В математике понятие остаточного отображения возникает в теории частично упорядоченных множеств . Он уточняет концепцию монотонной функции .
Если A , B являются последовательностями , функция f : A → B определяется как монотонная, если она сохраняет порядок: то есть, если x ≤ y влечет f ( x ) ≤ f ( y ). Это эквивалентно условию , что прообраз при F каждого понижающего множества из B представляет собой вниз набор A . Мы определяем главное даун-множество как одно из следующих: ↓ { b } = { b '∈ B : b '≤ b }. В общем, прообраз под f основного понижения не обязательно должен быть основным понижением. Если это так, f называется вычетом .
Понятие остаточной карты может быть обобщено до бинарного оператора (или любой более высокой арности ) посредством покомпонентного остатка. Такой подход порождает представления о левом и правом делении в частично упорядоченной магме , дополнительно придавая ей квазигрупповую структуру. (Речь идет только о алгебре с делениями для высших арностей). Бинарная (или более высокая степень арности) остаточная карта обычно не остаточная как унарная карта. [1]
Определение
Если , Б являются Posets, функция F : → B является residuated тогда и только тогда , когда прообраз при F каждого основного понижающего множества B является главным вниз набор A .
Последствия
С позициями A , B множество функций A → B можно упорядочить по поточечному порядку f ≤ g ↔ (∀ x ∈ A) f ( x ) ≤ g ( x ).
Можно показать, что f остаточна тогда и только тогда, когда существует (обязательно единственная) монотонная функция f + : B → A такая, что f o f + ≤ id B и f + o f ≥ id A , где id - тождество функция . Функция F + представляет собой остаточное из F . Остаточная функция и ее невязка образуют связность Галуа согласно (более позднему ) монотонному определению этого понятия, и для каждой (монотонной) связности Галуа нижнее сопряженное соединение делится, а невязка является верхним сопряженным. [2] Таким образом, понятия монотонной связности Галуа и остаточного отображения практически совпадают.
Кроме того, мы имеем f -1 (↓ { b }) = ↓ { f + ( b )}.
Если B ° обозначает двойственный порядок (противоположный ч.у.) к B, то f : A → B является делимым отображением тогда и только тогда, когда существует f * такое, что f : A → B ° и f * : B ° → A образуют Связь Галуа согласно первоначальному антитонному определению этого понятия.
Если f : A → B и g : B → C - аппроксимируемые отображения, то также и композиция функций fg : A → C с невязкой ( fg ) + = g + f + . Антитоновые связи Галуа не обладают этим свойством.
Множество монотонных преобразований (функций) над ч.у.м. является упорядоченным моноидом с поточечным порядком, как и множество преобразований с остатками. [3]
Примеры
- Функция потолка от R до Z (с обычным порядком в каждом случае) residuated, с остаточным отображением естественного вложения Z в R .
- Вложение Z в R также является вычетом. Его остаток - это функция пола .
Бинарные операторы с вычетом
Если •: P × Q → R - двоичное отображение, а P , Q и R - множественные числа, то можно определить выведение покомпонентно для левого и правого переводов, то есть умножения на фиксированный элемент. Для элемента x в P определим x λ ( y ) = x • y , а для x в Q определим λ x ( y ) = y • x . Тогда • называется вычетом в том и только в том случае, если x λ и λ x вычитаются для всех x (в P и, соответственно, в Q ). Левое (и, соответственно, правое) деление определяется взятием остатков левого (и соответственно правого) сдвигов: x \ y = ( x λ) + ( y ) и x / y = (λ x ) + ( y )
Например, каждая упорядоченная группа остаточна, и разделение, определенное выше, совпадает с понятием разделения в группе . Менее тривиальным примером является набор Mat n ( B ) квадратных матриц над булевой алгеброй B , где матрицы упорядочены поточечно . Поточечный порядок наделяет Mat n ( B ) поточечными встречами, соединениями и дополнениями. Умножение матриц определяется обычным образом, где «продукт» представляет собой встречу, а «сумма» - соединение. Можно показать [4], что X \ Y = ( Y t X ')' и X / Y = ( X ' Y t )', где X ' - дополнение к X , а Y t - транспонированная матрица ).
Смотрите также
Заметки
Рекомендации
- JC Derderian, "Связности Галуа и парные алгебры", Canadian J. Math. 21 (1969) 498-501.
- Джонатан С. Голан, Полукольца и аффинные уравнения над ними: теория и приложения , Kluwer Academic , 2003, ISBN 1-4020-1358-2 . Стр.49.
- TS Blyth, "Residuated mappings", Order 1 (1984) 187-204.
- Т. С. Блит, Решетки и упорядоченные алгебраические структуры , Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5 . Стр.7.
- Т. С. Блит, М. Ф. Яновиц, Теория остатков , Pergamon Press , 1972, ISBN 0-08-016408-0 . Стр.9.
- М. Эрне, Дж. Кословски, А. Мелтон, Г. Е. Стрекер, Букварь по связям Галуа , в: Материалы Летней конференции 1991 г. по общей топологии и приложениям в честь Мэри Эллен Рудин и ее работ, Анналы Нью-Йоркской академии наук, Vol. 704, 1993, стр. 103–125. Доступно в Интернете в различных форматах файлов: PS.GZ PS
- Клаус Денеке, Марсель Эрне, Шелли Л. Висмат, Связи Галуа и приложения , Springer, 2004, ISBN 1402018975
- Галатос, Николаос, Питер Джипсен, Томаш Ковальский и Хироакира Оно (2007), Остаточные решетки. Алгебраический взгляд на субструктурную логику , Elsevier, ISBN 978-0-444-52141-5 .