Срок возврата

Период возврата , также известный как интервал повторения или повторного интервал , среднее время или , по оценкам , среднее время между событиями , такими как землетрясения , наводнение , ^[1] оползнями , ^[2] или речной сток протекает происходить.

Это статистическое измерение, обычно основанное на исторических данных за длительный период, которое обычно используется для анализа рисков. Примеры включают решение о том, следует ли разрешить проекту продвигаться в зоне определенного риска или проектирование структур, способных выдержать события с определенным периодом повторяемости. Следующий анализ предполагает, что вероятность наступления события не меняется со временем и не зависит от прошлых событий.

Оценка периода возврата [ править ]

Интервал повторения ${\ displaystyle = {n + 1 \ над m}}$

n количество лет на учете;

m - это ранг наблюдаемых явлений в порядке убывания ^[3]

В случае наводнения событие может быть измерено в м ³ / с или высоте; для штормовых нагонов , с точки зрения их высоты, и аналогично для других событий. Это формула Вейбулла. ^[4]

Период возврата как величина, обратная ожидаемой частоте [ править ]

Теоретический период повторяемости между возникновениями является обратной величиной средней частоты возникновения. Например, вероятность превышения 10-летнего наводнения за любой год составляет 1/10 = 0,1 или 10%, а вероятность превышения 50-летнего наводнения составляет 0,02 или 2% за любой год.

Это не означает, что 100-летнее наводнение будет происходить регулярно каждые 100 лет или только один раз в 100 лет. Несмотря на коннотацию названия «период возврата». В любой заданный 100-летний период 100-летнее событие может произойти один, два, больше или не произойти вообще, и каждый исход имеет вероятность, которую можно вычислить, как показано ниже.

Кроме того, расчетный период доходности, представленный ниже, является статистическим : он вычисляется на основе набора данных (наблюдений), в отличие от теоретического значения в идеализированном распределении. На самом деле никто не знает, что определенная или большая величина происходит с вероятностью 1%, только то, что она наблюдалась ровно один раз в 100 лет.

Это различие важно, потому что существует немного наблюдений за редкими событиями: например, если наблюдения продолжаются 400 лет назад, наиболее экстремальное событие (400-летнее событие по статистическому определению) может позже быть классифицировано при более длительном наблюдении как 200- событие года (если сопоставимое событие происходит немедленно) или событие за 500 лет (если сопоставимое событие не происходит в течение следующих 100 лет).

Кроме того, нельзя определить размер 1000-летнего события только на основе таких записей, но вместо этого необходимо использовать статистическую модель для прогнозирования масштабов такого (ненаблюдаемого) события. Даже если исторический интервал повторяемости намного меньше 1000 лет, если зарегистрировано несколько менее серьезных событий аналогичной природы, использование такой модели может предоставить полезную информацию, которая поможет оценить будущий интервал повторяемости.

Распределения вероятностей [ править ]

Хотелось бы иметь возможность интерпретировать период повторяемости в вероятностных моделях. Наиболее логичной интерпретацией этого является принятие периода повторяемости в качестве скорости счета в распределении Пуассона, поскольку это математическое ожидание скорости появления. Альтернативная интерпретация состоит в том, чтобы принять его как вероятность ежегодного испытания Бернулли в биномиальном распределении . Это неприятно, потому что каждый год не является независимым судом Бернулли, а является произвольной мерой времени. Этот вопрос носит в основном академический характер, поскольку полученные результаты будут похожи как при пуассоновской, так и при биномиальной интерпретации.

