пространств. Рефлексивные банаховы пространства часто характеризуются своими геометрическими свойствами.

Определение [ править ]

Определение бидуала

Предположим , что Х представляет собой топологическое векторное пространство (ТВС) над полем (который является либо действительные или комплексные числа) , чьи непрерывные сопряженное пространство , , разделяет точки на X (то есть, для любого х в Х существует некоторое такое , что ). Пусть и как Обозначим сильное сопряженное из X , что векторное пространство непрерывных линейных функционалов на X , наделенное топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножеств из X${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle X '}$${\ displaystyle x '\ in X'}$${\ Displaystyle х '(х) \ neq 0}$${\ displaystyle X '_ {b}}$${\ displaystyle X '_ {\ beta}}$${\ displaystyle X '}$; эту топологию также называют сильной двойственной топологией, и это топология «по умолчанию», размещенная в непрерывном двойном пространстве (если не указана другая топология). Если X - нормированное пространство, то сильное двойственное к X - непрерывное сопряженное пространство с его обычной топологией нормы. Бидуальный из X , обозначается , является сильным сопряженным ; то есть это пространство . ^[1] Если X - нормированное пространство, то является непрерывным сопряженным пространством банахова пространства с его обычной топологией нормы. ${\ displaystyle X '}$${\ displaystyle X ''}$${\ displaystyle X '_ {b}}$${\ displaystyle \ left (X '_ {b} \ right)' _ {b}}$${\ displaystyle X ''}$${\ displaystyle X '_ {b}}$

Определения оценочной карты и рефлексивных пространств

Для любого x ∈ X , пусть будет определено как , где J _x - линейное отображение, называемое оценочным отображением в x ; поскольку обязательно непрерывно, отсюда следует, что . Поскольку разделяет точки на X , линейная карта, определяемая с помощью , инъективна, где эта карта называется оценочной картой или канонической картой . Мы называем X полурефлексивным, если оно биективно (или, что эквивалентно, сюръективно ), и называем X рефлексивным, если вдобавок является изоморфизмом TVS. ^[1]${\ displaystyle J_ {x}: X '\ to \ mathbb {F}}$${\ Displaystyle J_ {х} \ влево (х '\ справа) = х' (х)}$${\ displaystyle J_ {x}: X '_ {b} \ to \ mathbb {F}}$${\ displaystyle J_ {x} \ in \ left (X '_ {b} \ right)'}$${\ displaystyle X '}$${\ Displaystyle J: X \ к \ left (X '_ {b} \ right)'}$${\ displaystyle J (x): = J_ {x}}$ ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle J:X\to X''=\left(X'_{b}\right)'_{b}}$Нормируемое пространство рефлексивно тогда и только тогда , когда она является полом-рефлексивной или , что эквивалентно, если и только если карта оценки сюръективна.

Полурефлексивные пробелы [ править ]

Характеристики [ править ]

Если X - хаусдорфово локально выпуклое пространство, то следующие утверждения эквивалентны:

1. X - полурефлексивный;
2. слабая топология на X обладала свойством Гейне-Бореля (т. е. для слабой топологии каждое замкнутое и ограниченное подмножество в является слабо компактным). ^[1]${\displaystyle \sigma \left(X,X'\right)}$${\displaystyle X_{\sigma }}$
3. Если линейная форма на той непрерывной, когда имеет сильную двойственную топологию, то она непрерывна, когда имеет слабую топологию; ^[2]${\displaystyle X'}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X'}$
4. ${\displaystyle X'_{\tau }}$ствольный; ^[2]
5. X слабая слабая топология является квази-полной . ^[2]${\displaystyle \sigma \left(X,X'\right)}$

Рефлексивные пространства [ править ]

Характеристики [ править ]

Если X - хаусдорфово локально выпуклое пространство, то следующие утверждения эквивалентны:

1. X рефлексивен;
2. X - полурефлексивный и непонятный ; ^[3]
3. Х является полурефлексивным и стволом ;
4. X является бочкообразным, а слабая топология на X обладает свойством Гейне-Бореля (т. Е. Для слабой топологии каждое замкнутое и ограниченное подмножество является слабо компактным). ^[1]${\displaystyle \sigma \left(X,X'\right)}$${\displaystyle X_{\sigma }}$
5. X является полурефлексивным и квазибаррелевым . ^[4]

