Отношение мотков

Отношения мотков - это математический инструмент, используемый для изучения узлов . Центральный вопрос математической теории узлов состоит в том, представляют ли две диаграммы узлов один и тот же узел. Один из способов ответить на этот вопрос - использовать многочлены узлов , которые являются инвариантами узла . Если две диаграммы имеют разные многочлены , они представляют разные узлы. В общем случае обратное неверно .

Отношения мотков часто используются, чтобы дать простое определение полиномов узлов. Отношение мотков задает линейную связь между значениями полинома узла в наборе из трех звеньев, которые отличаются друг от друга только в небольшой области. Для некоторых полиномов узлов, таких как полиномы Конвея , Александера и Джонса , соответствующих соотношений мотков достаточно для рекурсивного вычисления полинома . Для других, таких как полином HOMFLYPT , необходимы более сложные алгоритмы.

Определение [ править ]

Для отношения мотков требуются три схемы связей, которые идентичны, за исключением одного пересечения. На трех диаграммах должны быть показаны три возможности, которые могут возникнуть для двух отрезков линии при этом пересечении: одна из линий может пройти под, та же линия может закончиться или две линии могут вообще не пересекаться. Диаграммы связей необходимо учитывать, потому что одно изменение мотка может изменить диаграмму с представления узла на схему, представляющую связь, и наоборот. В зависимости от рассматриваемого полинома узла связи (или клубки), входящие в отношение мотков, могут быть ориентированными или неориентированными.

Эти три диаграммы помечены следующим образом. Поверните схему с тремя звеньями так, чтобы оба направления на рассматриваемом перекрестке были примерно на север. На одной диаграмме северо-запад будет на северо-восток, он обозначен буквой L _- . Другой будет с северо-востока на северо-запад, это L ₊ . На оставшейся диаграмме это пересечение отсутствует и обозначено как L ₀ .

(Маркировка не зависит от направления постольку, поскольку она остается неизменной, если все направления меняются местами. Таким образом, этим методом однозначно определяются полиномы на неориентированных узлах. Тем не менее, направления на связях являются важной деталью, которую необходимо сохранить при рекурсивном вычислении полиномов. .)

Также разумно мыслить в генеративном смысле, беря существующую диаграмму связей и «исправляя» ее, чтобы сделать две другие - при условии, что исправления применяются с совместимыми направлениями.

Чтобы рекурсивно определить полином узла (зацепления), функция F фиксируется и для любой тройки диаграмм и их многочленов, помеченных, как указано выше,

${\ Displaystyle F {\ Big (} L _ {-}, L_ {0}, L _ {+} {\ Big)} = 0}$

или более педантично

${\ Displaystyle F {\ Big (} L _ {-} (x), L_ {0} (x), L _ {+} (x), x {\ Big)} = 0}$ для всех ${\ displaystyle x}$

(Нахождение F, которое дает многочлены, независимые от последовательностей пересечений, используемых в рекурсии, - нетривиальное упражнение.)

Более формально, моток отношение можно рассматривать как определение ядра в виде факторизации из плоской алгебры в клубки . Такое отображение соответствует полиному узла, если все замкнутые диаграммы приведены к некоторому (полиномиальному) кратному образу пустой диаграммы.

Пример [ править ]

Где-то в начале 1960-х годов Конвей показал, как вычислить многочлен Александера с помощью соотношений мотков. Поскольку он рекурсивен , он не так прямолинеен, как исходный матричный метод Александера ; с другой стороны, часть работы, проделанной для одного узла, применима и к другим. В частности, сеть диаграмм одинакова для всех многочленов, относящихся к мотку.

Пусть функция P из диаграмм зацеплений в ряд Лорана в такова, что и тройка диаграмм скейн-соотношений удовлетворяет уравнению${\ displaystyle {\ sqrt {x}}}$${\ displaystyle P ({\ rm {unknot}}) = 1}$${\ displaystyle (L _ {-}, L_ {0}, L _ {+})}$

${\ Displaystyle P (L _ {-}) = (x ^ {- 1/2} -x ^ {1/2}) P (L_ {0}) + P (L _ {+})}$

Затем P переводит узел в один из своих многочленов Александера.

В этом примере мы вычисляем многочлен Александера для узла с лапчаткой ( ), чередующегося узла с пятью пересечениями на его минимальной диаграмме. На каждом этапе мы показываем взаимосвязь, включающую более сложную связь и две более простые диаграммы. Обратите внимание, что более сложная ссылка находится справа на каждом шаге ниже, кроме последнего. Для удобства положим A = x ^−1/2 −x ^1/2 .

Для начала мы создадим две новые диаграммы, исправив одно из пересечений лапки (выделено желтым), чтобы

P ( ) = A × P ( ) + P ( )

Первая диаграмма на самом деле представляет собой трилистник; вторая диаграмма - два развязанных узла с четырьмя пересечениями. Патчим последний

P ( ) = A × P ( ) + P ( )

снова дает трилистник и два развязанных узла с двумя пересечениями ( ссылка Хопфа [1] ). Патчание трилистника

P ( ) = A × P ( ) + P ( )

дает развязку и, опять же, ссылку Хопфа. Исправление ссылки Хопфа

P ( ) = A × P ( ) + P ( )

дает ссылку с 0 переходами (unlink) и развязкой. Разрыв связи требует некоторой хитрости:

P ( ) = A × P ( ) + P ( )

Вычисления [ править ]

Теперь у нас есть достаточно отношений, чтобы вычислить полиномы всех звеньев, с которыми мы столкнулись, и мы можем использовать приведенные выше уравнения в обратном порядке, чтобы перейти к самому узлу с лапчаткой. Расчет описан в таблице ниже, где ? обозначает неизвестную величину, которую мы решаем в каждом соотношении:

Таким образом, многочлен Александера для лапчатки равен P (x) = x ⁻² -x ⁻¹ +1 -x + x ² .

Источники [ править ]

• Американское математическое общество, Узлы и их многочлены , Feature Column.
• Вайсштейн, Эрик В. «Моток отношений» . MathWorld .
• Мортон, Хью Р .; Лукач, Саша Г. (2003), «Многочлен HOMFLY декорированной ссылки Хопфа», Journal of Knot Theory and Its Ramifications , 12 : 395–416, arXiv : math.GT/0108011 , doi : 10.1142 / s0218216503002536.