В линейной алгебре , то транспонированное из матрицы является оператором , который переворачивает матрицу над его диагональю; то есть он переключает индексы строки и столбца матрицы A , создавая другую матрицу, часто обозначаемую A T (среди других обозначений). [1] [2]
Транспонирование матрицы было введено в 1858 году британским математиком Артуром Кэли . [3]
Транспонировать матрицу [ править ]
Определение [ править ]
Транспонированная матрицы A , обозначается A T , [1] [4] ⊤ , ⊤ , , [5] [6] А ' , [7] тр , т А или А т , может быть построена любой из следующих методов:
- Отразите A над его главной диагональю (которая проходит от верхнего левого угла к нижнему правому), чтобы получить A T ;
- Запишите строки A как столбцы A T ;
- Написать столбцы A в качестве строк A T .
Формально, элемент i -й строки, j-го столбца A T является элементом j -ой строки, i -м столбцом A :
Если A - матрица размера m × n , то A T - матрица размера n × m .
В случае квадратных матриц, Т может также обозначать Т - ю степень матрицы A . Для избежания возможной путаницы, многие авторы используют левые upperscripts, то есть, они обозначают транспонирование как T A . Преимущество этого обозначения состоит в том, что при использовании показателей степени скобки не требуются: поскольку ( T A ) n = T ( A n ) , обозначение T A n не является двусмысленным.
В этой статье этой путаницы можно избежать, никогда не используя символ T в качестве имени переменной .
Матричные определения, включающие транспонирование [ править ]
Квадратная матрица, транспонированная которой равна самой себе, называется симметричной матрицей ; то есть A симметрична, если
Квадратная матрица, транспонирование которой равно отрицательному, называется кососимметричной матрицей ; то есть A кососимметрична, если
Квадратная комплексная матрица, транспонированная матрица которой равна матрице, в которой каждый элемент заменен ее комплексно сопряженной (обозначенной здесь чертой), называется эрмитовой матрицей (эквивалентной матрице, равной ее сопряженному транспонированию ); то есть A эрмитово, если
Квадратная комплексная матрица, транспонирование которой равно отрицанию ее комплексно сопряженной матрицы, называется косоэрмитовой матрицей ; то есть A косоэрмитова, если
Квадратная матрица, транспонирование которой равно обратной , называется ортогональной матрицей ; то есть A ортогонален, если
Квадратная комплексная матрица, транспонирование которой равно сопряженной обратной матрице, называется унитарной матрицей ; то есть A унитарна, если
Примеры [ править ]
Свойства [ править ]
Пусть A и B - матрицы, а c - скаляр .
- Операция взятия транспонирования является инволюцией (само- обратным ).
- Транспонирование уважает добавление .
- Обратите внимание, что порядок факторов обратный. Из этого можно сделать вывод о том , что квадратная матрица является обратимым тогда и только тогда , когда Т обратим, и в этом случае мы имеем ( -1 ) Т = ( Т ) -1 . По индукции этот результат распространяется на общий случай кратных матриц, где мы находим, что ( A 1 A 2 ... A k −1 A k ) T = A k T A k −1 T …2 Т 1 Т .
- Транспонирование скаляра - это тот же скаляр. Вместе с (2) этот гласит , что транспонированная представляет собой линейное отображение из пространства в м × п матриц в пространстве всех п × м матриц.
- Определитель квадратной матрицы такой же , как определитель транспонированной.
- Скалярное произведение двух векторы - столбцов и б может быть вычислен как единственным элемент матрицы продукта:
- который записан как a i b i в соглашении Эйнштейна о суммировании .
- Если A имеет только действительные элементы, то A T A - положительно-полуопределенная матрица .
- Транспонирование обратимой матрицы также обратимо, а его обратное - транспонирование обратной исходной матрицы. Обозначение A -T иногда используется для представления любого из этих эквивалентных выражений.
- Если A - квадратная матрица, то ее собственные значения равны собственным значениям ее транспонированной матрицы, поскольку они имеют один и тот же характеристический полином .