Если X - нормированное пространство, то следующие утверждения эквивалентны:

1. X рефлексивен;
2. замкнутый единичный шар компактен, когда X имеет слабую топологию . ^[5]${\displaystyle \sigma \left(X,X'\right)}$
3. X - банахово пространство и рефлексивно. ^[6]${\displaystyle X'_{b}}$
4. Каждая последовательность , с , непустых замкнутых ограниченных выпуклых подмножеств X имеет непустое пересечение. ^[7]${\displaystyle \{C_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle C_{n+1}\subset C_{n}\forall n}$

Теорема : ^[8] Вещественное банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда каждая пара непустых непересекающихся замкнутых выпуклых подмножеств, одно из которых ограничено, может быть строго разделена гиперплоскостью .

Теорема Джеймс : A банахово пространство B рефлексивно тогда и только тогдакогда каждый непрерывный линейный функционал на B достигает своего супремума на замкнутом единичном шаре в B .

Достаточные условия [ править ]

• Замкнутое векторное подпространство рефлексивного банахова пространства рефлексивно. ^[3]
• Пусть X банахово пространство и М замкнутое векторное подпространство в X . Если два из X , M и X / M рефлексивны, то все они рефлексивны. ^[3]
  • Вот почему рефлексивность называют свойством трех пространств . ^[3]
• Сильное дуальное к рефлексивному пространству рефлексивно. ^[9]
• Если бочкообразное локально выпуклое хаусдорфово пространство полурефлексивно, то оно рефлексивно. ^[1]
• Нормированное пространство, которое является полурефлексивным, является рефлексивным банаховым пространством. ^[10]
• Каждое пространство Montel рефлексивно. ^[5]
• Сильным двойственным пространством Монтеля является пространство Монтеля (и, следовательно, рефлексивно). ^[5]

Контрпримеры [ править ]

• Существует нерефлексивная локально выпуклая TVS, сильная двойственная которой рефлексивна. ^[11]

Свойства [ править ]

• Локально выпуклое рефлексивное пространство Хаусдорфа является бочкообразным .
• Если X - нормированное пространство, то это изометрия на замкнутое подпространство в . ^[10] Эта изометрия может быть выражена следующим образом:${\displaystyle I:X\to X^{\prime \prime }}$${\displaystyle X^{\prime \prime }}$

  ${\displaystyle \|x\|=\sup _{x'\in X',\|x'\|\leq 1}\left|\left\langle x',x\right\rangle \right|.}$

• Предположим, что X - нормированное пространство и его бидуальное пространство снабжено бидуальной нормой. Тогда единичный шар X , плотно в единичном шаре в слабой топологии . ^[10]${\displaystyle X''}$${\displaystyle I\left(\{x\in X:\|x\|\leq 1\}\right)}$${\displaystyle \left\{x''\in X'':\|x''\|\leq 1\right\}}$${\displaystyle X''}$${\displaystyle \sigma \left(X'',X'\right)}$

Рефлексивные банаховы пространства [ править ]

Предположим , это нормированное векторное пространство над числовым полем или ( действительными или комплексными числами ) с нормой . Рассмотрим его дуальное нормированное пространство , состоящее из всех непрерывных линейных функционалов и снабженное двойственной нормой, определяемой формулой${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle f:X\to {\mathbb {F} }}$ ${\displaystyle \|\cdot \|'}$

${\displaystyle \|f\|'=\sup\{|f(x)|\,:\,x\in X,\ \|x\|=1\}.}$

Дуальное - это нормированное пространство ( точнее, банахово пространство ), а его дуальное нормированное пространство называется двумерным пространством для . Двуал состоит из всех непрерывных линейных функционалов и снабжен нормой, двойственной к . Каждый вектор порождает скалярную функцию по формуле:${\displaystyle X'}$${\displaystyle X''=(X')'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle h:X'\to {\mathbb {F} }}$${\displaystyle \|\cdot \|''}$${\displaystyle \|\cdot \|'}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle J(x):X'\to {\mathbb {F} }}$

