В математической области квантовой топологии , то инварианты Решетихина-Тураев ( RT-инварианты ) представляют собой семейство квантовых инвариантов из каркасных звеньев . Такие инварианты оснащенных зацеплений также порождают инварианты трехмерных многообразий с помощью конструкции перестроек Дена . Эти инварианты были открыты Николаем Решетихиным и Владимиром Тураевым в 1991 г. [1] и должны были стать математической реализацией предложенных Виттеном инвариантов зацеплений и 3-многообразий с использованием квантовой теории поля . [2]
Обзор
Чтобы получить RT-инвариант, сначала нужно иметь -линейная лента категории под рукой. Каждый-линейная категория ленты снабжена схематическим исчислением, в котором морфизмы представлены определенными декорированными диаграммами клубка в рамках , где начальный и конечный объекты представлены граничными компонентами клубка. В этом исчислении диаграмма связей (оформленная в рамке), будучи (украшенным обрамленным) клубком без границы, представляет собой эндоморфизм моноидального тождества (пустое множество в этом исчислении), или, другими словами, элемент . Этот элемент является RT-инвариантом, ассоциированным с . Для любого замкнутого ориентированного трехмерного многообразия, существует ссылка в рамке в 3-х сферах чтобы гомеоморфно многообразию получен хирургическим путем вдоль . Два таких многообразия а также гомеоморфны тогда и только тогда, когда а также связаны последовательностью ходов Кирби . Решетихин и Тураев [1] использовали эту идею для построения инвариантов трехмерных многообразий путем объединения некоторых RT-инвариантов в выражение, инвариантное относительно движений Кирби. Такие инварианты трехмерных многообразий известны как инварианты Виттена – Решетихина – Тураева ( WRT-инварианты ).
Примеры
Позволять быть лентой алгебра Хопфа над полем(можно взять, например, любую квантовую группу над). Тогда категория, конечномерных представлений , это -линейная лента категории. [3] Существует схематическое исчисление, в котором морфизмы в представлены схемами клубков в обрамлении, в которых каждый компонент связности украшен конечномерным представлением . Это, это -линейная лента категории. Таким образом, каждая ленточная алгебра Хопфа порождает инвариант оснащенных зацеплений, раскрашенных представлениями (RT-инвариант).
Для квантовой группы над полем , соответствующий RT-инвариант для зацеплений и 3-многообразий порождает следующее семейство инвариантов зацеплений, появляющееся в теории скейнов . Позволять быть рамочной ссылкой в с участием составные части. Для каждого, позволять обозначим RT-инвариант, полученный декорированием каждой компоненты уникальным -мерное представление . потом
где -часть, обозначает полином Кауфмана зацепления , где каждый из компоненты связаны идемпотентом Джонса – Венцля , специальный элемент алгебры Темперли – Либа .
Чтобы определить соответствующий WRT-инвариант для трехмерных многообразий, сначала выберем быть либо -й корень из единства или -корень o – единицы с нечетным . Предположить, что получается путем проведения операции Дена на созданной ссылке . Тогда RT-инвариант для трехмерного многообразия определяется как
где это раскраска Кирби, развязаны с обрамление и - количество положительных и отрицательных собственных значений матрицы зацепления соответственно. Грубо говоря, первая и вторая скобки гарантируют, что инвариантен относительно раздува вверх / вниз (первый ход Кирби), а третья скобка гарантирует, что инвариантен относительно скольжения ручки (второй ход Кирби).
Характеристики
Инварианты Виттена – Решетихина – Тураева для трехмерных многообразий обладают следующими свойствами:
- где обозначает подключенную сумму из а также
- где это многообразие с противоположной ориентацией, и обозначает комплексное сопряжение
Эти три свойства совпадают со свойствами, которым удовлетворяют инварианты 3-многообразий, определенные Виттеном с использованием теории Черна – Саймонса (при определенной нормировке) [4].
Открытые проблемы
Гипотеза об асимптотическом разложении Виттена [5]
Выбирать . Гипотеза Виттена об асимптотическом разложении предполагает, что для любого трехмерного многообразия, большой -я асимптотика регулируется вкладом плоских соединений.
Гипотеза: существуют константы а также (в зависимости от ) для а также для такая, что асимптотическое разложение в пределе дан кем-то
где - конечное число различных значений функционала Черна – Саймонса на пространстве плоских -соединения на .
Гипотеза объема для инварианта Решетихина – Тураева [6]
Гипотеза Виттена об асимптотическом разложении предполагает, что при , RT-инварианты полиномиально растут . Напротив, при со странным , в 2015 г. К. Чен и Т. Янг предложили гипотезу объема для RT-инвариантов, которая, по сути, гласит, что RT-инварианты для трехмерных гиперболических многообразий экспоненциально растут в а скорость роста дает гиперболический объем и инварианты Черна – Саймонса для трехмерного многообразия.
Гипотеза: Пусть- замкнутое ориентированное трехмерное гиперболическое многообразие. Тогда для подходящего выбора аргументов
где нечетное положительное целое число.
Рекомендации
- ^ a b Решетихин, Николай и Владимир Георгиевич Тураевы. «Инварианты трехмерных многообразий через многочлены зацепления и квантовые группы». Inventiones mathematicae 103.1 (1991): 547–597.
- ^ Виттен, Эдвард. «Квантовая теория поля и многочлен Джонса». Сообщения по математической физике 121.3 (1989): 351-399.
- ^ Тураев, Владимир Г. Квантовые инварианты узлов и трехмерных многообразий. Vol. 18. Walter de Gruyter GmbH & Co KG, 2016 г.
- ^ Виттен, Эдвард. «Квантовая теория поля и многочлен Джонса». Сообщения по математической физике 121.3 (1989): 351–399.
- ^ Андерсен, Йорген Ellegaard, и Сорен Колд Хансен. «Асимптотика квантовых инвариантов для операций на узле восьмерки». Журнал теории узлов и ее разветвлений 15.04 (2006): 479–548.
- ^ Chen, Qingtao и Тянь Ян. «Объемные гипотезы для инвариантов Решетихина – Тураева и Тураева – Виро». Препринт arXiv arXiv: 1503.02547 (2015).