Продукты [ править ]
Если A - матрица размера m × n, а A T - ее транспонированная, то результат умножения матриц с этими двумя матрицами дает две квадратные матрицы: AA T - это m × m, а A T A - n × n . Кроме того, эти продукты представляют собой симметричные матрицы . Действительно, матрица продукт АА Т имеет записи , которые являются скалярным произведением из ряда А с колонком A T . Но столбцыТ являются строками А , так что запись соответствует внутреннему произведению двух рядов А . Если р I J является вступление продукта, он получается из строк я и J в A . Запись p j i также получается из этих строк, таким образом, p i j = p j i , и матрица произведения ( p i j ) является симметричной. Аналогично, произведение A T A является симметричной матрицей.
Быстрое доказательство симметрии AA T следует из того факта, что это собственное транспонирование:
- [8]
Реализация транспонирования матриц на компьютерах [ править ]
На компьютере часто можно избежать явного транспонирования матрицы в памяти , просто обращаясь к тем же данным в другом порядке. Например, программные библиотеки для линейной алгебры , такие как BLAS , обычно предоставляют опции для указания того, что определенные матрицы должны интерпретироваться в транспонированном порядке, чтобы избежать необходимости перемещения данных.
Однако остается ряд обстоятельств, при которых необходимо или желательно физически переупорядочить матрицу в памяти в соответствии с ее транспонированным порядком. Например, если матрица хранится в порядке старших строк, строки матрицы являются смежными в памяти, а столбцы - несмежными. Если над столбцами необходимо выполнить повторяющиеся операции, например, в алгоритме быстрого преобразования Фурье , транспонирование матрицы в памяти (чтобы сделать столбцы смежными) может улучшить производительность за счет увеличения локальности памяти .
В идеале можно было бы надеяться транспонировать матрицу с минимальным дополнительным объемом памяти. Это приводит к проблеме транспонирования матрицы размера n × m на место с дополнительным объемом памяти O (1) или, самое большее, объемом памяти, намного меньшим, чем mn . Для n ≠ m это включает в себя сложную перестановку элементов данных, которую нетривиально реализовать на месте. Таким образом, начиная с конца 1950-х годов эффективная перестановка матриц на месте была предметом многочисленных исследовательских публикаций в области компьютерных наук , и было разработано несколько алгоритмов.
Транспонирование линейных карт и билинейных форм [ править ]
Напомним, что матрицы можно поставить во взаимно однозначное соответствие с помощью линейных операторов . Транспонирование линейного оператора может быть определено без необходимости рассматривать его матричное представление. Это приводит к гораздо более общему определению транспонирования, которое может применяться к линейным операторам, которые не могут быть представлены матрицами (например, с участием многих бесконечномерных векторных пространств).
Транспонировать линейную карту [ править ]
Пусть X # обозначаем алгебраическое сопряженное пространство в качестве R - модуль X . Пусть X и Y - R -модули. Если у : Х → Y представляет собой линейное отображение , то его алгебраическое сопряженное или двойной , [9] есть отображение # U : Y # → Х # определяется F ↦ е ∘ ц . Результирующий функционал u #( Е ) называется откат из F с помощью U . Следующее соотношение характеризует алгебраический сопряженный к u [10]
- ⟨ U # ( е ), х ⟩ = ⟨ е , у ( х )⟩ для всех F ∈ Y ' и х ∈ Х
где ⟨•, •⟩ это естественное спаривание (т.е. определяется ⟨ г , ч ⟩: = ч ( г ) ). Это определение также без изменений применяется к левым модулям и векторным пространствам. [11]
Как видно, определение транспонирования не зависит от какой-либо билинейной формы модулей, в отличие от сопряженной ( см . Ниже ).
Непрерывное сопряженное пространство из топологического векторного пространства (TVS) X обозначаются через X ' . Если X и Y являются TVSS то линейное отображение U : X → Y является слабо непрерывен тогда и только тогда , когда у # ( Y « ) ⊆ X » , в этом случае мы позволяем T U : Y « → X » означают ограничение U # в Y ' . Картат у называется транспонированной [12] о ц .
Если матрица описывает линейное отображение относительно основания из V и W , то матрица Т описывает транспонирование этой линейной карты по отношению к двойным основаниям .