${\displaystyle J(x)(f)=f(x),\qquad f\in X',}$

и является непрерывным линейным функционалом на , т . е .. Таким образом получается карта${\displaystyle J(x)}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle J(x)\in X''}$

${\displaystyle J:X\to X''}$

называется оценочной картой , то есть линейной. Это следует из теоремы Хана-Банаха , что инъективна и сохраняет нормы:${\displaystyle J}$

${\displaystyle \forall x\in X\qquad \|J(x)\|''=\|x\|,}$

т.е. , отображает изометрически на его образ в . Кроме того, изображение закрыто , но не обязательно .${\displaystyle J}$${\displaystyle X}$${\displaystyle J(X)}$${\displaystyle X''}$${\displaystyle J(X)}$${\displaystyle X''}$${\displaystyle X''}$

Нормированное пространство называется рефлексивным, если оно удовлетворяет следующим эквивалентным условиям:${\displaystyle X}$

1. карта оценки является сюръективной ,${\displaystyle J:X\to X''}$
2. оценочное отображение является изометрическим изоморфизмом нормированных пространств,${\displaystyle J:X\to X''}$
3. оценочное отображение является изоморфизмом нормированных пространств.${\displaystyle J:X\to X''}$

Рефлексивное пространство - это банахово пространство, поскольку тогда оно изометрично банахову пространству .${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X''}$

Замечание [ править ]

Банахово пространство X рефлексивно , если оно линейно изометрично его бидуальный при этом каноническом вложении J . Пространство Джеймса является примером нерефлексивного пространства, которое линейно изометрично своему бидуалу . Более того, образ пространства Джеймса при каноническом вложении J имеет коразмерность один в своем бидуале.^[12] Банахово пространство  X называется квази-рефлексивный (порядка д ) , если фактор Х  '' /  J ( Х ) имеет конечную размерность д .

Примеры [ править ]

1. Каждое конечномерное нормированное пространство является рефлексивным просто потому, что в этом случае пространство, его двойственное и двуединое пространство имеют одну и ту же линейную размерность, следовательно, линейная инъекция J из определения биективна по теореме ранга – недействительности .
2. Банахово пространство c 0 скалярных последовательностей, стремящихся к 0 на бесконечности, снабженное нормой супремума, не рефлексивно. Это следует из общих свойств ниже этого ℓ 1 и л ∞ не является рефлексивным, поскольку ℓ ¹ изоморфен двойственным с ₀ , и л ^∞ изоморфна двойственное  л ¹ .
3. Все гильбертовы пространства рефлексивны, как и пространства L p для 1 < p <∞ . В более общем смысле: все равномерно выпуклые банаховы пространства рефлексивны согласно теореме Мильмана – Петтиса . Пространства L ¹ ( μ ) и L ^∞ ( μ ) не являются рефлексивными (если они не конечномерны, что происходит, например, когда μ является мерой на конечном множестве). Точно так же банахово пространство C ([0, 1]) непрерывных функций на [0, 1] не рефлексивно.
4. Пространства S _p ( H ) операторов класса Шаттена в гильбертовом пространстве H равномерно выпуклы, а значит, рефлексивны, когда 1 < p <∞ . Когда размерность H бесконечна, то S ₁ ( H ) ( класс следов ) не рефлексивен, потому что он содержит подпространство, изоморфное ℓ ¹ , и S _∞ ( H ) = L ( H ) (ограниченные линейные операторы на  H ) не рефлексивно, так как содержит подпространство, изоморфное ℓ^∞ . В обеих случаях подпространство может быть выбрано операторами диагональных по отношению к данной ортонормированной основе  H .

Свойства [ править ]

Если банахово пространство Y изоморфно рефлексивному банахову пространству X , то Y рефлексивно. ^[13]

Каждое замкнутое линейное подпространство рефлексивного пространства рефлексивно. Непрерывное двойственное рефлексивному пространству рефлексивно. Каждый фактор рефлексивного пространства по замкнутому подпространству рефлексивен. ^[14]

Пусть X - банахово пространство. Следующие варианты эквивалентны.