Пуассон [ править ]

Функция вероятности массы из распределения Пуассона является

${\ displaystyle P_ {t} (r) = {(\ mu t) ^ {r} \ over r!} e ^ {- \ mu t} = {(t / T) ^ {r} \ over r!} e ^ {- t / T}}$

где - количество появлений, для которых рассчитывается вероятность, интересующий период времени, - период повторяемости и - скорость подсчета.${\ displaystyle r}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ mu = 1 / T}$

Вероятность того, что не произойдет, можно получить, просто рассмотрев случай . Формула${\ displaystyle r = 0}$

${\ Displaystyle P_ {не встречается} (t) = e ^ {- \ mu t} = e ^ {- t / T}}$

Следовательно, вероятность превышения (т. Е. Вероятность того, что событие, «более сильное», чем событие с периодом повторяемости, произойдет хотя бы один раз в течение интересующего периода времени), составляет${\ displaystyle T}$

${\ Displaystyle P_ {превышение} (t) = 1-P_ {отсутствие событий} (t) = 1-e ^ {- \ mu t} = 1-e ^ {- t / T}}$

Обратите внимание, что для любого события с периодом повторяемости вероятность превышения в пределах интервала, равного периоду повторяемости (т. Е. ), Не зависит от периода повторяемости и равна . Это означает, например, что существует 63,2% вероятности того, что наводнение, превышающее 50-летнее возвратное наводнение, произойдет в течение любого 50-летнего периода.${\ displaystyle T}$${\displaystyle t=T}$${\displaystyle 1-\exp(-1)\approx 63.2\%}$

Пример [ править ]

Если период повторяемости составляет 234 года ( ), то вероятность точно одного события за десять лет равна${\textstyle T}$${\textstyle \mu =0.0043}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{t}(r)&={(\mu t)^{r} \over r!}e^{-\mu t}\\[6pt]P_{10}(1)&={(10/234)^{1} \over 1!}e^{-10/234}\approx 4.1\%\end{aligned}}}$

Биномиальный [ править ]

В заданный период в n лет вероятность заданного количества событий r периода повторяемости определяется следующим биномиальным распределением .${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle P(X=r)={n \choose r}\mu ^{r}(1-\mu )^{n-r}.}$

Это справедливо только в том случае, если вероятность более одного появления в год равна нулю. Часто это близкое приближение, и в этом случае вероятности, полученные из этой формулы, имеют приблизительное значение.

Если таким образом, то${\displaystyle n\rightarrow \infty ,\mu \rightarrow 0}$${\displaystyle n\mu \rightarrow \lambda }$

${\displaystyle {\frac {n!}{(n-r)!r!}}\mu ^{r}(1-\mu )^{n-r}\rightarrow e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{r}}{r!}}.}$

Брать

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{T}}={m \over n+1}}$

куда

T - интервал возврата

n - количество лет на учете;

m - количество записанных случаев рассматриваемого события

Пример [ править ]

Учитывая, что период повторяемости события составляет 100 лет,

${\displaystyle p={1 \over 100}=0.01.}$

Таким образом, вероятность того, что такое событие происходит ровно один раз в 10 лет подряд, составляет:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(X=1)&={\binom {10}{1}}\times 0.01^{1}\times 0.99^{9}\\[4pt]&\approx 10\times 0.01\times 0.914\\[4pt]&\approx 0.0914\end{aligned}}}$

Анализ рисков [ править ]

Период возврата полезен для анализа рисков (таких как естественный, естественный или гидрологический риск отказа). ^[5] При работе с ожиданиями конструкции конструкции период возврата полезен при расчете рискованности конструкции.

Вероятность по крайней мере одного события, превышающего проектные пределы в течение ожидаемого срока службы конструкции, является дополнением к вероятности того, что не произойдет никаких событий, превышающих проектные пределы.

Уравнение для оценки этого параметра:

${\displaystyle {\overline {R}}=1-\left(1-{1 \over T}\right)^{n}=1-(1-P(X\geq x_{T}))^{n}}$

куда

${\displaystyle {1 \over T}=P(X\geq x_{T})}$ - выражение вероятности наступления рассматриваемого события в году;

n - ожидаемый срок службы конструкции.

См. Также [ править ]

• 100-летнее наводнение
• Накопительный частотный анализ
• Частота превышения
• Время жительства

Ссылки [ править ]