Транспонировать билинейную форму [ править ]
Каждое линейное отображение в двойственное пространство u : X → X # определяет билинейную форму B : X × X → F с соотношением B ( x , y ) = u ( x ) ( y ) . Определив транспонирование этой билинейной формы как билинейную форму t B, определенную транспонированием t u : X ## → X #, т.е. t B ( y , x) = t u (Ψ ( y )) ( x ) , получаем, что B ( x , y ) = t B ( y , x ) . Здесь Ψ - естественный гомоморфизм X → X ## в двойное двойственное .
Смежный [ править ]
Если векторные пространства X и Y имеют невырожденные билинейные формы B X и B Y соответственно, можно определить понятие, известное как сопряженное , которое тесно связано с транспонированием:
Если u : X → Y - линейное отображение между векторными пространствами X и Y , мы определяем g как сопряженное к u, если g : Y → X удовлетворяет
- для всех х ∈ X и Y ∈ Y .
Эти билинейные формы определяют изоморфизм между X и X # , а также между Y и Y # , что приводит к изоморфизму между транспонированным и присоединенным к u . Матрица сопряженных карт транспонированной матрица только тогда , когда основания являются ортонормированными относительно их билинейной формы. В этом контексте многие авторы используют термин транспонировать для обозначения сопряженного, как определено здесь.
Присоединенное позволяет рассмотреть вопрос о г : Y → X равно U -1 : Y → X . В частности, это позволяет определять ортогональную группу над векторным пространством X с квадратичной формой без ссылки на матрицы (или их компоненты) как набор всех линейных отображений X → X, для которых сопряженное равно обратному.
В сложном векторном пространстве часто работают с полуторалинейными формами (сопряженно-линейными по одному аргументу) вместо билинейных. Эрмитово сопряженный о карте между такими пространствами определяются аналогично, а матрица эрмитовых сопряженным задаются матрицей сопряженного транспонирования , если основания ортонормированы.
См. Также [ править ]
- Адъюгированная матрица , транспонирование кофакторной матрицы
- Конъюгат транспонировать
- Псевдообратная матрица Мура – Пенроуза
- Проекция (линейная алгебра)
Ссылки [ править ]
- ^ a b «Исчерпывающий список символов алгебры» . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 8 сентября 2020 .
- ^ Никамп, Дуэйн. «Транспонирование матрицы» . Math Insight . Проверено 8 сентября 2020 года .
- ↑ Артур Кэли (1858) «Мемуары по теории матриц» , Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 148 : 17–37. Транспонирование (или «транспонирование») описано на странице 31.
- ↑ TA Whitelaw (1 апреля 1991 г.). Введение в линейную алгебру, 2-е издание . CRC Press. ISBN 978-0-7514-0159-2.
- ^ «Транспонирование матричного продукта (ProofWiki)» . ProofWiki . Дата обращения 4 февраля 2021 .
- ^ "Какой символ лучше всего подходит для транспонирования вектора / матрицы?" . Обмен стеками . Дата обращения 4 февраля 2021 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Транспонировать" . mathworld.wolfram.com . Проверено 8 сентября 2020 .
- ^ Gilbert Странг (2006) Линейная алгебра и ее применения 4е издание, стр 51, Thomson Brooks / Cole ISBN 0-03-010567-6
- ^ Schaefer & Wolff 1999 , стр. 128.
- ^ Халмош 1974 , §44
- ^ Бурбаки 1989 , II п.2.5
- ^ Trèves 2006 , стр. 240.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Бурбаки, Николас (1989) [1970]. Алгебра I, главы 1–3 [ Алжир: главы 1–3 ] (PDF) . Éléments de mathématique . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64243-5. OCLC 18588156 .
- Халмос, Пол (1974), Конечномерные векторные пространства , Springer, ISBN 978-0-387-90093-3.
- Марускин, Джаред М. (2012). Основная линейная алгебра . Сан-Хосе: Solar Crest. С. 122–132. ISBN 978-0-9850627-3-6.
- Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Шварц, Джейкоб Т. (2001). Введение в матрицы и векторы . Минеола: Дувр. С. 126–132. ISBN 0-486-42000-0.
Внешние ссылки [ править ]
- Гилберт Стрэнг (весна 2010 г.) Линейная алгебра из открытых курсов Массачусетского технологического института