1. Пространство X рефлексивно.
2. Непрерывное двойственное X рефлексивно. ^[15]
3. Замкнутый единичный шар X является компактным в слабой топологии . (Это известно как теорема Какутани.) ^[16]
4. Каждая ограниченная последовательность в X имеет слабо сходящуюся подпоследовательность. ^[17]
5. Каждый непрерывный линейный функционал на X достигает своей верхней грани на замкнутом единичном шаре в  X . ^[18] ( теорема Джеймса )

Поскольку замкнутые по норме выпуклые подмножества в банаховом пространстве слабо замкнуты, ^[19] из третьего свойства следует, что замкнутые ограниченные выпуклые подмножества рефлексивного пространства  X слабо компактны. Таким образом, для любой убывающей последовательности непустых замкнутых ограниченных выпуклых подмножеств  X пересечение непусто. Как следствие, любая непрерывная выпуклая функция f на замкнутом выпуклом подмножестве C в  X такая, что множество

${\displaystyle C_{t}=\{x\in C\,:\,f(x)\leq t\}}$

не пусто и ограничено для некоторого вещественного числа  т , достигает своего минимального значения на  C .

Обещанное геометрическое свойство рефлексивных банаховых пространств следующее: если C - замкнутое непустое выпуклое подмножество рефлексивного пространства X , то для каждого x в X существует  c в  C такое, что ǁ x - c ǁ минимизирует расстояние между й и точками  C . Это следует из предыдущего результата для выпуклых функций, примененного к f ( y ) = ǁ y - x ǁ . Обратите внимание, что в то время как минимальное расстояние между xи C однозначно определяется x , точка c - нет. Ближайшая точка c единственна, когда X равномерно выпукло.

Рефлексивное банахово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда его непрерывное двойственное пространство сепарабельно. Это следует из того факта , что для любого нормированного пространства  Y , Сепарабельность непрерывного двойного Y  ' подразумевает разделяемость из Y . ^[20]

Суперрефлексивное пространство [ править ]

Неформально суперрефлексивное банахово пространство X обладает следующим свойством: для произвольного банахова пространства  Y , если все конечномерные подпространства  Y имеют очень похожую копию, сидящую где-то в  X , то Y должно быть рефлексивным. По этому определению само пространство X должно быть рефлексивным. В качестве элементарного примера: каждое банахово пространство  Y , двумерные подпространства которого изометричны подпространствам X = ℓ ^2, удовлетворяет закону параллелограмма , следовательно ^[21] Y является гильбертовым пространством, поэтому Yрефлексивно. Так л ² супер-рефлексивный.

Формальное определение использует не изометрии, а почти изометрии. Банахово пространство Y является конечно представима ^[22] в пространстве Банаха X , если для любого конечного подпространства Y ₀ из Y и любого е > 0 , существует подпространство Х ₀ из X такой , что мультипликативный Банаха-Мазура между X ₀ и Y ₀ удовлетворяет

${\displaystyle d(X_{0},Y_{0})<1+\varepsilon .}$

Банахово пространство конечно представима в л ² является гильбертовым. Каждое банахово пространство конечно представимо в c ₀ . Пространство L р ([0, 1]) является конечно представим в  л ^р .

Банахово пространство X является супер-рефлексивной , если все банаховы пространства Y конечно представимых в  X рефлексивно, или, другими словами, если не нерефлексивно пространство Y не является конечным представимо в  X . Понятие ультрапроизведения семейства банаховых пространств ^[23] позволяет дать краткое определение: банахово пространство X является суперрефлексивным, когда его сверхстепени рефлексивны.

Джеймс доказал, что пространство суперрефлексивно тогда и только тогда, когда его двойственное суперрефлексивно. ^[22]

Конечные деревья в банаховых пространствах [ править ]

Одна из характеристик суперрефлексивности Джеймса использует рост отдельных деревьев. ^[24] Описание векторного двоичного дерева начинается с корневого двоичного дерева, помеченного векторами: дерево высоты  n в банаховом пространстве X - это семейство из 2 ^{n  + 1} - 1 векторов  X , которые могут быть последовательно организованы уровни, начиная с уровня 0, который состоит из одного вектора  x _∅ , корня дерева, за которым для k = 1,…, n следует семейство из 2 ^k векторов, образующих уровень  k :

${\displaystyle \{x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k}}\},\quad \varepsilon _{j}=\pm 1,\quad j=1,\ldots ,k,}$

которые являются потомками вершин уровня  k - 1 . В дополнение к древовидной структуре здесь требуется, чтобы каждый вектор, который является внутренней вершиной дерева, был средней точкой между двумя его дочерними элементами:

${\displaystyle x_{\emptyset }={\frac {x_{1}+x_{-1}}{2}},\quad x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k}}={\frac {x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},1}+x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},-1}}{2}},\quad 1\leq k<n.}$

Для положительного действительного числа  t дерево называется t -разделимым, если для каждой внутренней вершины два дочерних элемента t- разделены в данной пространственной норме:

${\displaystyle \|x_{1}-x_{-1}\|\geq t,\quad \|x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},1}-x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},-1}\|\geq t,\quad 1\leq k<n.}$

Теорема. ^[24] Банахово пространство X суперрефлексивно тогда и только тогда, когда для каждого t ∈ (0, 2] существует такое число n ( t ), что каждое t- разделенное дерево, содержащееся в единичном шаре  X, имеет высоту меньше чем  n ( t ).

Равномерно выпуклые пространства суперрефлексивны. ^[24] Пусть X равномерно выпукло, с модулем выпуклости δ _X, и пусть  t - действительное число в  (0, 2] . По свойствам модуля выпуклости t- разделенное дерево высоты  n , содержащееся в единичный шар, должен иметь все точки уровня  n - 1, содержащиеся в шаре радиуса 1 - δ _X ( t ) <1 . По индукции следует, что все точки уровня  n - j содержатся в шаре радиуса

${\displaystyle (1-\delta _{X}(t))^{j},\ j=1,\ldots ,n.}$

Если бы высота n была настолько большой, что

${\displaystyle (1-\delta _{X}(t))^{n-1}<t/2,}$

тогда две точки x ₁ , x ₋₁ первого уровня не могут быть t- разделены, что противоречит предположению. Это дает требуемую оценку  n ( t ), функцию только от δ _X ( t ).

Используя древовидную характеризацию, Энфло доказал ^[25], что суперрефлексивные банаховы пространства допускают эквивалентную равномерно выпуклую норму. Деревья в банаховом пространстве - это особый пример векторнозначных мартингалов . Добавив техники из скалярной теории мартингалов, Пизье улучшил результат Энфло, показав ^[26], что суперрефлексивное пространство  X допускает эквивалентную равномерно выпуклую норму, для которой удовлетворяет модуль выпуклости, для некоторой постоянной  c > 0 и некоторого действительного числа  q ≥ 2 ,

${\displaystyle \delta _{X}(t)\geq c\,t^{q},\quad t\in [0,2].}$

Рефлексивные локально выпуклые пространства [ править ]

Понятие рефлексивного банахова пространства можно обобщить на топологические векторные пространства следующим образом.

Позвольте быть топологическим векторным пространством над числовым полем ( действительных чисел или комплексных чисел ). Рассмотрим его сильное сопряженное пространство , состоящее из всех непрерывных линейных функционалов и снабженное сильной топологией , т. Е. Топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах в . Пространство является топологическим векторным пространством (точнее, локально выпуклым пространством), поэтому можно рассматривать его сильное двойственное пространство , которое называется сильным двумерным пространством для . Он состоит из всех непрерывных линейных функционалов и снабжен сильной топологией${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X'_{\beta }}$ ${\displaystyle f:X\to {\mathbb {F} }}$ ${\displaystyle \beta (X',X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X'_{\beta }}$${\displaystyle (X'_{\beta })'_{\beta }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle h:X'_{\beta }\to {\mathbb {F} }}$${\displaystyle \beta ((X'_{\beta })',X'_{\beta })}$. Каждый вектор генерирует карту по следующей формуле:${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle J(x):X'_{\beta }\to {\mathbb {F} }}$

${\displaystyle J(x)(f)=f(x),\qquad f\in X'.}$

Это непрерывный линейный функционал на , то есть , . Получается карта, называемая оценочной картой :${\displaystyle X'_{\beta }}$${\displaystyle J(x)\in (X'_{\beta })'_{\beta }}$

${\displaystyle J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }.}$

Эта карта линейна. Если локально выпукло, из Хана-Банаха теорема вытекает , что инъективна и открытым (т.е. для каждой окрестности нуля в существует окрестность нуля в такой , что ). Но он может быть несюръективным и / или прерывистым.${\displaystyle X}$${\displaystyle J}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle (X'_{\beta })'_{\beta }}$${\displaystyle J(U)\supseteq V\cap J(X)}$

Локально выпуклое пространство называется ${\displaystyle X}$

• полурефлексивным, если оценочная карта сюръективна (следовательно, биективна),${\displaystyle J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }}$
• рефлексивно, если оценочное отображение сюръективно и непрерывно (в этом случае является изоморфизмом топологических векторных пространств ^[27] ).${\displaystyle J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }}$${\displaystyle J}$

Теорема. ^[28] Локально выпуклое хаусдорфово пространство полурефлексивно тогда и только тогда, когда с -топологией обладает свойством Гейне – Бореля (т. Е. Слабо замкнутые и ограниченные подмножества являются слабо компактными).${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma (X,X^{*})}$${\displaystyle X}$

Теорема. ^{[29] [30]} Локально выпуклое пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда оно полурефлексивно и имеет бочки .${\displaystyle X}$

Теорема. ^[31] Сильное дуальное к полурефлексивному пространству является бочкообразным.

Примеры [ править ]

1. Каждое конечномерное хаусдорфово топологическое векторное пространство рефлексивно, потому что J биективно по линейной алгебре и потому что существует единственная хаусдорфова топология векторного пространства на конечномерном векторном пространстве.
2. Нормированное пространство рефлексивно как нормированное пространство тогда и только тогда, когда оно рефлексивно как локально выпуклое пространство. Это следует из того факта, что для нормированного пространства его двойственное нормированное пространство совпадает как топологическое векторное пространство с сильным сопряженным пространством . Как следствие, оценочная карта совпадает с оценочной картой , и следующие условия становятся эквивалентными:${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X'_{\beta }}$${\displaystyle J:X\to X''}$${\displaystyle J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }}$
   1. ${\displaystyle X}$является рефлексивным нормированным пространством (т.е. является изоморфизмом нормированных пространств),${\displaystyle J:X\to X''}$
   2. ${\displaystyle X}$является рефлексивным локально выпуклым пространством (т.е. является изоморфизмом топологических векторных пространств ^[27] ),${\displaystyle J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }}$
   3. ${\displaystyle X}$является полурефлексивным локально выпуклым пространством (т. е. сюръективным).${\displaystyle J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }}$
3. Пример (несколько искусственный) полурефлексивного пространства, которое не является рефлексивным, получается следующим образом: пусть Y - бесконечномерное рефлексивное банахово пространство, и пусть X - топологическое векторное пространство ( Y , σ ( Y , Y  ')) , то есть векторное пространство Y со слабой топологией. Тогда непрерывные двойственные к X и Y  ′ являются одним и тем же набором функционалов, а ограниченные подмножества X ( т. Е. Слабо ограниченные подмножества  Y ) ограничены по норме, следовательно, банахово пространство Y  ′является сильным сопряженным  X . Поскольку Y рефлексивно, непрерывный двойственный к X  ′ = Y  ′ равен образу J ( X ) X при каноническом вложении J , но топология на X (слабая топология  Y ) не является сильной топологией β ( X , X  ') , которая равна нормированной топологии Y .
4. Пространства Монтеля - это рефлексивные локально выпуклые топологические векторные пространства. В частности, следующие функциональные пространства, часто используемые в функциональном анализе, являются рефлексивными локально выпуклыми пространствами: ^[32]
   • пространство гладких функций на произвольном (вещественном) гладком многообразии и его сильно дуальное пространство распределений с компактным носителем на ,${\displaystyle C^{\infty }(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (C^{\infty })'(M)}$${\displaystyle M}$
   • пространство гладких функций с компактным носителем на произвольном (вещественном) гладком многообразии и его сильно дуальное пространство распределений на ,${\displaystyle {\mathcal {D}}(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(M)}$${\displaystyle M}$
   • пространство голоморфных функций на произвольном комплексном многообразии и его строго сопряженное пространство аналитических функционалов на ,${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {O}}'(M)}$${\displaystyle M}$
   • Шварца на , и его сильное сопряженное пространство обобщенных функций на .${\displaystyle {\mathcal {S}}({\mathbb {R} }^{n})}$${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}'({\mathbb {R} }^{n})}$${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$

Другие типы рефлексивности [ править ]

Стереотипное пространство или полярное рефлексивное пространство определяется как топологическое векторное пространство, удовлетворяющее аналогичному условию рефлексивности, но с топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных подмножествах (вместо ограниченных подмножеств) в определении двойственного пространства X '. Точнее, топологическое векторное пространство называется полярно-рефлексивным ^[33] или стереотипным, если оценка отображается во второе дуальное пространство${\displaystyle X}$

${\displaystyle J:X\to X^{\star \star },\quad J(x)(f)=f(x),\quad x\in X,\quad f\in X^{\star }}$

является изоморфизмом топологических векторных пространств. ^[27] Здесь стереотипное двойственное пространство определяется как пространство непрерывных линейных функционалов, наделенных топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах в (а стереотипное второе двойственное пространство является пространством, двойственным к в том же смысле).${\displaystyle X^{\star }}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\star \star }}$${\displaystyle X^{\star }}$

В отличие от классических рефлексивных пространств класс стереотипных пространств Ste очень широк (он содержит, в частности, все пространства Фреше и, следовательно, все банаховы пространства ), он образует замкнутую моноидальную категорию и допускает стандартные операции (определенные внутри Ste ) построения новых пространств, таких как взятие замкнутых подпространств, фактор-пространств, проективных и инъективных пределов, пространства операторов, тензорных произведений и т. Д. Категория Ste имеет приложения в теории двойственности для некоммутативных групп.

Аналогичным образом можно заменить класс ограниченных (и вполне ограниченных) подмножеств в X в определении сопряженного пространства X 'другими классами подмножеств, например, классом компактных подмножеств в X - пространствами, определяемыми соответствующими условие рефлексивности называются светоотражающие , ^{[34] [35]} , и они образуют еще более широкий класс , чем Ste , но не ясно (2012), является ли данный класс образует категорию со свойствами , аналогичными Ste .

См. Также [ править ]

• Обобщением, которое обладает некоторыми свойствами рефлексивных пространств и включает много пространств, имеющих практическое значение, является концепция пространства Гротендика .
• Рефлексивная операторная алгебра

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бернардес-младший, Нильсон К. (2012), О вложенных последовательностях выпуклых множеств в банаховых пространствах , 389 , Журнал математического анализа и приложений, стр. 558–561. .

• Конвей, Джон Б. (1985). Курс функционального анализа . Springer.
• Эдвардс, RE (1965). Функциональный анализ. Теория и приложения . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 0030505356.
• Джеймс, Роберт С. (1972), Некоторые самодвойственные свойства линейных нормированных пространств. Симпозиум по бесконечномерной топологии (Университет штата Луизиана, Батон-Руж, штат Луизиана, 1967) , Ann. математики. Исследования, 69 , Принстон, Нью-Джерси: Princeton Univ. Press, стр. 159–175..
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . 936 . Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370 .
• Колмогоров, АН; Фомин, С.В. (1957). Элементы теории функций и функционального анализа, Том 1: Метрические и нормированные пространства . Рочестер: Graylock Press.
• Меггинсон, Роберт Э. (1998), Введение в теорию банаховых пространств , Тексты для выпускников по математике, 183 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. Xx + 596, ISBN 0-387-98431-3.
• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Шефер, Хельмут Х. (1966). Топологические векторные пространства . Нью-Йорк: Компания Macmillan.
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .